北京交通大学数字电子技术基础(第二版)教案第一章课件

1、第一节 数制与编码第二节 逻辑代数基础第三节 逻辑函数的标准形式第四节 逻辑函数的化简小结第一章 数字逻辑基础 第一章 数字逻辑基础 本章将依次讨论数字系统中数的表示方法、常用的几种编码，然后介绍逻辑代数的基本概念和基本理论，说明逻辑函数的基本表示形式及其化简。逻辑函数及其化简。重点:二进制数、常用的几种编码、逻辑代数基础、第一节 数制与编码数制不同数制之间的转换二进制正负数的表示及运算常用的编码第一节 数制与编码 一、数制2 321031203+2 3十位数字2个位数字3权值基数： 由09十个数码组成，基数为10。位权：102 101 100 10-1 10-2 10-3计数规律：逢十进一权

2、值10的幂十进制（Decimal） 10-1权 权 权 权任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(652.5)D位置计数法按权展开式(N)D=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)D=Kn-1 10n-1 + +K1101 + K0100 + K-1 10-1 + + K-m 10-m十进制（Decimal）第一节 数制与编码 =6 102+5 101+2 100+5下标D表示十进制二进制（Binary）第一节 数制与编码 只由0、1两个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值2i。基数2，逢二进一任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(N)B=(Kn-1 K1

3、K0. K-1 K-m)B=Kn-1 2n-1 + +K121 + K020 + K-1 2-1 + + K-m 2-m下标B表示二进制任意R进制只由0 （R-1）R个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值Ri，基数R，逢R进一。(N)R=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)R=Kn-1 Rn-1 + +K1R1 + K0R0 + K-1 R-1 + + K-m R-m任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式。常用数制对照表 十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制0123456789101112131415000000010010001101000101011

4、00111100010011010101111001101111011110123456701234567101112131415161789ABCDEF第一节 数制与编码 十进制转换成二进制 小数部分的转换乘基取整法：小数乘以目标数制的基数（R=2），第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。例：将十进制数（0.723）D转换成不大于2-6的二进制数。 不大于2-6 ，即要求保留到小数点后第六位。例：将十进制数（0.723）D转换成不大于2-6的二进制

5、数。0.7232K-110.446K-20.892K-30.784K-40.568K-50.136由此得：(0.723)D=(0.101110)B十进制二进制八进制、十六进制第一节 数制与编码 0.2722222201110K-6 从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每4位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。例： （1011101.101001）B = （?）H (1011101.101001） B = （5D.A4） H1011101.101001小数点为界000D5A4二进制与十六进制之间的转换 第一节 数制

6、与编码 N反=01001001第一节 数制与编码 二进制原码、补码及反码 例：N =10110110 根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有效位加1得到。N补= 无论是补码还是反码，按定义再求补或求反一次，将还原为原码。01001001+ 00000001 0100101001001010即N补= N反+1即N补补= N原第一节 数制与编码 例：(+43)D 二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三种表示方法。对于正数而言，三种表示法都是一样的，即符号位为0，随后是二进制数的绝对值，也就是原码。二进制正负数的表示法 符号位绝对值 二进制负数的原码、反码和补码= 00101011例：-25原=

7、 1 0011001-25反= 1 1100110-25补= 1 1100111符号位“1”加原码符号位“1”加反码符号位“1”加补码补码运算： X1反+X2反 = X1+X2反符号位参加运算X1补+X2补 = X1+X2补符号位参加运算 在数字电路中，用原码求两个正数M和N的减法运算电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可把原码的减法运算变成反码或补码的加法运算，易于电路实现。补码的算术运算 反码运算 ：第一节 数制与编码 例： X1 = 0001000，X2 = -0000011， 求X1+ X2 解： X1反+X2反 = X1+X2反X1反 = 0 0001000X2反 = 1 1111

8、100+）1 0 0000100+） 1X1反+X2反= 0 0000101 反码在进行算术运算时不需判断两数符号位是否相同。当符号位有进位时需循环进位，即把符号位进位加到和的最低位。故得X1+ X2 = + 0000101例： X1 =-0001000，X2 = 0001011， 求X1+ X2解： X1补+X2补 = X1+X2补X1补 = 1 1111000X2补 = 0 0001011+）1 0 0000011X1补+X2补 = 0 0000011 符号位参加运算。不过不需循环进位，如有进位，自动丢弃。故得 X1+ X2 = + 0000011自动丢弃第一节 数制与编码 四、常用的编码

9、二十进制码格雷码校验码 字符编码（一）二十进制码（BCD码） 有权码8421BCD码 用四位自然二进制码的16种组合中的前10种，来表示十进制数09，由高位到低位的权值为23、22、21、20，即为8、4、2、1，由此得名。用文字、符号或数码表示特定对象的过程称为编码。 此外，有权的BCD码还有2421BCD码和5421BCD码等。 无权码余三码是一种常用的无权BCD码。常用的BCD码 十进制8421BCD码01234567890 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 12421BCD码5421BC

10、D码余三码 8 4 2 1b3 b2 b1 b0位权0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0 2 4 2 1b3 b2 b1 b0 5 4 2 1b3 b2 b1 b0无权逻辑符号逻辑表达式F =AB = AB与逻辑真值

11、表与逻辑关系表逻辑与 开关A开关B灯F断 断断 合合 断合 合灭灭灭亮ABF1 01 10 10 00010ABF 与逻辑运算符，也有用“”、“”、“”、“&”表示。第二节 逻辑代数基础 只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生。UABF逻辑符号或逻辑真值表或逻辑关系表逻辑或 开关A开关B灯F断 断断 合合 断合 合亮亮亮灭ABF1 01 10 10 01110第二节 逻辑代数基础 决定某一事件的条件有一个或一个以上具备，这一事件才能发生。 逻辑表达式F= A + BABFUFAB1 或逻辑运算符，也有用“”、“”表示。非逻辑真值表非逻辑关系表逻辑非 开关A灯FAF第二节 逻辑代数

12、基础 当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。逻辑表达式 F = A “-”非逻辑运算符UFAR断 合亮灭1001逻辑符号ABF1与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算F3=AB+CD（三）复合逻辑运算第二节 逻辑代数基础 ABF1ABF21ABF3CD1ABF1 01 10 10 01100逻辑表达式F=AB=AB+AB ABF=1逻辑符号逻辑表达式F=A BABF1 01 10 10 00011第二节 逻辑代数基础 异或运算 同或运算“”异或逻辑运算符= A B“”同或逻辑运算符ABF=1逻辑符号ABF=（四）正逻辑与负逻辑（与门）（或门）第二节 逻辑代

13、数基础 ABFVL VL VL电平关系VL VH VLVH VL VLVH VH VH正逻辑ABF负逻辑ABF0 0 00 1 01 0 01 1 11 1 11 0 10 1 10 0 0VH ：高电平 VL：低电平逻辑0：VH 逻辑1： VL逻辑1：VH 逻辑0： VL 高电平VH用逻辑0表示，低电平VL用逻辑1表示。正、负逻辑间关系正或 = 负与正与 = 负或正与非 = 负或非正或非 = 负与非1逻辑符号等效 在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈。 原来的符号互换（与或、同或异或） 高电平VH用逻辑1表示，低电平VL用逻辑0表示。第二节 逻辑代数基础 11正逻辑正与正与非正或

14、正或非11负逻辑负与负与非负或负或非第二节 逻辑代数基础 二、逻辑函数及其表示方法 用有限个与、或、非等逻辑运算符，应用逻辑关系将若干个逻辑变量A、B、C等连接起来，所得的表达式称为逻辑函数。F(A，B)=A+B F(A，B，C)=A+BC输出变量逻辑函数的表示方法：逻辑图逻辑表达式 波形图 真值表 输入变量例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。试建立该问题的逻辑函数。ABCF00000100110111100101011111011000三个人意见分别用逻辑变量A、B、C表示表决结果用逻辑变量F表示同意为逻辑1，不同意为逻辑0。表决通过为逻辑1，不通过为逻辑0。1.真值表

15、2.逻辑函数表达式 找出函数值为1的项。 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。 这些乘积项作逻辑加。F= ABC+ABC+ABC +ABC 输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABC 、ABC 。1011111010111111第二节 逻辑代数基础 3.逻辑图F= ABC+ABC+ABC +ABC乘积项用与门实现和项用或门实现4.波形图ABFCABCABCABC1ABCF例：证明吸收律成立互补律重叠律第二节 逻辑代数基础 例：证明反演律A B= A+B 和 A+ B=ABA BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000由

16、真值表得 第二节 逻辑代数基础 证：利用真值表A B= A+B ， A+ B=AB1110111010001000 反演律又称摩根定律，常变形为A B= A+B 和 A+B=AB逻辑代数的运算公式和规则 三个基本运算规则 代入规则：任何含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。例： A B= A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律 ABC = A+BC= A+B+C基本运算规则 反演规则：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理： 若把式中的运算符“”换成“+”, “+” 换成“”； 常量“0”换成“1”，“1”换成“0”； 原变量

17、换成反变量，反变量换成原变量，那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。例：F(A，B，C)CBAB )C A(BA +=其反函数为)CBA(BCA)BA(F+= 保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号。基本运算规则 对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”。得到的新函数为原函数F的对偶式F，也称对偶函数。 对偶规则： 如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若F1 = F2 则F1= F2。使公式的数目增加一倍。 求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量

18、是不变的。注： 函数式中有“”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”， “”换成“”。 其对偶式例：FB1C ABA +=)(+FB0C ABA+=) ()(第三节 逻辑函数的标准形式函数表达式的常用形式逻辑函数的标准形式 五种常用表达式F(A，B，C)“与或”式“或与”式“与非与非”式 “或非或非”式“与或非”式 表达式形式转换函数表达式的常用形式 = AB+ AC基本形式例如函数F= AB+ AC 1.与-或表达式转换为或-与表达式F = AB+ AC= AA+ AB+AC+BC= A(A+ B)+C(A+B)= (A +C) (A+ B)吸收率互补率 2.与-或表达式

19、转换为与非与非表达式F = AB+ AC= AB+ AC= AB AC还原率反演率 3.或-与表达式转换为或非或非表达式F = (A +C) (A+ B)= (A +C) (A+ B)= A +C+ A+ B4.或-与表达式转换为与-或-非表达式= A C+ A B逻辑函数的标准形式最小项：n个变量有2n个最小项，记作mi。3个变量有23（8）个最小项。m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。一、 最小项和最大项乘积项和项最小项二进制数十

20、进制数编号 最小项编号i：各输入变量取值看成二进制数，对应十进制数。0 0 1A B C0 0 0m0m1m2m3m4m5m6m71000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项 最小项的性质： 同一组变量取值：任意两个不同最小项的乘积为0，即mimj=0 (ij)。 全部最小项之和为1，即 任意一组变量取值：只有一个最小 项的值为1，其它最小项的值均为0。n个变量有2n个最大项，记作i。n个变量的逻辑函数中，包括全部n个变量

21、的和项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。 同一组变量, 取值任意的两个不同最大项的和为1，即Mi+Mj=1 (ij)。 全部最大项之积为0，即 任意一组变量取值，只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1。最大项：最大项的性质：逻辑函数的标准形式 最小项与最大项的关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系。即: mi =Mi Mi =mi 例：m1m3m5m7=) , , ,(m6510F, , ,(7=) m432F = M（2，3，4，7）FF = M（0，1，5，6）例：由若干个最小项之和表示的表达式F，其反函数F可用与这些最小项相对应的最大项之积表示。逻辑函数的标

22、准形式标准积之和( 最小项）表达式 式中的每一个乘积项均为最小项解：例：的标准积之和表达式。求函数利用互补律，补上所缺变量B。利用互补律，补上所缺变量D。逻辑函数的标准形式A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456701010101例：已知函数的真值表，求该函数的标准积之和表达式。 从真值表找出F为1的对应最小项。解:0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑加。F(A,B,C) 函数的最小项表达式是唯一的。标准和之积 ( 最大项）表达式

23、逻辑函数的标准形式 式中的每一个或项均为最大项。A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456701010101例：已知函数的真值表，求该函数的标准和之积表达式。 从真值表找出F为1的对应最大项。解:0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 1 7 7 1 然后将这些项逻辑与。 函数的最大项表达式是唯一的。“0”代以原变量，“1”代以反变量第四节 逻辑函数的简化代数法化简逻辑函数图解法化简逻辑函数 具有无关项的逻辑函数化简函数化简的目的 逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入

24、端个数少 逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作 降低成本提高电路的工作速度和可靠性第四节 逻辑函数的化简与或表达式最简的标准 与项最少，即表达式中“+”号最少。 每个与项中变量数最少，即表达式中“”号最少。 实现电路的与门少 下级或门输入端个数少与门的输入端个数少方法： 并项：利用将两项并为一项，消去一个变量。 吸收：利用 A + AB = A消去多余的与项。 消元：利用消去多余因子。第四节 逻辑函数的化简一、代数法化简逻辑函数 配项：先乘以 A+A或加上 AA，增加必要的乘积项，再用以上方法化简。代数法化简函数例：化简逻辑函数F = AB+AC+AD+ABCDF = A（B+C+D）

25、+ABCD解：= ABCD+ ABCD= A（BCD+ BCD）= A反演律并项法例：化简逻辑函数F = (A+B+C)(B+BC+C)(DC+DE+DE)(C+D)1= (A+B+C)(C+D)= AC+BC+AD+BD+CD= AC+BC+CD二变量K图A B mi图形法化简函数 卡诺图（K图） 图中一小格对应真值表中的一行，即一个最小项，又称真值图。AABBABBAABABAB1010 m0 m1 m2 m30 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3ABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m

26、4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD三变量K图四变量K图0001111000011110ABCD（1）n个逻辑变量的函数，卡诺图有2n个方格，对应2n个最小项。（2）行列两组变量取值按循环码规律排列，相邻最小项为逻辑相邻项。（3）相邻有邻接和对称两种情况。特点：1. 已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。2. 若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。3. 函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。图形法化简函数 用卡诺图表示逻辑函数例：某函数的真值表如图所

27、示，用卡诺图表示该逻辑函数。ABCF00000100100100010111110101111110ABC000111100111110000F= ABC+ABC+ABC+ABC例：用卡诺图表示该逻辑函数ABC0001111001100001111011111100000001111000011110ABCD四变量K图 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11图形法化简函数 两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量。ABD ADA1 四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量。 八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量。卡诺图化简函数依据： 几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n - i）个变量的积项标注该圈。 上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同。 十六个相邻格圈在一起，结果mi=1。卡诺图合并最小项原则：（1）圈要尽可能大，每个圈包含2n个相邻项。（2）圈的个数要少，使化简后逻辑函数的与项最少。（3）所有含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。（4）圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。 图形法化简函数 与或表达式的简化步骤 由真值表或函数表达式画出逻辑函数的卡诺图。 合并相邻的最小项，注意将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量少、范围大，圈可重复包围