汽车振动学基础及应用-第4章

1、汽车振动学基础及应用汽车与交通工程学院潘公宇 第4章 多自由度系统的振动4.1 多自由度振动系统的运动微分方程式4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则 坐标4.3 多自由度系统的响应4.4 拉格朗日方程在振动分析中的应用4.5 汽车多自由度振动模型4.1 多自由度振动系统的运动微分方程式多自由度系统的运动微分方程可根据动力学原理或运用拉格朗日第二类方程建立如下。其一般可写成矩阵形式如下： （4-2）对于 个自由度系统，惯性矩阵 ，刚度矩阵 及阻尼矩阵都是 矩阵。 其固有频率及固有振型可通过求解系统的无阻尼自由振动方程得到。 设解的形式为：代入式(4-2)得：这是广义的特征值问题。 （4-4）

2、4.1 多自由度振动系统的运动微分方程式特征矩阵 两特征方程分别为： 将特征行列式展开后，得到一个 的 阶的多项式。对于正定系统，求解该式后可得到 的 个大于零的正实根 ，称为特征值。将特征值开方后可求得 个 ，称为系统的固有频率。在大多数情况下，这 个固有频率互不相等，可由小到大，按次序排列 为，并分别称为一阶固有频率，二阶固有频率，。， 阶固有频率。系统的固有频率，只与系统本身的系统本身的物理特性有关，而与外部激励及初始条件无关。4.1 多自由度振动系统的运动微分方程式图4.1 三自由度振动系统及其主振型图4.1所示的系统的运动微分方程式为：写成矩阵形式为：4.1 多自由度振动系统的运动微

3、分方程式令 ， ， 则系统的刚度矩阵和质量矩阵分别为： 由特征方程可得系统的固有频率为：4.1 多自由度振动系统的运动微分方程式将固有频率带入（4-4），并令第一元素为1，可得系统的固有振型如下： 系统的模态矩阵为：4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标4.2.1 固有振型的正交性 由式(4-4)可得： 用 左乘式(4-6)的两端得； （4-6）（4-7）将式(4-7)的两端分别转置并用 右乘得：（4-8）（4-9）式(4-8)(4-9)得： 4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标当 时，必有：同样可得：式(4-11)表示不同模态的固有振型对于惯性矩阵 的正交性，式(4-12) 表

4、示不同模态的固有振型对于刚度矩阵 的正交性。 （4-11）（4-12）4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标4.2.2模态坐标和正则坐标 应用模态矩阵作为变换矩阵，可对以下广义坐标的运动方程：作坐标变换并在等式两边左乘 后，得到以下的运动方程：4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标由于主模态固有振型对 都有正交性，即因此上式变为：或：4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标将模态质量矩阵正则化为单位矩阵得： 即：式中： 称为关于模态质量矩阵的正则振型。 称为正则化因子。 4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标图4.1所示系统的模态矩阵为： 由此可得系统的模态质量矩阵和模态

5、刚度矩阵如下： 4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标则归一化因子 所组成的矩阵为：正则振型矩阵为：4.2 固有振型的正交性，模态坐标和正则坐标正则模态质量矩阵为：正则模态刚度矩阵为：4.3 多自由度系统的响应4.3.1无阻尼系统对初始激励的响应 正则坐标下无阻尼自由振动方程为： 这 个方程是各自独立的，因而可运用单自由度情形的解法分别求解。 设物理坐标系中的初始条件 时， ， 。 由正则变换可得正则坐标下的初始条件 时， ， 。 当 时， 为系统对初始条件的正则响应，同样再由正则变换变回原物理坐标下的响应。 4.3 多自由度系统的响应4.3.2 模态阻尼 对于有阻尼系统，由于它的阻尼矩

6、阵对于固有振型不一定正交，则方程的阻尼项不能解除耦合。要使以上的模态分析法同样适用于阻尼系统，阻尼矩阵必须满足以下条件： 即主模态固有振型不仅对 是正交性，而且对 是正交的。要使上式成立，阻尼必须是比例粘性阻尼。即阻尼矩阵必须是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。4.3 多自由度系统的响应严格来说，满足要求的比例粘性阻尼，应具有的必要而充分的条件是：对于满足比例粘性阻尼的方程作坐标变换，则有： 或 式中， 为模态阻尼矩阵。 为 阶模态阻尼系数。4.4 拉格朗日方程在振动分析中的应用多自由度系统的运动微分方程除了用传统的力学分析来求得外，还常用拉格朗日法来得到系统方程组。拉格朗日法是从能量的观点建立系

7、统的动能、势能和功之间的标量关系，研究静、动力学问题的一种方法。 其处理的方法为：取 自由度系统的 个互为独立的变量 ， ， ， 为广义坐标，则拉格朗日方程的形式为（ ）4.4 拉格朗日方程在振动分析中的应用根据 的不同表达形式，拉格朗日方程存在以下的几种表达方式：（1）当系统为保守系统，即系统作用的主动力仅为势力时，广义力可以表达为式中， 为系统的势能。则保守系统的拉格朗日方程可表示为（ ）4.4 拉格朗日方程在振动分析中的应用（2）当系统除了势力作用以外，还存在其他非势力的作用，则将这部分非势力的虚功记为式中， 为非势力广义力。因此，此时拉格朗日方程推广到非保守系统，可表示为（ ）（3）如

8、果将因为能量耗散函数 引起的阻尼力也从其他的非势力的广义力中分离来，并使 仅代表外部作用的广义激振力（力或力矩等），则可将非保守系统的拉格朗日方程改写为（ ）4.4 拉格朗日方程在振动分析中的应用图4.2所示的系统为多自由度有阻尼振动系统。利用拉格朗日方法该振动系统建立微分方程，其拉格朗日方程形式为 （ ）4.4 拉格朗日方程在振动分析中的应用三自由度系统的振动微分方程组可表示为 将上述方程组改写为矩阵形式，即4.4 拉格朗日方程在振动分析中的应用上式可简写为其中： -为质量矩阵； -为阻尼矩阵； -为阻尼矩阵； 4.5 汽车多自由度振动模型4.5.1 汽车车身车轮的四自由度模型汽车的四自由度

9、振动模型如图4.3所示在此模型中，主要有车身的垂直、俯仰两个自由度和前后车轴质量两个垂直自由度，共四个自由度。4.5 汽车多自由度振动模型汽车四自由度模型的运动方程可由以下两种方式给出。若根据车身质心处的垂向振动量 和俯仰角 ，运动方程可以表示为：4.5 汽车多自由度振动模型当俯仰角 较小时，近似有：因此，运动方程式可表达成另一种形式：对传统的被动悬架系统而言，其前、后悬架力分别为： 4.5 汽车多自由度振动模型4.5.2 整车七自由度模型图4.4 整车七自由度模型 4.5 汽车多自由度振动模型在俯仰角 和侧倾角 较小时，车身四个端点（A、B、C和D）处的垂向位移有如下关系： 因而，车身质心处

10、的垂向运动微分方程为：车身俯仰运动方程为：4.5 汽车多自由度振动模型车身侧倾运动方程为：四个非簧载质量的垂向运动微分方程为：4.5 汽车多自由度振动模型4.5.3 扭振系统模型与分析以某六缸发动机货车动力传动系统为例，其扭振系统力学模型如图4.5所示，符号说明及参数值见表4.1。4.5 汽车多自由度振动模型1. 当量转动惯量的计算当量转动惯量 是指传动系统中与曲轴不同速旋转零部件的转动惯量换算成与曲轴同速旋转条件下的转动惯量。例如当车轮滚动半径为 时，车辆平动质量 的当量转动惯量 记为，等于2. 当量扭转刚度的计算设半轴轴段的实际扭转刚度为，轮胎实际扭转刚度为 ，则其相应的当量扭转刚度 分别

11、为： 4.5 汽车多自由度振动模型3. 扭振系统的运动方程根据所建立的系统扭振模型，可写出系统运动方程如下：将系统微分方程组改写成矩阵形式的动力学方程通式，即：4.5 汽车多自由度振动模型式中，转动惯量阵 阻尼阵 刚度阵 角位移矢量 若以发动机激励为系统输入阵，则：4.5 汽车多自由度振动模型4. 固有频率与振型分析在不考虑外部激励情况下，系统无阻尼自由振动可写成如下齐次方程： 假定系统为线性系统，各圆盘作同频率 、同相位 ，仅振幅 不同的简谐运动，则微分方程组式有如下形式的解：（4-66）（4-67）将式（4-67）代入式（4-66），可得：根据线性代数可知，只有当矩阵的行列式 为零时，上式才有非零解，系统的特征方程即为：（4-68）（4-69）4.