新高考版数学高中总复习专题9.2直线、圆的位置关系(讲解练)教学讲练

1、9.2 直线、圆的位置关系高考数学考点一两直线的位置关系1.两条直线的位置关系特别地,当直线l1与l2垂直时,k1k2=-1,A1A2+B1B2=0. 斜截式一般式l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交k1k2A1B2-A2B10平行k1=k2且b1b2或重合k1=k2且b1=b2A1B2-A2B1=A1C2-A2C1=B1C2-B2C1=0考点清单2.距离公式(1)两点间的距离:平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式:|P1P2|=.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.

2、(2)点到直线的距离:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.(3)两条平行线间的距离:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1C2)间的距离d=.知识拓展(1)用点到直线的距离公式时,直线方程必须化为一般式,还要注意公式中的分子含有绝对值符号,分母含有根号.(2)求两平行线间的距离时,可转化为其中一条直线上的点到另一条直线的距离,也可以代入公式求解,但此时必须先将两直线方程转化为一般形式且x、y的系数分别对应相等.(3)点到几种特殊直线的距离,可直接求出:(i)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;(ii)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;(i

3、ii)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|;(iv)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.考点二直线与圆的位置关系1.点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:dr点在圆外;d=r点在圆上;dr2点在圆外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆上;(x0-a)2+(y0-b)20),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为.位置关系图形判断方法公共点个数代数法几何法相交0dr2相切=0d=r1相离r03.与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0

4、,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两点的直线方程为x0 x+y0y=r2;(4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长|PT|=.4.直线与圆相交直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=d2+,即l=2,求弦长或已知弦长求其他量时,一般用此公式.考点三圆与圆的位置关系1.圆与圆的位

5、置关系设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(Rr),则位置关系外离外切相交内切内含图形公共点个数01210d,R,r的关系dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rd0),其中a,b是定值,r是参数;(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R);(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防

6、漏解).2.两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则有一条公共弦,两圆方程相减得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,即圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.知识拓展(1)当两圆相交时,两圆方程相减,所得的直线方程即为两圆公共弦所在的直线方程,这一结论的前提是两圆相交,如果不确定两圆是否相交,两圆方程相减得到的方程不一定是两圆公共弦所在的直线方程.(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.(3)求公共弦长时,几何法比代数法简单且易求.考法一两直线的位置关系知能拓展例1已知直线l1:a

7、x+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1l2时,求a的值.解析解法一:(1)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平行于l2;当a1时,两条直线的方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1l2解得a=-1.综上可知,当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.(2)当a=1时,直线l1与l2不垂直;当a1时,两条直线的方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1l2得-=-1,解得a=.解法二:(1)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0;由A1

8、C2-A2C10,得a(a2-1)-160,因此l1l2a=-1.故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.(2)由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,故a=.方法总结位置关系的判断方法选择若给的是斜截式方程,则选择运用斜率k和截距b来判断;若给的是一般式方程,则用一般式方程Ax+By+C=0中的系数A,B来判断.考法二直线和圆的位置关系例2已知点P(+1,2-),M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.解题导引 解析由题意得圆心为C(1,2),半径r=2.(1)(+1-1)2+(2-2

9、)2=4,点P在圆C上.又kPC=-1,切线的斜率k=-=1.过点P的圆C的切线方程是y-(2-)=x-(+1),即x-y+1-2=0.(2)(3-1)2+(1-2)2=54,点M在圆C外部.当过点M的直线的斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,直线x-3=0是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离d=r=2,解得k=.切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.|MC|=,过点M的圆

10、C的切线长为=1.方法总结1.求过圆上一点(x0,y0)的切线方程的方法若切线斜率存在且不为零,则先求切点和圆心连线的斜率k,由垂直关系知切线斜率为-,由点斜式可求切线方程;若切线斜率不存在或为零,则可直接写出直线的方程为x=x0或y=y0,检验该直线是不是切线.2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法(1)几何法:当切线斜率存在时,设斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,由圆心到切线的距离等于半径列出关于k的方程,解方程即可得到k的值,从而可得切线方程;当切线斜率不存在时,可直接写出切线的方程为x=x0.(2)代数法:当切线斜率存在时,设斜率

11、为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0求得k值,从而得到切线方程;当切线斜率不存在时,可直接写出切线的方程为x=x0.例3已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.解题导引(1)由直线l1与圆A相切求出圆A的半径r,从而求出圆A的方程.(2)当直线l的斜率不存在时,写出直线l的方程,检验是否满足条件;当直线l的斜率存在时,设出直线l的方程,由|MN|=2=2=2及

12、点A到直线l的距离公式,可求出直线l的斜率k,从而得出l的方程.解析(1)设圆A的半径为r,因为圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,所以r=2,所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=-2,将x=-2代入圆A的方程,得(-2+1)2+(y-2)2=20,解得y=2,此时|MN|=2,则x=-2符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,因为Q是MN的中点,所以AQMN,所以=r2-|AQ|2,又|MN|=2,r=2,所以|AQ|=1.即=1,(k-2)2=k2+1.解得k=.所以直线l的方程为y=(x+2),即3x-4y+6=0.综上,满足题意的直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.方法总结圆的弦长的求法:几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则=r2-d2;代数法:设弦所在直线y=kx+b与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,可列方程组消去y后得到一个关于x的一元二次方程,从而求得x1+x2,x1x2,则弦长|AB|=.考法三圆和圆的位置关系例4已知圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆的公共弦长为.解题导引 解析联立两圆的