四川省自贡市荣县正紫中学高三数学理上学期期末试卷含解析

1、四川省自贡市荣县正紫中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知曲线 (a0，b0)为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为A B C D参考答案：C2. 若，且x为第四象限的角，则tanx的值等于A、B、 C、 D、参考答案：Dx为第四象限的角，于是，故选D3. 设集合，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D.参考答案：A略4. 已知定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x1），且当x0，1时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=|x|在1，2上根

2、的个数是（）A2B4C6D8参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用 【专题】函数的性质及应用【分析】关于x的方程f（x）=|x|在1，2上根的个数，即函数y=f（x）和y=|x|的图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数的图象，可得答案【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）=f（x1），即f（x+2）=f（x），故函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）为定义在实数集R上的偶函数，且当x0，1时，f（x）=x2，故在1，2上，函数y=f（x）和y=|x|的图象如下所示：由图可知：两个函数的图象共有4个交点，故关于x的方程f（x）=|x|在1，2上有4个根，故选B【点评】

3、本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点与方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题5. 已知函数，关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）A B C D 参考答案：A6. 给出下列命题：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线 同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行 斜线b在面内的射影为c，直线ac，则ab 异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为，这样的直线L有两条 其中真命题是( )A. B. C. D. 参考答案：B 若AC、BD不异面，则ABCD共面,这与A

4、B、CD异面矛盾将其中一条异面直线平移与另一条相交确定一个平面，则二直线垂直同一个面。没有a在内的条件，不符合三垂线定理 三条7. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图，下列关于函数的命题： 函数是周期函数；函数在上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；当时，函数有4个零点。其中真命题的个数是（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个参考答案：D由导数图象可知，当或时，函数单调递增，当或，函数单调递减，当和，函数取得极大值，当时，函数取得极小值,所以函数不是周期函数，不正确；正确；因为在当和，函数取得极大值，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所

5、以不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以不正确，所以真命题的个数为1个，选D.8. 已知平面向量a=，b=， 则向量A.平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 参考答案：C解析：,由及向量的性质可知,C正确.9. 若集合 A B C D 参考答案：B略10. 已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A（，+）B（，）C（，+）D（，+）参考答案：C考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y

6、仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=a（x3）+z，z相当于直线y=a（x3）+z的纵截距，则a解答：解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=a（x3）+z，z相当于直线y=a（x3）+z的纵截距，则a，则a，故选C点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在极坐标系中，点到直线的距离是 参考答案：12. 已知角a（-0）的终边与单位圆交点的横坐标是，则的值是 。参考答案：13. 已知变量满足约束条件的最大值为5，且k为负整数，则k=_.参考答案：

7、利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:其中点根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在点处取得，由所以.14. 若常数，则函数的定义域为参考答案：15. 若函数在内存在唯一的，使得，则的最小正周期的取值范围为_.参考答案：【分析】根据得到，由的图象特征可得，从而得到的范围，再由周期公式得到周期的范围.【详解】因为，所以.依题意可得，解得，则.故答案为：.【点睛】本题考查利用整体思想、三角函数的五点法作图，研究三角函数的周期，考查数形结合思想的灵活运用，同时求解时注意整体思想的运用.16. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选取7名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，

8、其中甲班同学的平均分是85分，乙班同学成绩的中位数是83，则的值为参考答案：17. 在等差数列中，若，则参考答案：答案:10 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知aR，函数f（x）=x3ax2+ax+a，g（x）=f（x）+（a3）x（1）求证：曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（2，4）；（2）若g（1）是g（x）在区间（0，3上的极大值，但不是最大值，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（1），求出求出方程，从而求出定点即可；

9、（2）求出g（x）的导数，根据g（1）是g（x）在区间（0，3上的极大值，不是最大值，得到关于a的不等式，解出即可【解答】（1）证明：f（x）=3x22ax+a，f（1）=3a，f（1）=a+1，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y（a+1）=（3a）（x1），即a（x2）=3xy2，令x=2，则y=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线过定点（2，4）；（2）解：g（x）=f（x）+a3=3x22ax+2a3=（x1）3x（2a3），令g（x）=0得x=1或x=，g（1）是g（x）在区间（0，3上的极大值，1，a3，令g（x）0，得x1或x，g（x）递增；令g（x）0

10、，得1x，g（x）递减，g（1）不是g（x）在区间（0，3上的最大值，g（x）在区间（0，3上的最大值为g（3）=182a，g（3）=182ag（1）=2a2，a5，又a3，3a5【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题19. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中,设点,直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, （I）求动点的轨迹的方程； （II）设圆过,且圆心在曲线上, 设圆过,且圆心在曲线 上,是圆在轴上截得的弦,当运动时弦长是否为定值？请说明理由参考答案：解：（I）依题意知,直线的方程为：2分点是线段的中点,且,是线段的垂直平分线4分是点到直线的距

11、离点在线段的垂直平分线,6分故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为：8分（II）,到轴的距离为,9分圆的半径,0分则,2分由（I）知, 所以,是定值分略20. 已知向量=（cosx，1），=（sinx，），函数（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数的图象经过点，b、a、c成等差数列，且?=9，求a的值参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理【分析】（1）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用函数的周期以及正弦函数的单调区间求解即可（2）求出A，利用等差数列以及向量的数量积求出bc，通过三角形的面积以及

12、余弦定理求解a即可【解答】解： =，（1）最小正周期：由得：，所以f（x）的单调递增区间为：；（2）由可得：所以，又因为b，a，c成等差数列，所以2a=b+c，而， ?=bccosA=9，bc=18，21. （本小题满分12分） 某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较.()从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15的概率。参考答案：（）从A校样本数据的条

13、形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. （ 1分） A校样本的平均成绩为（分），（ 2分）A校样本的方差为 （ 3分）从B校样本数据统计表可知：B校样本的平均成绩为（分），（4分）B校样本的方差为 （ 5分）因为所以两校学生的计算机成绩平均分相同；又因为，所以A校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B校好. （ 6分）() 依题意，A校成绩为7分的学生应抽取的人数为：人，设为； 成绩为8分的学生应抽取的人数为：人，设为； 成绩为9分的学生应抽取的人数为：人，设为； （ 7分）所以，所有基本事件有：共15个， （ 9分）其中，满足条件的基本事件有：共9个， （ 11分）所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15的概率为。 （ 12分）22. 已知函数f（x）=2|x+1|x3|（1）求不等式f（x）5的解集；（2）当x时，关于x的不等式f（x）|2t3|0有解，求实数t的取值范围参考答案：考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：（1）化简函数的解析式，把不等式转化为与之等价的3个不等式组，解出每个