应用举例正余弦定理在三角形中的应用NO课堂强化

1．在△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为()\f(\r(3),2)或eq\r(3) \f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)\r(3)或eq\f(\r(3),4) \r(3)解析：根据正弦定理，sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),2).∵c>b，∴C>B＝30°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(\r(3),2)；当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),4).答案：B2．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为eq\f(\r(3),2)，则这个三角形的面积为()\f(15,4) \f(15\r(3),4)\f(21\r(3),4) \f(35\r(3),4)解析：∵三边不等，∴最大角>60°，设最大角为α，故α对的边长为a＋2，∵sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴α＝120°，由余弦定理(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，解得a＝5.∴三边长为3,5,7，S＝eq\f(1,2)×3×5×sin120°＝eq\f(15\r(3),4).答案：B3．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则角A等于()A．30° B．60°C．30°或150° D．150°解析：由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°得，B＝60°.由正弦定理得，eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)，∴sinA＝eq\f(1,2)，又∵0°<A<180°，∴A＝30°或150°.又∵a<b，∴A<B.∴A＝30°.答案：A4．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．解析：在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.根据余弦定理得，AC＝eq\r(AD2＋CD2－2·AD·CDcos120°)＝eq\r(32＋62－2×3×6×－\f(1,2))＝3eq\r(7).▱ABCD的面积S＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝6×3sin60°＝9eq\r(3).答案：3eq\r(7)9eq\r(3)5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＋C＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)，b＝1，则S△ABC等于________．解析：如图，在△ABC中，∵B＋C＝eq\f(2π,3)，∴A＝eq\f(π,3).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(1,\r(3))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).又∵b＝1<a＝eq\r(3)，∴B<A＝eq\f(π,3)而0<B<π，∴B＝eq\f(π,6)，从而C＝eq\f(π,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)6．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.解：cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5)，故B为锐角，sinB＝eq\f(4,5).所以sinA＝sin(π－B－C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－B))＝eq\f(7\r(2),10).由正弦定理得c＝eq\f(