梁的弯扭失稳

1、第四章梁的弯扭失稳在最大刚度平面内承受弯曲作用的理想弹性梁，如图4.1所示，在侧向没有足够的支撑，且侧向刚度很差，当弯矩M达到某一限值Mcr时，梁产生突然侧向弯曲变形 u和扭转角邛，此现象 称为弯扭失稳。属于第一类稳定问题，即分岔失稳或分支点失稳。图4.1受弯构件的弯矩与侧扭变形图4.1中，在分岔点 A之前，梁处在平面内稳定的弯曲平衡状态；从分岔点A开始出现了不稳定的平面弯曲加侧扭变形的中T平衡状态，图中水平线a。实际受弯构件在弯曲平面内和平面外都存在几何缺陷，构件一受弯就会产生侧扭变形，其应属于第二类稳定问题， 即极值点失稳。图中b是弹性弯矩一变形曲线， 实际弯矩一变形曲线应为 c, Me是

2、截面边缘纤维开始屈服时对应的弯矩，Mu是极限弯矩。梁的弹性弯扭失稳对图4.2a所示单轴对称截面纯弯梁，采用固定坐标xyz的移动坐标系E ，截面的形心o和剪心s在弱轴y上，剪心矩为y。在yz平面内作用着绕强轴 x的均匀弯矩Mx,当产生平面 外微小的侧扭变形时，任意截面的受力和变形如图4.2b、c所示。分析时采用如下假定：构件为弹性体；弯曲和扭转时，构件截面的形状不变；构件的侧扭变形是微小的；构件为等截面且无缺陷；在弯矩作用平面内的刚度很大，屈曲前变形对弯扭屈曲的影响忽略不计。用平衡法求解纯弯构件弯扭屈曲临界弯矩时可以直接利用第三章所建立的单轴对称截面压弯构件的平衡方程，只需令方程(3.46),

3、(3.47), (3.50)中的P=0即可得到三个平衡方程： TOC o 1-5 h z EIxV + Mx=0(4.1) HYPERLINK l bookmark2 o Current Document EIyu + Mx 中=。(4.2) HYPERLINK l bookmark4 o Current Document EIw邛-(2PyMx +GL -R + MxU = 0(4.3)方程(4.1)是解耦的，方程(4.2)与方程(4.3)是耦联的，对方程(4.2)微分两次，对方 程(4.3)微分一次后可得到一般受力条件下的单轴对称截面受弯构件弹性弯扭屈曲的微分方程。 即rrElyU1V +

4、(Mx中)=0(4.4)80EI w(4.5)A3 8随蚯砰ft Jr sin &图4.2纯弯梁的受力与弯扭变形Mx GIt -R:r,：i +Mxu：04.1.1支撑条件对梁弯扭失稳临界弯矩的影响1.两端简支的纯弯构件对方程（4.4）积分两次后得1.两端简支的纯弯构件对方程（4.4）积分两次后得EI vuMx , = Az By x引入边界条件 u （0） = u （l）=中（0）=华（l） = 0,有 A= B = 0,M x ;：则由式（4.6）得Ely将式（4.7）代入式（4.5）后EI wIV-2 - yM令ki =2 -yMx GIt -R EI wIV-2 - yM令ki =2

5、-yMx GIt -R ,EIwElyEIw：IV则式（4.8）可写作必=0方程(4.9)的通解为=g sinh：Az ip cosh(- 1 z) q sin(- 2Z) , C4 cos(- 2z)式中2(4.11)ki./ki4k2(4.11)81(4.13 )(4.14 )(4.15 )(4.13 )(4.14 )(4.15 )(4.16 )00sinh(?1|)?12sinh(?1|)2：-1cosh(：-1l)2二 1 cosh(：1l)sin(、2 2l)2 _-2 Sin( - 21)2-？2cos(：-2l)_ 24- 2 C0s(-21 )(4.17)由边界条件 出0尸&

6、尸，小。尸虫)=0得到c2 c4 - 022工1 c2 -2c4 - 0ci sinh(: 1l) c2 cosh(: 11)c3 sin(: 2l) c4 cosc 2l )=02222:1 c1 sinh(: 1l) 一二：c2 cosh(: 1l) -: 2c3 sin(: 2l) - 2c4 cos(: 2l) =003和C4有非零解条件，得到稳定方程展开后(ot12 +22 2sinh(ot1l )sin(ot2l) =0(4.18；由于拓2W220,则有可能sinh(c(1l)=0或sin&l)=0。若sh( S)=0则5 =0 ,这样四个常数全由于为零，因此只有 sin(c(2l

7、)=0,即境l =njr,n =1,2,，可以得到最小值ot2 =y ,将%中发、k2的表达 式代入，则得到 Mx的最小值，也即是纯弯构件的弯扭屈曲临界弯矩n2EIyMcr 广 GIt -R二2EIw(4.19)将n2EIyMcr 广 GIt -R二2EIw(4.19)将sin(%l) =0代入式(4.13)(4.16)中可得g =6 =c4=0,这样构件的扭转角为 ,、.二z=c3sin( ：2z) = c3sin 把式(4.20)代入式(4.2)且积分两次后，引入边界条件 u(0)=u=0可得3Mxl c3 ,二zu 二sin 一EIy l(4.20 )(4.21)可见按照小变形理论求解时

8、， 只能了解构件屈曲时变形曲线为正弦半波曲线, 件分支点屈曲问题一样不能具体确定变形幅值。与轴心受压构2.两端固定的纯弯梁两端绕强轴 x弯曲为简支，绕弱轴 y弯曲和绕 z轴的扭转均为固定的边界条件是u(0) =u(l) n (0) n(l) W ,笊0) =%l)=中(0) =(l) =0,符合这些边界条件的变形函数为U=G；-cos陋(M 2 ,则在任意截面的弯矩为M 1 M 2M x 4 1 -2lz,代入式（4.4）、式（4.5）后得到1-1IV.EI yu +MMzl)2他一爪23一0 l(4.27)EIw6V -(GIk -R)甲”+(Mi -Mi M2 、 c z)u =0(4.2

9、8)l式（4.27）、式（4.28）是藕联的变系数微分方程，可用数值法或能量法求解。用Ritz法可以得到目前通用的不等端弯矩作用双轴对称截面梁的临界弯矩计算公式 nJ ！ .n2EIJMcr = EIyGIk 1 + （4.29）l G GIkl2 ）式中H为临界弯矩修正系数，或称为受弯构件的等效弯矩系数，对图4.3所示受力条件，可以推导出Pb =1.75-1.05M/M1 +0.3（M2/M1 2 2.3（4.30）式中Mi、M 2使梁在弯矩作用平面内产生同向曲率变形的取同号，且Mi之M2 ；使梁产生异向曲率变形的取异号，且要求|M1之M2 。83图4.3不等端弯矩作用的梁2.横向荷载作用的

10、梁z- % 2 12z- % 2 122二二-0ElyU 2 EIw ： 2 GI k 2 - R 2 2 -yM x 2 2MxU : -qa 2(4.31)图4.4图4.4横向荷载作用的梁横向均布荷载作用的梁用Ritz法求解临界弯矩时，假定符合几何边界条件的变形函数为u = GSin：,平=C2Sin牛，而Mx =-q3 -z2 ），代入式（4.31）,如不计残余应力，经积分后得到 284二4 EIBeiql ：y 二 3 一34l34l324-Iqal c；47：2 3 c1c二4 EIBeiql ：y 二 3 一34l34l324-Iqal c；47：2 3 c1c224(4.32)由

11、母=0,-C旦=0可得：c2n2EIyc,l22 二23M3二2C2 = 02 二23M3二2-2EIl24 -y - 2 -3M 8aM(4.33)3二2C2 = 0式中M =lql2 ,则梁的稳定方程为8-2eiy2-2eiy2-l2&i2 +3 M3兀2一 3二2二2EI 卬4 二2 -3M2 w - GIk -2l2 k 3二28aM2=0解之可得梁的临界弯矩. 2 ElyMcr . 2 ElyMcr F.152-0.466a+ 0.534Py +,(0.466a+0.534瓦 2 +*1 +GI/EIw ,(4.34 )横向集中荷载作用的梁0 )=0,将方程（4.4）积分两次后得到E

12、IyU = -Mx中+c1z+c2,0 )=0,一. M 厂中0 =0,可得G =c2 =0 ,则有u 二 ，代入式（4.31）后，总势能表达式变为Ely二二12w 二二12w ： 2 EI k ： 2 -R 22 ,M x ： 2m21Elydz-1 pa 平 2(l/2)(4.35)2用Ritz用Ritz法求解时，假定符合几何边界条件的变形函数为 则代入式（4.35 ）,经积分后得C =csin（jiz/l ）,如不计残余应力,n4-4EIw4l3二2 -4p2(冗 +61316192 二2Elyn4-4EIw4l3二2 -4p2(冗 +61316192 二2Ely1 2C212-pac2

13、(4.36)由势能驻值原理旦=0, 二 c并令M = Pl/4 ,则梁的稳定方程为_ 4 _3 Ely2-M二2EIwl2GIk 尸0(4.37 )解之得临界弯矩二2 EI yM cr =1.366l2 0.554a0.406Py0.554a+0.406/ 2 +* +GIkl2d EIwJ(4.38 )8585考虑不同边界条件，不同荷载情况后得到受弯构件弯扭屈曲临界弯矩的通式2EI.n I ,z m i2 x IMcr=Pi2 y P2a + p3Py+J（P2a + P3py 2十2 1+学乜（4.39）ly,1y 7TEIw,式中：； 临界弯矩修正系数，取决于作用于受弯构件上荷载的形式；

14、a 荷载作用点位置影响系数；3 荷载形式不同时对单轴对称截面的修正系数。 具体取值见表4.1。将上式M cr与纯弯构件的 M 口（纯弯）的比值记为 Pb =M-cr,则上式可以写成另一个 M 口 （纯弯）通时（不计R）(4.40)Mcr = A %，b + 卜 +:；+4(4.40)式中等效弯矩系数1 y Iy 江日w/式中等效弯矩系数旦的取值见表4.2。表4.1梁临界弯矩计算公式中的系数荷翱弯矩图最大弯能端部痈扭系数豺束条件出必如Pmg简支L 0L 130.46n. 53口.1 1 i VI 1 ,t 1J, X固定150. 970.290. 98p%1简支1.0L 350- 550.411

15、1固定0.51i.D70.423.时1再料y_/巴筒支固定L00.51.04ni0,420.410. 57Jr1- VI1- Uo1_11Pl左端不能翘曲1.01.231,70. 64一i立吊urn4城E左端不 能翘曲1. 02n 053, 4286表4.2等效弯矩系数区里段贽力弯咫图再应用施喝(1)p j 、/Pi.y(l-2a/Z)1+0, M(1-wn1P.T q卜严 广.1 .早口一露河L 35+4(2fl/fP02a/b0J_k6I府产”161.35 + 仇 154J-L2+X SCl90. 9用三1. 0aPifi p 。巴博trPi/fiPl 子门-HZ)1*35+5 36a0a

16、h 0I -W2 J7产由_J产/g冬(1&/4M1+13 + 0+ 10r-1- 25+3,5*QQ. 70. 7LQ4i .* i -o同2,7X叫芦门2手门一加，3)2S1-】3+03* 38+4 . 8fl750.0LI_ I i砧)“4 JJ/4|1/4月_12Hl： .ALI4卅一. 5Mx+3此+49+3收注：1)截面为双轴对称截面，荷载作用于截面的剪心2)表4.2 (b)中，Mmax为无支承梁段内的最大弯矩的绝对值；MA为无支承梁段内1/4点处弯矩的绝对值；MB为无支承梁段中点弯矩的绝对值；MC无支承梁段内3/4点处弯矩的绝对值。【例题4.1】 计算图4.5(a)所示两端简支的

17、双轴对称的焊接工形截面受弯构件临界弯矩和等效弯2Op =19kN /cm2,弹性模量 E 中荷载分别作用于截面的上翼缘、 解截面的几何性质Iw 2Op =19kN /cm2,弹性模量 E 中荷载分别作用于截面的上翼缘、 解截面的几何性质Iw =Iyh2/4 =13619808cm6,=2.06 M104kN/cm2,剪切模量 G =7.9父 103kN /cm2。跨中的集剪心和下翼缘。54Ix =2.08 105 54Ix =2.08 105 cm418.2869I y =6550cm, I 18.28693 GIklWx = 4502cm3 ,2 k二 EI临界弯矩修正系数Pi =1.35

18、,荷载作用点位置影响系数日2 = 0.55 ,临界弯矩计算公式为87图4.5跨中集中荷载作用的梁1）当荷载作用于截面的上翼缘时,a = -46.2 cmJiM cr =1.3520600 655029002GIklW4二2EIw4-0.55x46.2 1）当荷载作用于截面的上翼缘时,a = -46.2 cmJiM cr =1.3520600 655029002GIklW4二2EIw4-0.55x46.2 +2 13619808-0.55 46.2:6550;十111+i8.2869 )=2220-25.41.645.67 2330=64690kN cm纯弯构件的临界弯矩McrjiEI yGIk

19、二2 EIw= 26043.221 8.2869 =79365kN cmGIJ2则等效弯矩系数b64690=0.815793652）当荷载作用于截面剪心时,Mcra =0=2220 . 2330 =107183kN cm 飞=1.353）当荷载作用于截面的下翼缘时,a = 46.2cmMcr =1.35ylyMcr =2220 25.41.645.67 2330=177511kN cm177511b2.24员的比值是员的比值是1:1.66:2.74,从上面计算中可以看出，三种荷载作用点不同时，等效弯矩系数 说明荷载作用点位置不同时临界弯矩的差别很大。除了荷载作用于截面上翼缘的临界应力McrWx

20、364690 10322=14.37kN /cm2=19kN / cm2 ,即在弹性状态屈曲外，其他两种情452088况的临界应力都超过了比例极限，均在弹塑性状态屈曲。4.2梁的弹塑性弯扭失稳如果梁的侧向弯曲长细比儿不是很大，梁在失稳时截面应力超出弹性范围，会发生弹塑性弯扭失稳。对焊接组合的截面梁，在焊缝近旁处的残余应力有时高达材料的屈服强度fy ,当梁一开始受载时，截面就会出现局部范围的屈服，特别是受压翼缘局部进入塑性对梁整体稳定会产生不容忽视的影响。求解梁弹塑性弯扭失稳问题，可以采取一个典型的截面和典型的残余应力分布模式，考虑几何缺陷，用数值方法得到梁的临界弯矩。图4.6为两端简支的双轴对

21、称工型截面纯弯梁，残余应力分布如图4.6 (a),且0rt |arc ,在弯矩作用下，上翼缘外侧首先屈服。假定材料为理想弹塑性体，应力屈服后，Et =0 ,而Gt =G4。在弹塑性状态，截面将形成单轴对称截面，截面弹性区为图4.6 (d)的非阴影部分，中和轴向下移动yn,剪心s下移y0 ,图4.6(b)中的虚线即为剪心线。将截面的翼缘，腹板划分为许多单元，单 位面积为Ai；中心坐标为&,y )图4.6弹塑性状态的纯弯梁求解梁弹塑性弯扭失稳临界弯矩的数值方法计算步骤如下：(1)建立截面的M -关系先给定曲率 中,则有对应的弯曲轴坐标yn,截面任一点的应力 q、应变寻满足；i =： yi - yn

22、riEi =E,珏=Ei。, 当一即 i w% 时Ei =0, 5 =% G =G/4当% 时Ei=0, q=RyGt =G/4当与 0.6E =2.06 105 N mm2 , E G =2.6 , 面简支梁的整体稳定系数计算公式当由式(4.43)算得0.6时，应用 吗代替值:(4.43)b =1.070.2820.8(2 x 0.771 -1 0.4336 o 由表 4.2 查出反=1.75。义口加父黑父4义口加父黑父410.4336 11,“98.62X1.2 ：24.4 78.4= 3.555 0.60.2820.282b =1.07 =1.07 =1.07 -0.079 =0.991b3.555Q =4 bQ =4 bWx f /l 二34 0.991 3475.9 103 21510 106=296.24kN3）按照图4.9d截面尺寸计算屈曲荷载截面几何性质参数:% =0.229 ,2截面几何性质参数:% =0.229 ,23A=136cm2, Wx =2919.53cm31 =2 父 0.229 1 = -0.542。由表,iy =5.07cm ,九=500/5.07 = 98.624.2查出 儿=1.75。4320136 78.4-b =1.754320136 78.4-b =1.75