高数一试题及答案

1、 高等数学 一 复习资料一、挑选题1. 如lim x 3x2xx3k5,就 k（）3A. 3 B.4 C.5 D.62. 如lim x 1x2k2,就 k（）x1A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲线yex3sinx1在点（ 0,2）处的切线方程为 A.y2x2 B.y2x2 C.y2x3 D.y2x4. 曲线yex3sinx1在点（ 0,2）处的法线方程为 A.y1x2 B.y1x2 C.y1x3 D.y1x322225. lim x 1x21 5）sinx3 C.4 D.A. 0 B.xt1t2 dt ,就f6. 设函数f x 3=（0A 1 B 2 C 3 D 4）个；7. 求函数y

2、2x44x32的拐点有（A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当 x 时,以下函数中有极限的是（）；A. sin x B. 1 x C. x2 1D. arctanxe x 19. 已知 f 3=2,lim h 0 f 3 h2 h f 3 ； A. 3 B. 3 C. 1 D. -1 2 24 210. 设 f x = x 3 x 5 ,就 f 0 为 f x 在区间 2,2 上的（）；A. 微小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值11. 设函数 f x 在 1,2 上可导,且 f 0, f 1 0, f 2 0, 就 f x 在 1,2 内 A. 至少有两个零点 B. 有且只有一个

3、零点C. 没有零点 D. 零点个数不能确定12. f x xf x dx .A. f x C B. f C C. xf x C D. f 2 C13. 已知 y f 2ln x 2,就 y C 2 2 2 2 2 2 A. 2 f ln x 2 f ln x B. 4 f ln x C. 4 f ln x f ln x D. 2 f ln x2 f x x x x14. d f x = B A. f C B. f x C. f x D. f x C2ln x15. dx D x A. 2 ln x C B. ln x C C. 2ln x C D. ln x 2Cx216. lim x 1 x

4、ln x 1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5x17. 设函数 f x 0 t 1 t 2 dt ,就 f 2 =（）A 1 B 0 C 2 D 2318. 曲线 y x 的拐点坐标是 A.0,0 B. 1,1 C.2,2 D.3,3 19. 已知yflnx ,就 y A flnx D.fln A.fln B.flnx C.xx20. d df x A x D.f C A.df x B.f x C.df21. ln xdx A C C.ln xx D. ln x A.xlnxxC B.ln xx二、求积分（每题8 分,共 80 分）1求 cos x sin xdx2. 求 3 4 3ln

5、 x dxx3. 求 arctan xdx34. 求 e xdx5. 求 2 x 3dxx 5 x 66. 求定积分0 1 8 dx3x27. 运算 0 x cos xdx8. 求 2 1dxx 2 x 89. 求 3 dx1 x 22 x 211. 求 12 xe dx2 312. 求 3 x 3 x dx213. 求 1 e lnx xdx214.求 x 3 x dx三、解答题1. 如lim 3 xx2 ax3 xx121 6, 求 a2.争论函数f x 12 x3 x3的单调性并求其单调区间33. 求函数f x x2xx2的间断点并确定其类型24. 设xy2sinxexy,求y.5. 求

6、yx3 1x2的导数x356. 求由方程x yacos t确定的导数y . bsint17. 函数f x e x,x00在x0处是否连续？1,x0tan , x x1e x , x 08. 函数 f x 1, x 0 在 x 0 处是否可导？tan , x x 09. 求抛物线 y x 与直线y x 所围成图形 D 的面积 A . 10. 运算由抛物线 y 22 x 与直线 y x 4 围成的图形 D的面积A . y11. 设 y 是由方程 y sin y xe 确定的函数,求 y12. 求证：ln x x 1, x 1y13. 设 y 是由方程 y 1 xe 确定的函数,求 y3 214.

7、争论函数 f x 2 x 9 x 12 x 3 的单调性并求其单调区间x15. 求证：e 2 x 1,x 1 x 16. 求函数 f x 3 的间断点并确定其类型x x五、解方程1. 求方程y2dxyx2xydy0的通解 . 2. 求方程20yy的通解 .3. 求方程y2yy2 x 的一个特解 . 4. 求方程y5y9y5xe3x的通解 . 高数一复习资料参考答案一、挑选题1-5： DABAA 6-10： DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA 二、求积分1求cosxsinxdxdCx解：cosxsinxdxsinxdsinx2sin3xC2sin3x2332. 求3

8、43ln x dx x43ln解：343lnx dx43lnx1dlnx43lnx1 313x31 4 43lnx4C 6t t dt33. 求arctan xdx解：设uarctanx,dvdx ,即 vx ,就a r c t a n x d xxa r c t a nx d a r cxarctanx1x2dxxxarctanx1ln1x2C 24. 求3 exdx解：3 exdxxt3t 2e 3 t dt3t2t edt2 t3 et 3 e 2 tdt2 t3 e2 3 et6 ett 6 edt2 t3 et 6 e6etC3 x 3e 32 x23x2C dx8时,t2,于是5.

9、 求x2x536dxx解：由上述可知x2x536x5x63,所以x22 xx536dxx5x63dx5x12dx6x13x25lnx26lnx3C x6. 求定积分8dxx0 13解：令3 xt ,即x3 t ,就dx2 3 t dt ,且当x0时,t0；当81dxx23 t dt 231t2tln1t23ln 30301t2020 xsinxdx7. 运算02 xcosxdx解：令u2 x ,dvcosxdx ,就du2 xdx,vsinx ,于是02 xcosxdx02 x dsinxx2sin 002 sinxdx再用分部积分公式,得0 x2cosxdx20 xdcosx2 cos 00

10、cosxdxC8. 求x21x2 cos 0sinx0218dxd x11ln3x21x8dxx19解：x222 163x11ln2xC9. 求1dx64xdx2 3 u du ,从而有23x3x2,就xu32,解：令u1dx23u2du3u211du1uln 1uC3x1u1u11udu3u23 u1211. 求2 12xex2dxex 22e4e解：22xex 2dx2ex 2dx2111233C12. 求3x233 x dx3 x d3x3解：3x233 x dx3x32313. 求eln2xdx1x解：eln2xdxeln2xdln 1lne1lne1x23C13x23Cx1x1333

11、114.求x32 x dx132 x d3x21 23x32 x dx22解：22 33三、解答题1. 如lim 3 xxax2x11 6, 求ax1,所以a9解：由于3 x2 axx192 x2 ax3 x2 axx1否就极限不存在；2.争论函数f x 41x32x23x3的单调性并求其单调区间3解：f x2x3由f x24x30得x 11,x233, 上单调增；所以f x 在区间 x,1 上单调增,在区间1,3 上单调减,在区间2xx2的间断点并确定其类型3. 求函数f x 2解：函数无定义的点为 x 2,是唯独的间断点；因 lim f x 3 知 x 2 是可去间断点；x 24. 设 x

12、y 2sin x e xy, 求 y .2 xy解：y 2 xy y cos x e y y , xyy e y cos x故 y xyx 2 y e 35. 求 y x 1 x5 2 的导数 x 3解：对原式两边取对数得：于是yx31lny3lnx11 2lnx25lnx3,1 2x12x53,y故yx3 1x2x311x53.x3512x2确定的导数y . 6. 求由方程x yacos tbsint解: yxy t bcostb2.xx t asinta2y17. 函数f x e x,x00在x0处是否连续？1,x0tan , x x1解：lim x 0f x lim x 0ex00lim

13、 x 0f x lim tan x 0 x故在x0处不连续；18. 函数f x e x,x00在x0处是否可导？1,x0tan , x x1解：由于lim x 0f xf0lim x 0exx1A. 0,x1,见图 6-9,所以该图所以在x0处不行导；9.求抛物线y2 x 与直线 yx 所围成图形的面积解: 求解方程组yx得直线与抛物线的交点为xyx2y0y1形 在 直线x0与yx=1 之间 ,y1x2为 图 形的 下边 界 , yx为 图形 的 上边 界, 故1x21x31 6. A1xx2dx02030 x22x 与直线y4围成的图形 D的面积A . 10.运算由抛物线解：求解方程组y2x

14、2x得抛物线与直线的交点2,2 和 8, 4 ,见图 6-10,下面分两种y4方法求解 . 2y方法 1 图形 D 夹在水平线 y 2 与 y 4 之间, 其左边界 x,右边界 x y 4,22 2 3 4故 A 42 y 4 y2 d y y2 4 y y6 2 1 8方法 2 图形 D 夹在直线 x 0 与 x 8 之间,上边界为 y 2 x ,而下边界是由两条曲线y 2 x 与 y x 4 分段构成的,所以需要将图形 D 分成两个小区域 D ,D ,故2 8A 0 2 x 2 dx 2 2 x x 4 dx3 2 3 282 2 2 x 2 2 2 x 2 x 4 x 18 . 3 0

15、3 2 2y11. 设 y 是由方程 y sin y xe 确定的函数,求 y解：两边对 x 求导得yycosyeyy xe y10整理得y1eyxeycosy12. 求证：lnxx1,x证明：令f x x1lnx由于f 11xx1x所以f x 0,x1；13. 设 y 是由方程y1y xe 确定的函数,求y解：两边对 x 求导得yeyy xe y2x39x212x3的单调性并求其单调区间 上单调增；整理得y1y eyxe14. 争论函数f x 1,x 22解：f 6x218x12由f 6x218x120得x 1所以f x 在区间 ,1 上单调增,在区间1,2 上单调减,在区间2,15. 求证

16、：ex2x1证：令f x ex2x1xln 2,又由于fln 222ln 2100得由于f x e2所以f x 0；x1x的间断点并确定其类型16. 求函数f x x3 x解：由分母xx30得间断点x0,x1；因lim x 0f x 1知x0是可去间断点；因lim x 1f x lim x 11 1x1知x1也是可去间断点x22因x lim1f x lim x11x1知x1也是可去间断点1x22四、解方程1. 求方程y2dxx2xydy0的通解 . 解原方程可化为x2,dyy2dxxy上式右边分子分母同除2 x 得 yxy2,dy dx1x此为齐次方程,因而令uy,就dyuxdu代入上式得xd

17、xdxuxduu21,分别变量得 两边积分得从而有dxudxu1du,lnC,x lnxu ulnuxcu e,u用uy回代即得原方程的通解yyCex. x2.yyy20解：原方程可化为：dyy04 分8 分dx积分得：yyc 即dy2c 1dx积分得y2c xc 3. 求方程y2yy2 x 的一个特解 . 解由于方程中q1y0且P x 2 2 x ,故可设特解为Ax2BxC , 就y2AxB y2A. 代入原方程有Ax2B 4AB x2A2BC2 x . 比较两边同次幂的系数得A10,4AB解得A1,2A2 BC04,C6, 所以,所求的特解为yx24x6. 2B,4. 求方程y5y9y5xe3x的通解 . 解分两步求解 . （ 1）求对应齐次方程的通解. 对应齐