高考总复习走向清北课件19数学三角恒等变换

第十九讲三角恒等变换回归课本1.三角恒等变换主要包括角的变换､函数名称的变换､常数的变换､幂的变换和式子结构的变换.1用cos表示sin

1cos,cos,tan

sin2

1cos

2

1cos2

2

2

1cos2用cos表示sin1cos

1cos

1cos2

1cos2

2

2

2;cos

;tan

.2.半角公式.;tan2

2

2

2

2

,cos

,tan

sin

2

2

2

2

;cos

2

2

2

3

sin

,cos

tan

tan

用

表示.

sin1cos

sin2

2

1cos;cos2

;tan2

1tan

1tan

1tan

3.万能公式.2tan

1tan2

2tan

2

2

2sin2

4.积化和差公式(1)sinαcosβ=(2)cosαsinβ=(3)cosαcosβ=(4)sinαsinβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)];

[sin(α+β)-sin(α-β)];

[cos(α+β)+cos(α-β)];[cos(α+β)-cos(α-β)].1212

1

212

5.和差化积公式(1)sinθ+sinφ=2sin(2)sinθ-sinφ=2cos(3)cosθ+cosφ=2cos(4)cosθ-cosφ=-2sin2

22

2

;;

cos

;

cos

;

cos

2

2

cos

2

2考点陪练2sin2

cos

等于1cos2

cos2212C.1D.1.

A.tan

B.tan2

tan2.

2sin2

cos21cos2

cos2

2sin2

1cos21cos2

2cos2解析:答案:B2.若sin

等于

,则cos2B.719

3C.17

D.3

9

1

2

6

3

3

A.

2

3

6

cos2

2sin2

1

.

6

6

9

答案:A

2

21212

72C.D.

cos2sin

4

7

2

B.3.若

A.,则cos

sin的值为

cos2

sin2(sin

cos),

22

2

2

cos2sin

4

解析:

1

2答案:C4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于()A.3-cos2xC.3+cos2xB.3-sin2xD.3+sin2x解析:∵f(sinx)=2+2sin2x,∴f(x)=2+2x2.∴f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x.答案:Ccos70cos70sin70

sin40

cos40

cos70

cos70

2cos110

cos70

2.

2

25.cot20cos10

3sin10tan702cos40

________.解析:原式

tan70

cos10

3sin10tan702cos40

tan70(cos10

3sin10)2cos40

2tan70

sin402cos40

sin40

cos40

cos70

答案:2类型一三角函数式的化简解题准备:化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将

多种形式的角尽量统一､减少角的个数);二是三角函数名

称的变换(即尽量减少､统一函数名称,如“切化弦”).具体

问题中可双管齐下,整体变换.3

.

3

2【典例1】已知

1

sin

1cos

1cos

,化简:

1sin1cos

1cos2.2

2

2,.3

4

2

2

2

2

21cos

2cos

2

|cos|

2cos1cos

2sin2

2sin[解]因为

,所以

2

cos2

sin

2

cos

cos2

2cos2

22.

1sinsin

1sincos

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

cos

sincos

2

2

sin

sin

2

2

sin

cos

sin

cos2

2

2

2

2

2所以原式[反思感悟]三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次

数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉

根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值.类型二三角函数式的求值解题准备:三角函数式的求值三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值､给值求值､给

值求角.①给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三

角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.②给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数

的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以

备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函

数值代入,从而达到解题的目的.③给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的.

,tan

cot

3

10

2sin

22.4

32

25sin

2

28sin

cos

11cos8

2【典例2】已知

1求tan的值;2求的值.即tan

3或tan

,又所以tan

为所求.10

3131

33

4

,[解]1由tan

cot

得3tan2

10tan

3

0,5

4sin

11

88sin

6cos

8tan

6

5

2.1cos

1cos

2

2

2cos55cos

8sin

1111cos

16

2

2cos

2

2cos

2

2

62原式

[反思感悟]给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函

数(式)的值,要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关

键是利用角的变换,把待求角用已知角表示出来,利用两角

和､差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所

给的式子比较复杂,则需先将其化简.在三角函数求值过程

中,同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是

常用工具.类型三已知三角函数值求角解题准备:已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:第一,

定角的范围,很多时候我们需要根据题中给出的三角函数

值或中间结果中的三角函数值进一步缩小角的范围;第二,

求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围

内严格单调);第三,根据角的范围写出所求的角.其中在第

二步中,具体选用哪个三角函数,一般可由条件中的函数确

定,一般已知正切函数值,选正切函数;已知正､余弦函数值,

选正､余弦函数;若角的范围是

正､余弦函数均可;若角的范围是

,

(0,π),一般选余弦函数;若角的范围是

则一般

,

2

2

选正弦函数等.0,

2

,

B.D.

3

6

3A.

0,

2

sinB,cosAcosC

cosB,则BA等于(

)C.

或

3

3

3[解析]已知sinAsinB

sinC,cosAcosB

cosC,两式平

1

2

0,

,BA

,

,

2

2

2

3,故选A.又sinAsinB

sinC

0,所以BA

[答案]A类型四三角函数式的证明解题准备:三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与

条件恒等式.①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归

一,变更论证,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等

式之间的联系,选择适当途径对条件等式进行变形,直到得

到所证等式,或者将欲证等式及条件进行变式,创造机会代

入条件,最终推导出所证等式.2sinxcosx

sinx

sinx(1cosx)2cos

x2cosx

1cosx

(1cosx)(1cosx)sinx(1cosx)

1cosx.1cosx

sinx

sin2x(sinxcosx1)(sinxcosx1)【典例4】求证:2

2sinxcosx

2sinxcosx2

2

2sinxcosx[sinx(cosx1)][sinx(cosx1)]

[证明]左边

右边.

2

sin

x

sinx故原等式成立.B.D.错源一合理运用公式的能力差12

7

74

4

7

14

4A.C.所以sin2α=

31

.因为0<α<π,所以0<2α<2π.由sin22α+cos22α=1得cos2α=±故选C.[剖析]由于选择了sin22α+cos22α=1,求cos2α的值时符号不

能确定,造成解题错误.12,得

1

4[错解]由sinα+cosα=(sinα+cosα)2=1+sin2α=

3

42.

74

4[正解]由sinα+cosα=①2得(sinα+cosα)2=1+sin2α=,所以sin2α=

.因为(sinα-cosα)2=1-sin2α=,所以sinα-cosα=②

1

1

3

4

4因为sin2α=2sinαcosα<0,且0<α<π,所以

<α<π.所以sinα-cosα>0.274727故选B.由①×②得:sin2α-cos2α=,即cos2α=cos2α-sin2α=[答案]B

74.4cosβ=,求tan(α-β).错源二忽视角的范围,cosα-12【典例2】若α、β是锐角,且sinα-sinβ=-

1

2

,sin(

)

sin(

)

7cos(

)

3

11

2

2

1

2132

4,.

7

2

2

4

故tan(

)

sin

sin

,

0,

但还应注意1

0,

cos

故由

的值只能得到2

2

22sin

sin,

.[剖析]本题错误在于

的范围分析得不对,由于、是锐角,所以从而sin

0的值.sin(

)

7cos(

),

74.3

11

2

2

1

2

13

2

4

,2

2

2sin(

)

1cos2(

)

tan(

)

技法

三角恒等变换的六种意识一､降幂意识主要针对sinx,cosx出现高次幂的情况,常常通过配方或者利用倍角公式进行求解.[解题切入点]由sin

,cos

【典例1】当α+β=30°时,求sin2α+cos2β+cosαsinβ的值.2,

1

2

1

2154

41cos2

2

1cos2

2

2二､统一意识三角变换的实质归结到一点就是化异为同.解三角题时,应敏

锐地观察题目中角､名称､运算等之间的差异,然后设法消

除差异､实现统一.【典例2】已知sin(2α+β)+2sinβ=0,且cosαcos(α+β)≠0,求证:tanα=3tan(α+β).[证明]因为2α+β=α+β+α,β=α+β-α,所以sin(α+β+α)+2sin(α+β-α)=0,即sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα+2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα=0,所以3sin(α+β)cosα=cos(α+β)sinα,又因为cosαcos(α+β)≠0,可两边同时除以cosαcos(α+β)即可得证.三､整体意识如果所涉及的三角问题中已知式和待求式的结构类似,则可

用整体代换,即把已知式或待求式视为一个整体进行变形

替换.cos2θ.【典例3】化简:cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-[解题切入点]由于观察到此式中的角出现θ+15°,θ-15°与

2θ,要达到角的统一,需将角θ+15°,θ-15°向角2θ进行转

化,因此,可考虑二倍角的变形公式.

32cos2

1

[cos(2

30)cos(2

30)]cos2

1cos2cos30cos2

3

12

2

3

32

2

3

32

2cos21cos2

1.[解]原式

2

2四､代换意识代换是解三角题经常用到的技巧,如特殊值与三角函数的代

换､1的代换等,恰当地进行代换有利于迅速解题,又如在一

个函数式中同时出现sinx±cosx与sinx•cosx,可考虑设

t=sinx±cosx等.

sinxcosx1

sinxcosx【典例4】求fx

的值域.,t2

1

2[解]令t

sinx

cosx,则sinxcosx

x

4

x

4

所以t[

2,1)(1,

2].

1

2

故所求函数的值域为,

1

1,

.

2

1

2

2

2

1

五､消元意识消元法在解三角题中有着广泛的应用,如给角求值时,消去非

特殊角;证明条件等式时,消去结论中不含的角或函数等.tan

.3x

x

2

2

2sinxcosxcos2x【典例5】化简:tan

[解题切入点]此题各式间的差异较大,不仅角之间有差异,而且函数名及结构之间也存在较大的差异,为此,我们要重点抓住某一特征差异进行分析,以求突破.2

sin

cos

cos

sin

cos

2

2

2

2

3x

x

sin

sin

2

3x

xcos

cos

2

2

sinx

3