三次样条插值方法在工程实践中的应用

1、南昌航空大学数学与信息科学学院实验报告 南昌航空大大学数学与信息息科学学学院实 验 报报 告课程名称： 计计 算 方 法法 实验名称：三次样样条插值值方法在在工程实实践中的的应用实验类型： 验证证性 综合性性 设计计性实验室名称称： D 504 班级学号： 08806111155 学生姓名： 杨朝朝峰 任课教师（教教师签名名）： 成 绩绩： 实验日期： 20009-11-133 公路平面曲曲线的设设计一、实验目目的由实验一，我我们已经经对插值值的思想想和原理理有了更更深入的的理解。从从中可以以知道，分分段低次次插值虽虽然解决决了高次次插值的的振荡现现象和数数值不稳稳定现象象，使得得插值多多项式

2、具具有一致致收敛性性，保证证了插值值函数整整体的连连续性，但但在函数数插值节节点处不不能很好好地保证证光滑性性要求，这这在某些些要求光光滑性的的工程应应用中是是不能接接受的。如如飞机的的机翼一一般要求求使用流流线形设设计，以以减少空空气阻力力。因此此，在分分段插值值的基础础上，引引进了一一种新的的插值方方法，在在保证原原方法的的收敛性性和稳定定性的同同时，又又使得函函数具有有较高的的光滑性性。通过本实验验的学习习，应掌掌握样条条插值的的基本思思想和原原理，熟熟悉样条条插值法法的程序序编制，能能用来解解决实际际问题。最最好能绘绘出插值值函数的的曲线，并并与实验验一中的的几种插插值法的的图象进进行

3、比较较。二、实验原原理、方方法该题是一个个实际问问题。其其中关键键的是，我我们所设设计的公公路必须须满足汽汽车的安安全和旅旅客舒适适等要求求，而安安全又是是重中之之重，因因此只要要解决这这个问题题，那本本题就解解决了一一大部分分了。实际解题时时，可能能需要用用到三次次样条插插值，这这是分段段插值的的一种，但但是又比比简单的的分段线线性插值值和抛物物插值要要复杂一一些。由由于已进进行过插插值的理理论学习习，前面面实验也也已做过过分段插插值方面面的练习习，其算算法和编编程应自自行设计计。三、实验题题目1问题提提出目前在我国国公路的的平面曲曲线设计计中，主主要以直直导线与与元曲线线的组合合以及直直导

4、线与与复曲线线的组合合为主，在在解决曲曲线的顺顺适性（即即光滑性性）方面面，也只只用了缓缓合曲线线来进行行直线与与曲线，曲曲线与曲曲线间的的过渡。这这种设计计模式，在在地形和和其他条条件受到到限制的的条件下下，必然然会使设设计标准准降低，设设计结果果不能很很好地满满足规范范要求。所所以在当当前立体体交叉桥桥的环道道线性设设计中，以以及一些些先进发发达国家家的公路路平面设设计中，正正在试图图突破以以往设计计模式，寻寻找和探探讨一种种较理想想的设计计方法。而而在某些些情况下下，样条条插值便便是一种种有效的的方法。下下面是一一个关于于公路平平面曲线线设计的的实际问问题： 吉吉林省辉辉南县到到靖宇县县

5、，地处处长白山山脚下，为为山岭重重丘区，地地形复杂杂，冬季季多雪。从从辉南县县到靖宇宇县的二二级公路路中，有有一地形形限制较较严重的的曲线段段，经实实地测得得数据如如下（为为方便起起见，设设以曲线线两端点点的连线线方向为为坐标xx轴方向向，以连连线的法法方向为为坐标yy轴方向向）：x50.00 100.00 150.00 200.00 250.00y23.21 43.56 50.00 43.56 23.21且知二级公公路山岭岭重丘区区的曲线线极限半半径为RR=600m，试试寻找一一种方法法，设计计一条平平面曲线线，使之之既通过过限定很很死的地地形点，而而又能满满足设计计规范规规定的曲曲线要素素

6、要求，并并通过计计算加密密施工控控制点，进进行实地地敷设地地面。2解题要要求试寻找一种种方法，设设计一条条平面曲曲线，使使之既通通过限定定很死的的地形点点，而又又能满足足设计规规范规定定的曲线线要素要要求，并并通过计计算加密密施工控控制点，进进行实地地敷设平平面曲线线。四、实验公公式及程程序框图图 1. 基本本公式：hi=xii-xi-1 (i=1,22,n) fxxi-1,xi=(f(xi)-f(xi-11)/ (xi-xi-1) (ii=1,2,n) ui=hii/(hhi+hi+1) (i=11,2,n-11) vi= hi/ (hhi+hi+1)= 1-ui (i=11,2,n-11)

7、gi=6*(fxi+1,xxi-fxxi,xi-1) /(hi+hi+1) (ii=1,2,n-1) 22.程序序框图：输出Mi以及Si(x)解方程组得到Mi(i=输出Mi以及Si(x)解方程组得到Mi(i=0，1,2,n)按公式计算ui，vi, gi (i=1,2,n-1)按公式计算g0与 gn计算hi与fxi-1,xi (i=1,2,n)输入xi,yi(i=1,2,n)2.源程序序代码：#inclludee #inclludee main()floatt x5=500,1000,1150,2000,2550,y55=23.21,43.56,50.00,43.56,23.21; floaat

8、 hh5,f5,u55,rr5,g5,b55,tt5,M5; int i,nn=4; for(i=11;i=n;i+) hhi=xi-xii-1; /*求出出相邻xx的差*/ ffi=(yyi-yi-11)/hii; /*求求出fxi,xi+1*/ for(i=11;in;ii+) /*求求出ui、rri、gi*/ uui=hi/(hi+hii+1); rri=1-uii; ggi=6*(fi+11-ffi)/(hii+hhi+1); b1=r1/2; for(i=22;in-11;i+) /*求求出bi*/ bbi=ri/(2-uii*bbi-1); t1=g1/2; for(i=22;i0

9、0;i) /*求求出Mi*/ Mi=tii-bbi*Mi+11; for(i=00;in;ii+) prrinttf(M%dd=%ffn,i,Mii); for(i=11;i=n;i+) pprinntf(s%d(xx)=%f(%f-xx)33+(%f)*(x-%f)3+(%ff)*(%f-x)+(%ff)*(x-%f)n, i,Mii-1/(66*hi), xxi,Mi/(6*hii),xii-1,(yyi-1-Mii-1*hi*hii/66)/ hii,xxi,(yyi-Mi*hii*hhi/6)/hi,xii-1);四、实验过过程中需需要记录录的数据据： 在程序序中，主主要记录录的数据据

10、有hi，ui，vi，gi以及最最重要的的是在区区间xxi-11, xi的三次次插值函函数的二二阶导数数Mi，最后后输出在在各个小小区间内内的三次次样条插插值函数数即可。实验数据处处理及结结果分析析在程序检查查无误时时，在wwin-TC上上运行并并看结果果，结果果如图：结果分析：由计算算机算出出的应该该没有错错，但是是在输出出Si(x)时的形形式不怎怎么规范范，因此此可以把把结果写写成：当x属于（550.000，1100.00）时时s(x)=-0.00000244(x-50.00000000)3+0.46442000(1000.00000000-x)+0.99322286(x-550.00000

11、000) 当x属于于（1000.000，1150.00）时时s(x)=-0.00000244(1550.00000000-x)33-0.00000144(x-1000.00000000)33+0.93222866(1550.00000000-x)+1.03338557(xx-1000.00000000)当x属于（1150.00，2200.00）时时s(x)=-0.00000144(2000.00000000-x)33-0.00000244(x-1500.00000000)33+1.03338577(2000.00000000-x)+0.93222866(x-1500.00000000)当x属于

12、（2200.00，2250.00）时时s(x)=-0.00000244(2550.00000000-x)33+0.00000000(x-2000.00000000)33+0.93222866(2550.00000000-x)+0.46442000(x-2000.00000000)实验中存在在的问题题及解决决方案在编程的过过程中，开开始没有有很好的的区分和和利用三三次样条条的公式式，导致致实验一一直是错错误地答答案，与与事实不不相符。而而且在实实验的输输出结果果中无法法用一种种很好的的方式输输出正确确的形式式，最终终只能用用s%dd(x)=%ff(%ff-x)3+(%ff)*(x-%f)3+(%f)*(%f-xx)+(%f)*(x-%ff)的形形式输出出结果。并并且在该该实验程程序中有有太多的的循环，导导致循环环的次数数有时会会搞错，而而且又要要合理的的利用每每次循环环的次数数，才能能达到一一个正确确的结果果。心得体会 通过本本次编程程，在一一定程度度下进一一步对样样条插值值的思想想和原理理有了更更深入的的理解，也了解了了分段低低次插值值虽然解解决了高高次插值值的振荡荡现象和和数值不不稳定现现象。