平面向量复习讲义全

页脚页脚平面向量复习讲义—•向量有关概念：向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：6,注意零向量的方向是任意的；单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与期共线的单位向量是相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量：、5叫做平行向量，记作：a//bf规定零向量和任何向量平行。提醒:相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个槪念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有0);相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。：的相反向量是一：。如下列命题：(1)若|«|=|6|,则方=厶。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。(3)AB=DC,则是平行四边形。(4)若初CD是平行四边形，则AB=DCo(5)若。=厶，厶=c,则a=co(6)若d//5,厶〃c,则allco其中正确的是(答：(4)(5))向量的表示方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如忑，注意起点在前，终点在后；符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如：，bf7等；坐标表示法：在平面建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量；，J为基底，则平面的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标，：=(x,y)叫做向量：的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。平面向量的线性运算：向量加法：①三角形法则：(“首尾相接，首尾连”)，如图，已知向董a、b・在平面任取一点4,作屈=,BBC=,则向量4C叫做与的和，记作B定：a+0-=0+a=a,当向量d与乙不共线时，a+b的方向不同向，且\a+b\<\a\+\b|；当d与厶同向时，则d+5、a、5同向，且|d+厶|二|d|+|5|,

当a与5反向时，若|a|>|5|,则a+b的方向与a相同，且|a^b|=|a|-|^I;若I«|<lI,则a+5的方向与厶相同,且\a+b\-\b|-|a|.结论：③加法的运算律向量加法的交换律：a^b=b+a向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(乙+c)向量减法：向量减法的定艾：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.1・用加法的逆运算定狡向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算:若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a求作差向量：已知向量a、b,求作向董abV(ab)+b=a+(b)+b=a+O=a作法：在平面取一点0,作OA=a,OB二b则BA=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a由减向量的终点指向祕:减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。用“相反向量”定狡法作差向量，ab=a+(b)B注意：1用“相反向量”定狡法作差向量，ab=a+(b)B课堂练习：化简：®AB+BC+CD=—;@AB-AD-DC=;®(AB-Cb)-(AC-BD)=(答：®AD；®CB;③0);若正方形ABCD的边长为1,AB=d,BC=b,AC=c,贝']\a+b+c\=向量数乘：数入与向量a的积的运算.Aa\=\A\」a|;当久＞0时，人&的方向与&的方向相同当久＜0时，久&的方向与&的方向相反;当A=0时，Aa=O向量数乘的运算律久(〃&)=_(人“丿&;(久+〃)a=Aa+pa__\人(a+0)=_Aa+Ab。共线向量定理a是一个非零向量，若存在唯一一个实数久，使得b=Aa,则向量〃与非零向量a共线.(证明三点共线)三点A、B、C共线«AB.AC共线。注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的'区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.⑵向量8、0共线是指存在不全为零的实数八，久2,使久心+久20=0成立，若久心+久20=0,当且仅当八=久2=0时成立，则向量a、0不共线.例1.设两个非零向量&与6不共线，若AB=a+b,誌=2&+80,龙=3(&—0),求证：A.B、Z?三点共线；试确定实数久使ka+b和&+他共线.平面向量的基本定理：如果&和6是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的任一向董a,有且只有一对实数儿、22,使一右0+兄三6我们把不共线的向量。和6叫做表示这一平面所有向量的一组基底。向量的夹角：已知两个非零向量N、b,作OA=a,OB=b,则ZA0B=6＞，叫向量刁、5的夹角,当，&、5同向，当，ci＞方反向，当，N与5垂直，记作刁丄5。

例1如图，在中，E、F分别为朋、力的中点，BEbCF相交于G民分=5试用②用方程思想解决平面向量的线性运算问題：例1如图，在中，E、F分别为朋、力的中点，BEbCF相交于G民分=5试用②用方程思想解决平面向量的线性运算问題：例2如图所示，在△磁中,说=押，龙=期，〃与％相交于点航=&,OB=b・试用&和0表示向量OM.解设OM=ma+nb,则=0M—龙=ma+nb~a=1)a+nb-力=龙-龙=*龙-龙=-卄又•••/!、M、Z?三点共线，/.AM与共线.•••存在实数匕使得力=tAD.即(/w—1)&+祐={m—1)a+nb=—ta+qtb.m—\=—tt,消去r得，m—]=—2n,即彷+2灯=1・又•・•力=力_并=備+祐扣+nb.又••P、M、3三点共线，•••葩与防共线.・••存在实数力，使得力=凸龙，玄）&+祐=右（_犷+»,,消去ti得,4/7?+灯=1・n=t\由①②得加=扌，门=弓，・•・％=*&+*>•课堂练习：若a=(1,1),6=(1,-l),c=(-l,2),则2=(答：—a--b);下列向量组中，能作为平面所有向量基底的是A.石=(0、0),&=(1,-2)B.兀=(一1,2),&=(5,7)一一一_13C.勺=(3,5),©=(6,10)D.勺=(2厂3),勺=(㊁厂才)(答：B);已知AD.BE分别是SABC的边3C,AC上的中线，且AD=a,BE=bt则可用向量方仏表示为33已知MBC中，点D在BC边上，且03=2丽，CD=r~AB+s~AC,则r+s的值是(答：0)平面向量的坐标运算：若在平面直角坐标系下，&=(*,J6),0=(*2,/2)加法：a+b=(xi+x2,yi+y2)减法：&_b=(x、_x?,y\~yi)数乘：a=(xi,yi)向量的坐标：若＞4(k,y,),B(x2,y2),则，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。中点坐标：若心y.),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为向量相等：：若a=(%,,yi),0=(*2,y2),则fv“向量共线或平行:a=(xi,yi),b=(X2,y2),若，则.题型一求向童的坐标【例«1］如图所示，若OA=29OA与x轴正方向夹角为30°，求向量丛的坐标.【例题2】MBC的三个顶点的坐标分别是A(4,6)"(7,6),C(1,8),D为的中点，求向董AB.AD.BC.题型二由向量相等求参数的值【例题3】已知向±a=(x利用向量坐标运算求点的坐标【例题5］已知A(-2,4),B(3-1),C(-3-4)且端=3CA.CN=2CB，求M,N利用向量坐标运算求点的坐标【例题5］已知A(-2,4),B(3-1),C(-3-4)且端=3CA.CN=2CB，求M,N的坐标.题型四平面向量平行的坐标运算【例題6】(1)若向量厶=(x,l),b=(4,x),当*=时&与b共线且方向相同(答：2)；已知a=(l,l)』=(4,x),u=a+2b,v=2a+b,且,则x=(答：4);设PA={k,l2),PB=(4,5),PC=(10,^),则时，A,B,C共线题型三平面向量的坐标运算向童坐标运算的直接应用TT1T3T【例题4】已知平面向量a=(1,1),/?=(1,-1),则向量一a——b-()22A.(2,1)B.(-2,1)C.(1,2)D.(-1,2)

平面向量的数量积已知非零向量a与已知非零向量a与b,作0A=a,OB=b9则ZAOB=e(owewn)叫a与b的夹角.说明：1・当e=O时，a与b同向；当时，a与b反向；3・当时，a与b垂直，记a丄b;注意在两向量的夹角定艾，两向量必须是同起点的•围0WW180（2）平面向董数量积（积）的定狡：已知两个非零向量，它们的夹角是6,则数量叫的数量积，记作，即有二，（OWeWn）.注意数畳积是一个实数，不再是一个向畳。其中是的夹角，叫做向量方向上（方向上）的投影。我们规定0向量与任何向量的数董积为0.（3）两个向董的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1・abab=0当a与b同向时，ab=|a||b|;当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=la/或Ial=y/a-a|ab|W|a||b|cos二°[lalibI当&为锐角时，a^b>09且Nb不同向，c^b>0是&为锐角的必要非充分条件；当&为钝角时，a•5<0,且a、乙不反向，ab<0是&为钝角的必要非充分条件：当&为直角时，a•5=0.（4）向量的投影:“投影”的概念：作图定狡：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影•投影也是一个数量，不是向董；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|：当=180时投影为|b|.向量的数童积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.（5）向量的运算律：交换律：a+b=b+ci9=,a・b=b・ci；结合律：a+b+c=^a+b^+c,a-b-c=ci-^b+c^,（2&）・6=几（力•〃）=力.（26）；

^a+b^=Aa+Ab,(a+5)・c=d・^a+b^=Aa+Ab,(a+5)・c=d・c+5・c。下列命题中：①a-(b-c)=a-b-a-c;②a-(b-c)=(a-b)c:③｛a-b)2=|a|2-21<71•|Z?|+1/?|2;④若ab=Qf则°=0或/?=0;⑤若ab=cb,则°=0；®a'=a';⑦咚=2；⑧G•济=才・产；⑨^-bf=a2-2a-b+b2o其中正确的是a°(答：①⑥⑨)向量的数量积的坐标表示、模、夹角：数量积：a•b=x\xi+yiy?,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。向董垂直：&丄bOx\X2+yiK=O向量的模长：若&=（x,y）,则|a|=yjx2+y2,a=|a|2=x2+y24.向董的夹角：若a=（xi4.向董的夹角：若a=（xiyO,0=(*2,上)，则cos<a,b>=a・bMH两点间的距离：若4（兀,儿）,3（耳,儿），则|AB=J（兀一耳）2+（%—yJa在0方向上的正射影的数量为|a|cosva上〉=◎?=J'宀|b|Jx；+y；课堂练习：1•已知\a\=3,\b\=59且a-/?=12,则向量°在向量b上的投影为(訣)5已知a=（2,2刃，b=（32,2）,如果:与2的夹角为锐角，则几的取值囤是41（蓉：2<一一或几>0且久工一）；33已知△OFQ的面积为S,且~OF~FQ=l,若|<5<^,则乔,而夹角8的取值围是AABC中AABC中，|石|=3,|疋|=4,|灵|=5,则忑•託=(答:-9)；—♦I—♦I—v••7T已a==(Q,-—)yc=ci+kb,d=a-h,c与d的夹用为玄，则R等于(答：1);6.已知a=2,b=5、a・b=-3,则a+b等于(答：>/23);7•已知°,厶均为单位向量，它们的夹角为60,那么\a+3b\=(答:713);'已知方/杲两个非零向量，且a=b=a-bJ则&与厶+厶的夹角为向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）\\a\-\b\\<\a±b\^a\+\b\f特别地,当方"同向或有0o\a+b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a-b\;当a、b反向或有0O\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a+b\;当°、厶不共线O||亦-⑹|<忆土引<|方|+|引（这些和实数比较类似）.（3）在AABC中，①若4（心牙）,3（丕,旳）（（丕小），则其重心的坐标为6$+；+°儿+；+儿）。如若/ABC的三边的中点分别为（2,1）、（-3,4）、（-1,-1）,则/ABC的重心的坐标为（答：（一彳冷））；PG=L(PA+PB+PC)oG为AABC的重心，特别地PA+PB+PC=P为\ABC的重心；丙丙=丙疋=疋・PAOP为从BC的