中考数学培优专题复习相似练习题

1、一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与若/AOB=90,点A的横坐标为-4,AC=4BC，求点B的坐标;延长AD、BO相交于点E,求证：DE=CO.抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且ABIIx轴，A与B是对称点，O是抛物线的顶点，OA=OB,TZAOB=60,AOB是等边三角形，TAB=2,AB丄OC,AC=BC=1，ZBOC=30，OC=T,A(-1,I.),把A(-1,i)代入抛物线y=ax2(a0)中得：a八；(2)解：如图2,过B作BE丄x轴于E,过A作AG丄BE，交BE延长线于点G,交y轴于

2、F,TCFIIBG,ACtAC=4BC,AF=4,AF=4FG,TA的横坐标为-4,B的横坐标为1,A（-4,16a）,B（1,a）TZAOB=90,ZAOD+ZBOE=90,TZAOD+ZDAO=90,ZBOE=ZDAO,TZADO=ZOEB=90,ADO-OEB,AD_QL厂n16s416a2=4，a=-,ta0,a=.；B（1,.）；3）解：如图3，设AC=nBC，由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍,则设B(m,am2)，则A(-mn,am2n2),AD=am?n2,过B作BF丄x轴于F,DEIIBF,BOF-EOD,OB_OF_BF王OBmasf，,OB_1ii,DE=am

3、2n,TOC o 1-5 h zOB_1TOCIIAE,BCO-BAE,CO_OB_1m/:CO_1,auPn(l+n)CO=、-二=am2n,DE=CO【解析】【分析】(1)抛物线y=ax2关于y轴对称，根据ABIIx轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1，由/AOB=60,可证得AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。(2)过B作BE丄x轴于E,过A作AG丄BE，交BE延长线于点G,交y轴于F,根据平行线分线段成比例证出AF=4FG，根据点A的横坐标为-4,求出点B的横坐标为1,则A(4,16a),B(1,a),再根据已知证明

4、ZBOE=ZDAO,ZADO=ZOEB,就可证明ADO-OEB，得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m,am2)，则A(-mn,am2n2)，得出AD的长，再证明厶BOF-EOD,BCO-BAE，得对应边成比例，证得CO=am2n，就可证得DE=CO。2.已知：如图，在ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作O0分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF丄AB，垂足为F,父BD于点P.(1)求证：AD=DE；若CE=2，求线段CD的长；在(2)的条件下，求DPE的面积.【答案

5、】(1)解：TAB是OO的直径，ZADB=90,即BD丄ACTAB=BC，ABD竺CBD.ZABD=ZCBD在OO中，AD与DE分别是ZABD与ZCBD所对的弦.AD=DE；(2)解：T四边形ABED内接于OO,.ZCED=ZCAB,CE_CL:ZC=ZC,CED-CAB,二-,TAB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，CD=i；(3)解：延长EF交OO于M,在RtAABD中，AD,AB=10,BD=L,TEM丄AB,AB是OO的直径,.二-ZBEP=ZEDB,BPE-BED,BD_BL二厂二:Tc.BP=,uToDP=BD-BP=,.S：S=DP：BP=13：32，DPEBPE1Sr=1

6、5,Sn：S=BE：BC=4：5,.S=12，BDE52S=.DPE【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是OO的直径得出ZADB=90,再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。（2）根据圆内接四边形的性质证得ZCED=ZCAB,再根据相似三角形的判定证出CED-CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。（3）延长EF交OO于M,在RtAABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明BPE-BED,根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。3.如图，正方形ABCD、等腰RtABPQ的顶点P在对

7、角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.求证：AP=CQ；求证：PA2=AFAD；若AP：PC=1：3,求tanzCBQ.【答案】(1)证明：T四边形ABCD是正方形，二AB=CB,ZABC=90,ZABP+ZPBC=90,TBPQ是等腰直角三角形，.BP=BQ,ZPBQ=90,ZPBC+ZCBQ=90ZABP=ZCBQ，ABP竺CBQ，AP=CQ;四边形ABCD是正方形，ZDAC=ZBAC=ZACB=45,TZPQB=45，ZCEP=ZQEB，.ZCBQ=ZCPQ，由得ABP竺CBQ,ZABP=ZCBQTZCPQ=ZAPF,ZAPF=ZABP,

8、APF-ABP,APAF.冷严二旷胚二AFrAD;ABAP(本题也可以连接PD,证厶APF-ADP)(2)证明：由得ABP竺CBQ,ZBCQ=ZBAC=45,TZACB=45,.ZPCQ=45+45=90a.tanZCPQ=,由得AP=CQ,CQ又AP:PC=1:3,tanZCPQ=由得ZCBQ=ZCPQ,tanZCBQ=tanZCPQ=E.【解析】【分析】(1)利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证ABP竺CBQ,可得AP=CQ；利用正方形的性质可证得ZCBQ=ZCPQ,再由ABPCBQ可证得ZAPF=ZABP，从而证出APF-ABP，由相似三角形的性质得证；(2)由厶ABP竺CBQ可得

9、ZBCQ=ZBAC=45,可得ZPCQ=45+45=90,再由三角函数可a1得tanZCPQ=，由AP:PC=1:3,AP=CQ,可得tanZCPQ=，再由ZCBQ=ZCPQ可求出答案.4.如图，在平面直角坐标系中，0为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为(2,0),BC=6,ZBCD=60,点E是AB上一点，AE=3EB,OP过D,0,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三(1)请直接写出点B、D的坐标：B(),D();2)求抛物线的解析式；求证：ED是OP的切线；若点M为抛物线的顶点，请直接写出平面上点N的坐标，使得以点B,D,M,N为顶点的四边形

10、为平行四边形.【答案】(1)-4,0；0，2、(2)解：将(2，0)，B(-4,0)，D(0,I);三点分别代入y=ax2+bx+c得,4a2bc=016-4bc=G所求抛物线的解析式y=-X2-匚x+匚磁(3)证明：在RtAOCD中，CD=2OC=4,四边形ABCD为平行四边形，ab=CD=4,ABIICD,ZA=ZBCD=60,AD=BC=6,TAE=3BE,.AE=3，AE10C-1AE0-siiZB(D-二-t:,T?-T四边形ABCD是平行四边形,.ZDAE=ZDCB=60,AED-COD,.ZADE=ZCDO,而ZADE+ZODE=90ZCDO+ZODE=90,CD丄DE,ZDOC

11、=90,.CD为OP的直径,ED是OP的切线(-3,(4)解：点N的坐标为(-5,)、(3(-3,【解析】【解析】解：(1)TC点坐标为(2,0),.OC=2,TBC=6,.OB=BC-OC=4,.B(-4,0),ObOb:ZBCD=60,tanZBCD=-,TOC o 1-5 h zOD=/,D(0,V);(4存在,Ty=-x2-x+I=_匸(x+1)2+jM(-1,),TB(-4,0),D(0,/),如图，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移*个单位得到B,心xJ则点M(_1,)向左平移4个单位，再向下平移个*单位得到N(_5,-)；当DM为平行四边形BD

12、MN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到D,则点M(_1,)向右平移4个单位，再向上平移二个单位得到N2(3,)；当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向右平移1个单位，再向下平移-个单位得到D,JJ则点B(_4,0)向右平移1个单位，再向下平移个单位得到N3(_3,_)；综上所述综上所述，以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形时，点N的坐标为(-5,-,)或(3,)综上所述综上所述，以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形时，点N的坐标为(-5,-,)或(3,)或(-3厂)【分析】(1)根据点C的坐标,求出OC的长度,进而求出OB的长度,得出B点的坐标。根据正

13、切函数的定义得出OD的长度，从而得出D点的坐标；用待定系数法，分别将：将(2,0)，B(-4,0),D(0,F);三点分别代入y=ax2+bx+c得得出关于a,b,c的三元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而得出解析式；根据平行四边形的性质得出AB=CD=4,ABIICD，ZA=ZBCD=60,AD=BC=6，又根据AE=3BE,，从而得出AE=3,根据锐角三角函数的定义得出AE:AD=OC:CD,然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似得出AED-COD,根据相似三角形对应角相等得出ZADE=ZCD0,根据等量代换得出ZCDO+ZODE=90，即CD丄DE，根据90的圆周角所对的

14、弦是直径得出CD为OP的直径，从而得出结论；首先求出抛物线的顶点M的坐标，然后按当BM为平行四边形BDMN的对角线时；当DM为平行四边形BDMN的对角线时；当BD为平行四边形BDMN的对角线时；三种情况，找到其他点的平移规律即可得出N点的坐标。5如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0VtV4)s,解答下列问题：求证：BEF-DCB；当点Q在线段DF上运动时，若PQF

15、的面积为0.6cm2,求t的值;当t为何值时，PQF为等腰三角形？试说明理由.【答案】(1)解：T四边形ABCD是矩形，：2T-ADIIBC,二:打在E14ABD中，BD10t别是人用的中点，EFIIAD,二4,肝=DF=.7-上厂_EFIIBC,4BEF(2)解：如图1,过点Q作丄a于；，:.QMIIBE,/(3)解：当点Q在DF上时，如图2,-当点Q在BF上时，:丁此，如图3,J.J.兀二二时，如图4,2020因二刃时，如图5,-(21-刀19兀19综上所述，t=1或3或或秒时，PQF是等腰三角形【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得BEF和厶DCB中的两角对应相等，从而可证BEF-

16、DCB；（2）过点Q作QM丄EF于M，先根据相似三角形的预备定理可证QMF-BEF；再由QMF-BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因为ZPFQ为钝角，所以只有PF=QF。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有PF=QF；PQ=FQ；PQ=PF三种情况，因此所求的t值有四种结果。6.如图1,在RtAABC中，ZB=90,BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接。，将厶EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.备用图；当备用图；当a=180时,图1（1）问题发现AE当a=0时

17、，=.（2）拓展探究试判断：当0a360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.（3）问题解决当厶EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长.【答案】（1）；2）解：如图2，C图2C图2AL当0a(3)解：如图3,jDE:AC=4“/：,CD=4,CD丄AD,.AD=J.:、*：AD=BC，AB=DC，ZB=90，.四边形ABCD是矩形，BD=AC=-J.如图4,连接如图4,连接BD,过点D作AC的垂线交AC于点Q,过点B作AC的垂线交AC于点P，BC圏4:AC=-J,CD=4,CD丄AD,.AD=7-:点D、E分别是边BC、AC的中点，DE=2,AE=AD-DE=8-2=6

18、,由（2），可得AE肪一三5BD=12i综上所述，BD的长为*或【解析】【解答】（1）当a=0时，TRtAABC中，ZB=90,.AC=/:T点D、E分别是边BC、AC的中点,AE253BDI2如图1如图1,B图1当a=180时，可得ABIIDE，AC_BC.学_JAE_AC_.U一厂一:一【分析】（1）当a=0时，RtAABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；如图1,当a=180时，根据平行线分线段成比例定理得出AC:AE=BC:BD,再根据比例的性质得出AE:BD=AC:BC,从而得出答案。（2）当0aAN=NE+AE=BE+AE,ABE就是所求

19、周长最小的ABE.在RtAABN中，TAB=4，BN=2BM=2AB=8，.an=-.斥；ABE周长最小值为AB+AN=4+4J.【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得ZB=ZDAE=ZBAH=45，所以AH_AhZGAD=ZHAE，计算可得比例式：2川，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得厶AGD-AHE；（2）根据等腰三角形的定义可知分3种情况讨论：当B与D重合时，即BD=0，此时AB=BE；当AB=AE时，此时E与C重合，用勾股定理可求得BD的值；当AB=BE时，过E作EH丄AB于H,交BC于M,连接AM,过E作EG丄BC于G,连接DH，由已知条件和（1

20、）的结论可求解；（3）当点D与点B重合时，点E的位置记为点M,连接CM,作点B关于直线MC的对称点N,连接AN交MC于点E,由已知条件易证四边形ABMC是正方形，由已知条件通过计AM_Ah算易得比例式：，根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似可得ABD-AME，则ZAME=ZABD=45,于是可得点E在射线MC上，根据轴对称的性质可得ABE，就是所求周长最小的ABE,在RtAABN中，用勾股定理即可求得AN的值，则厶ABE周长最小值=AB+AN即可求解。8.在平面直角坐标系中，点-点已知满足（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图1,点E为线段0B上一点，连接AE,过A作

21、AF丄AE,且AF=AE，连接BF交，轴于点D,若点D（-1,0）,求点E的坐标；（3）在的条件下，如图2,过E作EH丄0B交AB于H,点M是射线EH上一点（点M不在线段EH上）,连接M0,作ZMON=45,ON交线段BA的延长线于点N,连接MN,探究线段MN与0M的关系，并说明理由。答案】（1）（-4,0）；（0，-4）（2）解：作FH丄0A于H,TAF丄AE,ZFAE=ZAHF=ZAOE=90,ZFAH+ZOAE=90,ZFAH+ZAFH=90,.ZAFH=ZOAE,TAF=OA,AFH竺EAO,.FH=OA,T点A(-4,0)，点B(0,-4).FH=OA=OB=4,TZFHD=ZBOD

22、=90,ZFDH=ZBDO,FDH竺BDO,.OD=DH=1,.AH=OH=OE=2,.E(0,-2)（3）解：结论：MN=OM,MN丄OM,理由：连接OH,OM与BN交于G,TOA=OB,ZAOB=45,ZOAB=45T0E=EB=2,EHIIOA,AH=BH,OH丄AB,ZAHM=ZOAB=45,TZMON=45.ZGON=ZGHM,TZNGO=ZMGH,NGO-MGH,&A06.T=,MG.=,TZNGM=ZOGH,.NGM-OGH,.ZNMG=ZOHG=90,.OMN是等腰直角三角形MN=OM,MN丄OM.解析】解答】（）.治+戲严+护+協仙士血+H=0,.a=-4,b=-4,点A的坐

23、标为（-4,0），点B的坐标为（0,-4）【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式,再根据平方的非负性求解;（2）如图1中，作FH丄OA于H,由AFH竺EAO,推出FH=OA,由FDH竺BDO,推出&AOGAH=OH=OE=2;（3）连接OH,OM与BN交于6,由厶NGO-MGH,推出=-，再推出-=-，再得出厶NGM-OGH,推出ZNMG=ZOHG=90，推出OMN是等腰直角三角形即可解决问题.9.如果三角形的两个内角与满足=90,那么我们称这样的三角形为准互余三角形”Aa图若厶ABC是准互余三角形”，Z090,ZA=60,则ZB=；如图，在RtAABC中，ZACB=90,AC=4,B

24、C=5,若AD是ZBAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由(3)如图，在四边形ABCD中，AB=7,CD=12,BD丄CD,ZABD=2ZBCD，且ABC是准互余三角形”.求对角线AC的长.【答案】(1)15(2)解：存在，如图，连结AE,在RtAABC中，ZB+ZBAC=90,TAD是ZBAC的平分线，.ZBAC=2ZBAD，.ZB+2ZBAD=90，.ABD是“准互余三角形”，又:ABE也是准互余三角形”,.ZB+2ZBAE=90，TZB+ZBAE+ZEAC=90，

25、.ZEAC=ZB,又:ZC=ZC,CAE-CBA，CA_Cb即CA2=CBCE,AC=4,BC=5,16.CE=.16&BE=BC-CE=5-=.TCD=12,CF=CD=12,ZBCF=ZBCD,/CBD=ZCBF,又:BD丄CD,ZABD=2ZBCD,.ZCBD+ZBCD=90,.2ZCBD+2ZBCD=180,即ZABD+ZCBD+ZCBF=180,.A、B、F三点共线,在RtAAFC中，.ZCAB+ZACF=90,即ZCAB+ZACB+ZBCF=90,ZCAB+2ZACBH90,TABC是“准互余三角形”,.2ZCAB+ZACB=90,.ZCAB=ZBCF,TZF=ZF,.FCB-FA

26、C,FC_FB.可：,即FC2=FAFB,设BF=x,TAB=7,.FA=x+7,.x（x+7）=122,解得：X=9,x2=-16（舍去）.AF=7+9=16.在RtAAFC中，AC疋小=JE=20.【解析】【解答】（1）解：TABC是“准互余三角形”，ZC90,ZA=60,.2ZB+ZA=90,2ZB+60=90,ZB=15.故答案为：15【分析】(1)根据“准互余三角形，的定义，结合题意得2ZB+ZA=90，代入数值即可求出ZB度数.存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得ZB+2ZBAD=90,根据准互余三角形”，定义即可得ABD是“准互余三角形”；根据ABE是“准互余三角形”，

27、以及直角三角形两内角互余可得ZEAC=ZB,根据相似三角形判定AA”可得厶CAE-CBA，再由相似CACL16三角形性质得-，由此求出CE=.从而得BE长.如图，将BCD沿BC翻折得到厶BCF,根据翻折性质、直角三角形性质、准互余三FC_FB角形定义可得到FCB-FAC，再由相似三角形性质可得.，设BF=x,代入数值即可求出x值，从而求出AF值，在RtAAFC中，根据勾股定理即可求得AC长.10.如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转0(00CE汀-1EA：汀-1ECAC=，.BH=AC=l.,m4-m2n2=6n4,m4-m2n2=6n4,（负根已经舍弃）n【

28、解析】【分析】（1）作A1H丄AB于H,连接BD,BD1,则四边形ADA】H是矩形.根据矩形的对边相等得出AD=HA=n=1，在RtAAB中，根据三角形边之间的关系判断出乙aba1=30，即旋转角为30,根据勾股定理算出BD的长，D到点D所经过路径的长度，其实质就是以点B为圆心，BD为半径，圆心角为30的弧长，根据弧长公式，计算即可；CE_/.：.?n（2）首先判断出BCE-BA2D2,根据相似三角形对应边成比例得出怎-ItA:/：厂JLl訂-/-AC=*故CE=：根据,故进而得出,由BH=A1C列出方程，求解得出的值。11.请完成下面题目的证明.如图,AB为OO的直径,AB=8，点C和点D是

29、OO上关于直线AB对称的两个点，连接OC,AC，且/BOC90,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且/GAF=ZGCE（1）求证:直线CG为O0的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH,满足CB=CH；求证:CBH-OBC；求OH+HC的最大值.【答案】（1）证明：由题意可知：ZCAB=ZGAF，TAB是OO的直径，ZACB=90TOA=OC，.ZCAB=ZOCA，.ZOCA+ZOCB=90，TZGAF=ZGCE，.ZGCE+ZOCB=ZOCA+ZOCB=90，TOC是OO的半径，.直线CG是OO的切线；(2)证明:TCB=CH，.ZCBH=ZCHB，TOB=OC，.ZCBH=ZOCB，.CBH-OBC解：由CBH-OBC可知: