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1、立体几何专练(十四)大题综合练习(1)1如图,长方体中,点为的中点(1)求证:直线平面;(2)求异面直线与所成角的大小2如图,已知三棱锥为正三棱锥,设其底面的边长为,侧棱长为(1)设底边的中点为,若,求异面直线与所成角的大小;(2)设过底边的截面交侧棱于点,若,求截面面积的最小值3空间四边形中,点、分别为对角线、的中点(1)若直线与所成角为,求直线与所成角的大小;(2)若直线与所成角为,求直线与所成角的大小4如图,在五面体中,四边形是正方形,(1)求证:平面平面;(2)设是的中点,棱上是否存在点,使得平面?若存在,求线段的长;若不存在,说明理由5在四棱锥中,平面,底面是梯形,()求证:平面平面
2、;()为棱上的中点,求到面的距离6如图所示,几何体中,四边形为菱形,平面,平面与平面的交线为(1)证明:直线平面;(2)若直线与平面交于点,求四边形周长的范围立体几何专练(十四)大题综合练习(1)1如图,长方体中,点为的中点(1)求证:直线平面;(2)求异面直线与所成角的大小(1)证明:设和交于点,则为的中点连结,又因为是的中点,所以又因为平面,平面所以直线平面(2)解:由(1)知,所以即为异面直线与所成的角因为,且,所以又,所以故异面直线与所成角的大小为2如图,已知三棱锥为正三棱锥,设其底面的边长为,侧棱长为(1)设底边的中点为,若,求异面直线与所成角的大小;(2)设过底边的截面交侧棱于点,
3、若,求截面面积的最小值解:(1)取的中点为,连结,在等边中,所以为异面直线与所成的角,在等边中,在等边中,在中,由余弦定理可知,故异面直线与所成角的大小为;(2),所以,所以,设,在等腰中,当时,取得最小值,由等面积法,解得,又,所以,则等腰中,所以截面的面积的最小值为,当且仅当时取到等号3空间四边形中,点、分别为对角线、的中点(1)若直线与所成角为,求直线与所成角的大小;(2)若直线与所成角为,求直线与所成角的大小解:取的中点为,连结,因为点,分别为对角线,的中点,所以,且,则为直线与所成的角或所成角的补角,为直线与所成角或所成角的补角,又,所以,即为等腰三角形(1)若直线与所成角为,即,则
4、,所以直线与所成的角为;(2)若直线与所成的角为,则或,若,则,即直线与所成角为;若,则,即直线与所成角为;综上所述,直线与所成角为或4如图,在五面体中,四边形是正方形,(1)求证:平面平面;(2)设是的中点,棱上是否存在点,使得平面?若存在,求线段的长;若不存在,说明理由(1)证明:四边形是正方形,又,平面,面,平面平面(2)存在,面,面,并且面面,取中点,中点,取中点,中点,连,可得,且,故四边形为平行四边形,又为中点,在中,面面,在棱上,故当且仅当与重合时,面,5在四棱锥中,平面,底面是梯形,()求证:平面平面;()为棱上的中点,求到面的距离证明:平面,平面,平面,在梯形中,过点作作于,在中,又在中,平面,平面,平面,平面,由,平面,平面,平面,平面,平面平面解:由()可知平面且,由等积法得到到面的距离6如图所示,几何体中,四边形为菱形,平面,平面与平面的交线为(1)证明:直线平面;(2)若直线与平面交于点,求四边形周长的范围(1)证明:如图,连接与交于点,由条件可知且,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面,因为平面与平面的交线为,所以,因为平面,所以,又因为四边形为菱形,所以,又因为,所以平面,所以直线平面(2)解:因为,平面,平面,所以平面,同理,因为,所以平面平面,由平面与平面平行的性质定理可得,同
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