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文档简介
1、24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径如图,1 400 多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)是 37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m,你能求赵州桥主桥拱的半径吗?1创设情境,导入新知如图,1 400 多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥主桥问题&探究1 用纸剪一个圆(课前布置学生准备好) 沿着圆的任意一条直径对折,重复 做几次,你发现了什么? 由此你能得到什么结论? 圆是轴对称图形 ,任何一条直径所在直线都是它的对称轴2探究新知问题&探究1 用纸剪一个圆(课前布置学生准备好) 在纸上的圆中任意画一条弦 作直径垂直弦于(垂直于弦的直径
2、) 垂足为E.想一想: (1)此图是轴对称图形吗?如果是对称轴是什么? (2)你能发现哪些相等的线段和弧?为什么? 你能得到什么结论?问题&探究2 在纸上的圆中任意画一条弦 作直径垂直弦动动脑筋 已知:在O中,CD是直径,AB是弦,CDAB,垂足为E。求证:AEBE,ACBC,ADBD。C.OAEBD叠 合 法证明:连结OA、OB,则OAOB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是 O的对称轴。所以,当把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合,AC、AD分别和BC、BD重合。因此AEBE,ACBC,ADBD动动脑筋 已知:在O
3、中,CD是直径,AB是弦,垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。题设结论(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧3获得新知垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。题3获得新知垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.DOCAEB知二推三3获得新知垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所问题&探究3 问题:把垂径定理中的题设垂直于弦的直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论? 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。问题&探究3 问题:把垂径定理中的题设垂直于弦的4新知强化下列哪些图
4、形可以用垂径定理?你能说明理由吗?DOCAEBDOCAEB图1图2图3图4OAEBDOCAEB4新知强化下列哪些图形可以用垂径定理?你能说明理由吗?5利用新知问题回解ACDBO5利用新知问题回解ACDBO 解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在的圆的圆心为O,半径为R,经过圆心O做弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB交于点C,D是AB的中点,C是AB的中点,CD是拱高AB=37.4,CD=7.2 AD=1/2AB=1/23.74=18.7OD=OC-CD=R-7.2在RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得R27.9(m)因此,赵州桥的主桥拱
5、半径为27.9mC 解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在的圆 变式训练改变赵州桥问题中的条件(1)已知跨度、半径求拱高。(2)已知半径、拱高求跨度(3)已知弦心距、半径求跨度 判断(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧.( )(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心.( )(3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( )(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧( )判断(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧如图,已知在两同心圆O 中,大圆弦 AB 交小圆于 C,D,则 AC 与 BD 间可能存在什么关系?6利用新知解决问题DOCAB如图,已知在两同心
6、圆O 中,大圆弦 AB 交小圆于 变式1 如图,若将 AB 向下平移,当移到过圆心时,结论 AC=BD 还成立吗?6利用新知解决问题DOCAB变式1 6利用新知解决问题DOCAB变式2 如图,连接 OA,OB,设 AO=BO,求证:AC=BD6利用新知解决问题DOCAB变式2 6利用新知解决问题DOCAB变式3 连接 OC,OD,设 OC=OD,求证:AC=BD6利用新知解决问题DOCAB变式3 6利用新知解决问题DOCAB内容:垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧构造直角三角形,垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法技巧:重要辅助线是过圆心作弦的垂线重要思路:(由)垂径定
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