含有30°角的直角三角形的性质课件

含有30°角的直角三角形的性质含有30°角的直角三角形的性质1知识回顾1.等边三角形的有性质有哪些？性质1：等边三角形的三条边都相等.性质2：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.几何符号语言：∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC∴∠A=∠B=∠C=60°几何符号语言：∵△ABC是等边三角形注明：1、等边三角形每条边上中线、高线和所对角的平分线都三线合一.2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，且交于一点.知识回顾1.等边三角形的有性质有哪些？性质1：等边三角形的三2知识回顾2.等边三角形的判定方法有哪些？判定方法1（用定义判定）：三边都相等的三角形是等边三角形.几何符号语言：∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形判定方法2:三个角都相等的三角形是等边三角形.几何符号语言：∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形判定方法3:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.∵AB=AC,∠A=60°∴△ABC是等边三角形几何符号语言：几何符号语言：∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形知识回顾2.等边三角形的判定方法有哪些？判定方法1（用定义判3探究新知如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ABDC30°结论：∴∠DAC=∠BAC=30°,AB=AD∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+30°=60°∴△ABD是等边三角形.∴BC=CD=∴证法1：∵△ADC是△ABC的轴对称图形∵AC⊥BD从中你可以得到什么结论呢？结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.探究新知如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这4在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推理论证:已知：30°证法2：延长BC至D，使CD=BC，连结AD.D在△ABC与△ADC中∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACDBC＝DC∠ACB=∠ACDAC=AC∴△ABC≌△ADC（SAS）∴AB=AD∴△ABD是等边三角形∴∠BAD=30°+30°=60°∴AB=BD∵∴求证：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°∴∠BAC=∠DAC=30°在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边推530°证法3：在△ACB内部作∠ACD=30°,交AB于D.推理论证:已知：求证：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°D∵∠A=30°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∵∠1=∠A+∠ACD=30°+30°=60°12∴∠2=∠ACB-∠ACD=90°-30°=60°∴∠B=180°-∠1-∠2=180°-60°-60°∴∠1=∠B=∠2∴△BCD是等边三角形∴BC=CD=BD∴BC=AD=BD∴BC30°证法3：在△ACB内部作∠ACD=30°,交AB于D.630°推理论证:已知：求证：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°证法4：在BA上截取BD=BC，连接DCD∴∠B=60°∵∠ACB=90°，∠A=30°又∵BD=BC∴△BCD是等边三角形∴BC=BD=CD，∠1=60°12∴∠2=∠ACB-∠1=90-60°=30°∴∠A=∠2∴CD=AD∴CD=AD=BD∴BC30°推理论证:已知：求证：如图，在Rt△ABC中，∠C=9730°在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边的一半）含30°角的直角三角形的性质：归纳几何符号语言：∵∠C=90°，∠A=30°∴或∵AC⊥BC，∠A=30°∴注意：1.含30°角的直角三角形的性质实际上是由等边三角形的轴对称性质得出的，是由特殊角在直角三角形中得出边和边的倍数关系，主要用于计算和证明线段的倍数关系.2.在运用含30°角的直角三角形的性质时，注意条件必须要有30°的角和在直角三角形中两个条件.30°在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直8ABCDE例1:如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱

BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、

DE要多长？课本例题解：∵BC⊥AC，∠A=30°∴∵DE⊥AC，∠A=30°∴答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．∵D是AB的中点ABCDE例1:如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的9经典例题例2:如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，∠A=30°.

求证：AB=4BD.1解：∵∠ACB=90°,∠A=30°∴∵CD⊥AB∴∠CDB=90°∴∠1=30°∴∴经典例题例2:如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是A10经典例题例3:如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,试判断线段BF,CF有何关系？并说明理由.经典例题例3:如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=12111.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点M,BD=8cm,则AC=_______cm.4122.如图所示，在△ABC中，AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线，

AE是∠BAD的平分线，DF//AB交AE的延长线于点F,则DF的长为_____4.5121.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB12例题3：某市在旧城改造中，计划在市内一块如图的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要多少元？150°例题3：某市在旧城改造中，计划在市内一块如图的三角形空地上种13例4:如图所示，∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P为OC上一点，PD∥OA交

OB于D,PE⊥OA于E,若OD=4cm,求PE的长.例4:如图所示，∠AOB=30°,OC平分∠AOB,P为OC14探究新知思考：在直角三角形中，如果一直角边的长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗？猜想：在直角三角形中，如果一直角边的长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°探究新知思考：在直角三角形中，如果一直角边的长等于斜边长的一15推理论证：猜想：在直角三角形中，如果一直角边的长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC∠A=30°已知：求证:证明：延长BC至D,使CD=BC，连接ADD.∵CD=BC∴AB=BD=ADD∴BC∵BC∴AB=BD∵AC⊥BD，BC=CD∴AC是BD的垂直平分线∴AB=AD∴△ABD是等边三角形∴∠BAD=60°∵AC⊥BD∴∴AC平分∠BAD推理论证：猜想：在直角三角形中，如果一直角边的长等于斜边长的16结论：在直角三角形中，如果一直角边的长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°归纳几何符号语言：∵∠C=90°，∠A=30°∴结论：在直角三角形中，如果一直角边的长等于斜边长的一半，归纳17含有30°角的直角三角形的性质含有30°角的直角三角形的性质18知识回顾1.等边三角形的有性质有哪些？性质1：等边三角形的三条边都相等.性质2：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.几何符号语言：∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC∴∠A=∠B=∠C=60°几何符号语言：∵△ABC是等边三角形注明：1、等边三角形每条边上中线、高线和所对角的平分线都三线合一.2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，且交于一点.知识回顾1.等边三角形的有性质有哪些？性质1：等边三角形的三19知识回顾2.等边三角形的判定方法有哪些？判定方法1（用定义判定）：三边都相等的三角形是等边三角形.几何符号语言：∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形判定方法2:三个角都相等的三角形是等边三角形.几何符号语言：∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形判定方法3:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.∵AB=AC,∠A=60°∴△ABC是等边三角形几何符号语言：几何符号语言：∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形知识回顾2.等边三角形的判定方法有哪些？判定方法1（用定义判20探究新知如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ABDC30°结论：∴∠DAC=∠BAC=30°,AB=AD∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+30°=60°∴△ABD是等边三角形.∴BC=CD=∴证法1：∵△ADC是△ABC的轴对称图形∵AC⊥BD从中你可以得到什么结论呢？结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.探究新知如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这21在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推理论证:已知：30°证法2：延长BC至D，使CD=BC，连结AD.D在△ABC与△ADC中∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACDBC＝DC∠ACB=∠ACDAC=AC∴△ABC≌△ADC（SAS）∴AB=AD∴△ABD是等边三角形∴∠BAD=30°+30°=60°∴AB=BD∵∴求证：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°∴∠BAC=∠DAC=30°在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边推2230°证法3：在△ACB内部作∠ACD=30°,交AB于D.推理论证:已知：求证：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°D∵∠A=30°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∵∠1=∠A+∠ACD=30°+30°=60°12∴∠2=∠ACB-∠ACD=90°-30°=60°∴∠B=180°-∠1-∠2=180°-60°-60°∴∠1=∠B=∠2∴△BCD是等边三角形∴BC=CD=BD∴BC=AD=BD∴BC30°证法3：在△ACB内部作∠ACD=30°,交AB于D.2330°推理论证:已知：求证：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°证法4：在BA上截取BD=BC，连接DCD∴∠B=60°∵∠ACB=90°，∠A=30°又∵BD=BC∴△BCD是等边三角形∴BC=BD=CD，∠1=60°12∴∠2=∠ACB-∠1=90-60°=30°∴∠A=∠2∴CD=AD∴CD=AD=BD∴BC30°推理论证:已知：求证：如图，在Rt△ABC中，∠C=92430°在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边的一半）含30°角的直角三角形的性质：归纳几何符号语言：∵∠C=90°，∠A=30°∴或∵AC⊥BC，∠A=30°∴注意：1.含30°角的直角三角形的性质实际上是由等边三角形的轴对称性质得出的，是由特殊角在直角三角形中得出边和边的倍数关系，主要用于计算和证明线段的倍数关系.2.在运用含30°角的直角三角形的性质时，注意条件必须要有30°的角和在直角三角形中两个条件.30°在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直25ABCDE例1:如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱

BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、

DE要多长？课本例题解：∵BC⊥AC，∠A=30°∴∵DE⊥AC，∠A=30°∴答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．∵D是AB的中点ABCDE例1:如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的26经典例题例2:如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，∠A=30°.

求证：AB=4BD.1解：∵∠ACB=90°,∠A=30°∴∵CD⊥AB∴∠CDB=90°∴∠1=30°∴∴经典例题例2:如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是A27经典例题例3:如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,试判断线段BF,CF有何关系？并说明理由.经典例题例3:如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=12281.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点M,BD=8cm,则AC=_______cm.4122.如图所示，在△ABC中，AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线，

AE是∠BAD的平分线，DF//AB交AE的延长线于点F,则DF的长为_____4.5121.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,AB29例题3：某市在旧城改造中，计划在市内一块如图的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要多少元？1