核衰变的统计规律

1、实验二核衰变的统计规律一实验目的1了解并验证原子核衰变及放射性计数的统计性。2了解统计误差的意义，掌握计算统计误差的方法。3学习检验测量数据的分布类型的方法。二实验内容测量 NaI(Tl) 闪烁晶体探测器的计数率随工作变化的坪曲线，选定合适的工作电压。在相同条件下，对某放射源进行重复测量，画出放射性计数的频率直方图并与理论分布曲线作比较。在相同条件下对本底进行重复测量，画出本底计数的频率分布图，并与理论分布曲线作比较。24用检验法检验放射性计数的统计分布类型。三原理1放射性测量的随机性和统计性在做重复的放射性测量中，即使保持完全相同的实验条件（例如放射性的半衰期足够长，因此在实验时间内可以认为

2、其强度基本上没有变化；源与计数器的相对位置始终保持不变；每次测量时间不变；测量仪器足够精确，不会产生其它的附加误差等等），每次的测量结果并不完全相同， 而是围绕其平均值上下涨落，有时甚至有很大的差别，也就是说物理实验的测量结果具有偶然性，或者说随机性。 物理测量的随机性产生原因不仅在于测量时的偶然误差，而且更是物理现象(当然包括放射性核衰变 )本身的随机性质，即 物理量的实际数值时刻围绕着平均值发生微小起伏。在微观现象领域， 特别是在高能物理实验中， 物理现象本身的统计性更为突出。按照量子力学的原理， 对处于同一个态的微观粒子，测量同一个可观测的物理量时， 即使不存在任何测量误差，各次测量结果

3、也会不同，除非粒子处于这个可观测量的本征态；比如同一种粒子的寿命，其实测值分布在从相当短到相当长的范围内。另一方面， 所谓偶然的东西， 是一种有必然性隐藏在里面的形式；我们正是要通过研究其统计分布规律从而找出在随机数据中包含的规律性。2核衰变数的统计分布放射性原子核衰变数的统计分布可以根据数理统计分布的理论来推导。放射性原子核衰变的过程是一个相互独立彼此无关的过程，即每一个原子核的衰变是完全独立的，与其他原子核是否衰变无关； 因此放射性原子核衰变的测量计数可以看成是一种伯努里试验问题。在N0个原子核的体系中，单位时间内对于每个原子核来说只有两种可能：A 类是原子核发生衰变， B类是没有发生核衰

4、变。- 1 -若放射性原子核的衰变常数为，设 A 类的概率为 p(1 e t ) ，其中 (1e t) 为原子核发生衰变的概率；B 类的概率为 q1pet。P(n) 为由二项式分布可以知道，在t 时间内的核衰变数n为一随机变量，其概率P nN 0!p n (1p) N0 n( N 0 n)! N!（ 21）在 t 时 间 内 ， 衰 变 粒 子 数 为 ： mN 0 p N 0 (1 e t ) ， 对 应 方 根 差 为N 0 pqm (1p )。假如t1，即时间 t远比半衰期小，这时q接近于 1，则可简化为m 。在放射性衰变中，原子核数目N0很大而 p相对而言很小，且如果满足t1，则二项式

5、分布可以简化为泊松分布；因为此时mN 0 pN 0 ，对于在 m附近的 N值可得到：N 0 !N0(N01)(N02) (N0n 1) N 0 n( N 0n )!(1 p) N 0 n(ep ) N 0 nepN 0代入 (1) 式并注意到 mN 0 p ，就得到P NN 0nnepN 0mnmpeN!N!（2 2）即为泊松分布。可以证明，服从泊松分布的随机变量的期望值和方差分别为：E( x)m ，2m 。在核衰变测量中常数 m N 0 p 的意义是明确的：单位时间内， N0 个原子核发生衰变概率 p为 m/N 0，因此 m是单位时间内衰变的粒子数。现在讨论泊松分布中N0很大从而使 m具有较

6、大数值的极限情况。在n较大时， n！可以写成 n!2 nnn e n 代入式（ 2 2），并记nm ，则有：P nmnm1mn 1 / 2 n me1e2()e2m (1/ m) m1/ 2n!mn（2 3）2(1) m1 / 2e2m经过一系列数学处理，可以得到m。所以有：121exp ( nm) 2P Ne 2 m2 m2 m2 2（24）2m 。即当 N很大时，原子核衰变数趋向于正态分布；2式中可以证明和 m就是高斯 (正态) 分布的方差和期望值。需要指出的是， 正态分布是一种非常重要的概率分布，在近代物理实验中， 凡是属于连续型的随机变量几乎都属于正态分布。在自然界中， 凡由大量的、

7、相互独立的因素共同微弱作用下所得到的随机变量也都服从正态分布。即使有些物理量不服从正态分布，但它(或它的测量平均值 )也往往以正态分布为它的极限分布，泊松分布就是一个很好的例子。上面讨论原子核衰变的统计现象，下面我们分析在放射性测量中计数值的统计分布。可- 2 -以证明， 原子核衰变的统计过程服从的泊松分布和正态分布也适用于计数的统计分布，只需将分布公式中的放射性核衰变数n换成计数 N，将衰变掉粒子的平均数m换成计数的平均值M就可以了。M NP(N )eN !1P( N )e2M（2 5）(NM)22（26）对于有限次的重复测量，例如测量次数为A ，则标准偏差 Sx为：AN ) 2( NiSx

8、i 1A1（27）N1AMNi其中A i1，为测量计数的平均值。 可以证明 N 为正态分布期望值的无偏估计，xNx2）。S 为正态分布方差的渐进无偏估计（即当， S当 A 足够大时，SxM ，即2M 。当 M 值较大时，2也可用某一次计数值2N ，N 。N来近似，即由于核衰变的统计性，我们在相同条件下作重复测量时每次测量结果并不完全相同，围绕着平均计数值 M 有一个涨落，其大小可以用均方根差来表示。众所周知，正态分布决定于平均值M 及方差这两个参数，它对称于N N 。对于N 0 ，1则称为标准正态分布：1ez2n( z;0,1)22（28）正态分布数值表都是对应于标准正态分布的。如果对某一放射

9、源进行多次重复测量，得到一组数据，其平均值为N ，那么计数值 N落在 N（即 NN ）范围内的概率为：zNNNP( N ) dNNNNNN1(N N)222edN2（ 29）用变量来代换化成标准正态分布并查表，上式即为：11z2e 2 dz 0.68312（2 10）这就是说，在某实验条件下对某次测量若计数值为N1，则可以认为N1落在 N（即- 3 -NN ）范围内的概率为68.3%，或者说在 N1N 范围内包含真值的概率是68.3%。在实际运算中由于出现概率较大的计数值与平均值N 的偏差不大，我们可以用N1 来代N ；因此对于单次测量值N 1，可以近似地说在 N 1N 1 范围内包含真值的概

10、率是 68.3%，这样一来用单次测量值就大体上确定了真值的范围。这种由于放射性衰变的统计性引起的误差称之为统计误差。由于放射性统计涨落服从正态分布，所以用均方根偏差（也称标准误差）N 来表示。当采用标准误差表示放射性的单次测量值 N1时，则可以表示为：N1N 1NN1N1。用数理统计的术语来说，将68.3%称为 “置信概率 ”（或 “置信度 ”），相应的 “置信区间 ”为N；同理可证当 “置信区间 ”为 N2、 N3时的置信概率为95.5%、 99.7%。23检验法放射性核衰变的测量计数是否符合正态分布或泊松分布或者其他的分布，是一个很重要的问题，牵涉到对随机变量的概率密度函数的假设检验问题。

11、简单地判断实验装置是否存在除统计误差外的偶然误差因素，可以计算平均值与子样方差，比较两者的偏离程度即可。而放射性衰变是否符合于正态分布或泊松分布，可由一组数2据的频率直方图与理论正态分布或泊松分布比较得到一个感性认识。而检验法是从数理统计意义上给出了比较精确的判别准则。它的基本思想是比较理论分布与实测数据分布之间的差异，然后根据概率意义上的反证法即小概率事件在一次实验中不会发生的基本原理来判断这种差别是否显著，从而接受或拒绝理论分布。设对某一放射源进行重复测量得到了A 个数值， 对它们进行分组， 序号用 i表示， i=1 ，2，3m，令：2m( fifi )2i 1fi，其中 m代表分组数，

12、f i表示各组实际观测到的次数，f i为根据理论分布计算得到的各组理论次数。理论次数可以从正态分布概率积分表上查出各区间的正态面积再乘以总次数得到。22ml 1， l是在计算理论次数时所用的可以证明统计量服从分布，其自由度为m 3，泊松分布为 m 2。与此同时，2参数个数：对于具有正态分布的自由度为分布的2ml1。得到根据实测数据算出的统计量2期望值即为其自由度：后，比2较的方法为先设定一个小概率，既显著水平，由分布表找拒绝域的临界值，若计算量2221落入拒绝域即 ( ml)，则拒绝理论分布；反之则接受。14闪烁探测器的坪曲线在进行研究核衰变的统计规律实验时，绝对不能使工作条件 （包括几何条件

13、和探测器状态）有丝毫改变。但在实际情况下工作电压的少量漂移在所难免，因此需要测定NaI(Tl) 闪烁探测器的坪曲线，以确定合适的工作电压，即选择计数率随电压漂移变化较小的工作点。- 4 -暗电流、电子学噪声、宇宙射线、及环境辐射产生的。工作电压应选择源计数率随电压变化较小（曲线较平部分）以及源计数率高而本底计数率相对较低的电压， 如在右图中，就可以选取 840v。四实验装置实验器材包括： NaI(Tl) 闪烁探测器； 放射源（ 137Cs或 60Co)；高压电源、放大器和多道脉冲幅度分析器。五实验步骤连接各仪器设备，对实验现象进行粗测，判断工作是否正常。2.测量 NaI(Tl)闪烁探测器的坪曲

14、线：采取定时计数的方法（建议t=200 秒，以减小统计涨落）；可以从 V=600V开始，V30V 改变工作电压； 一般工作电压不宜超过1000V，以免光电倍增管发生连续放电现象而减短使用寿命。注意：根据所得全能谱形的实际情况可以适当截去前面计数或峰形比较杂乱的几道；在实验中不得改变放射源和探测器的相对位置以及放大器的放大倍数，放大倍数的选取要注意当电压达到1000V左右（即接近电压所取最大值）时谱形不得越出多道脉冲分析器的量程。根据坪曲线的实验结果选取适当的工作电压，并确定放大倍数使谱形在多道脉冲分析器上分布合理。工作状态稳定后，重复进行至少100次以上独立测量放射源总计数率的实验（建议进行-

15、 5 -150200次，每次定时15或 20秒），并算出这组数据的平均值。六实验结果分析与数据处理1 对所测数据分别计算平均值与子样方差， 并求出标准误差， 对实验装置是否存在统计误差以外的偶然误差因素作出判断。对测放射源所得数据作如下处理：作频率直方图这是一种简单直观的检验方法。把一组测量数据按一定的区间分组，统计测量结果出现在各区间内的次数fi或频率（fi/总次数 A ），以次数f i或频率fi/A 为纵坐标，以测量值为横坐标， 这样作出的图形在统计上称为频率直方图。将此图与理论的正态分布比较，就能粗略看放射性衰变的计数分布是否是正态分布。本实验中，测得 A 个数据后，计算算术平均值N 和均方根差的估计值Sx：SxA(NiN ) 2i1A1（A 为总测量次数） ，将平均值 N 置于中央， 以 Sx / 2 为组距把数据分组，算出相应的实验组频率 fi / A ，以 ( NN ) / Sx为横坐标，组频率为纵坐标，作直方图。画出相应的理论分布曲线若计数值服从正态分布，则可算出以 Sx / 2 为组距的各个相应的理论组的频率Pi ，并画于图中。12P iexpN NdN2 Sx22 NSx2（2 11）NN1x 2dNxPiexp()dNxSx ，则2N22 ，故令Sx；因- 6 -1x 2Piexp2