2006-2007年数学分析讲义一2实数理论

1、2011-8-28为什么要讲实数理论上关于实数处理的方式:以往以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义以公理化方式定义实数来回避直接定义实数上述处理方式的缺陷:分割和基本列的方式定义需要引入一系列的工具，并且与中小学脱节公理化的方式使得学生困惑: 实数变的难以理解了应当与中小学十进小数衔接并讲清实数: 讲清2有趣的现象数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过观察推断: 动物有数感 在人类文明史中, 数的概念是逐步扩展开来的 然而数的严格意义上的理论直到在十九世纪后半叶才完成虽然几何原本中已经了可公度比和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等建立数系理论为了完善数学分析理论建立数系

2、理论是要保证数学的真实性,非欧几何的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义 上的真实性应当建立在算术基础上 (Gauss 1817)5数系理论的几何原本中的比例理论以及了现在有理数中的相关结果,但是在比例线段的术语下的Muller 1855一般算术和Grassmann 1861算术中有, 但是讲得不清楚Peano 1889算术原理新方法引入Peano公理系统解决了这个问题。他用了许多符号:, 和N0表示自然数集。812 定义实数遇到的如何从有限小数过渡到无限小数基本想法都是利用有理数序列 近(极限),这就有两个问题引入序列和极限等相关的概念即便如此, 也要先定义清楚作为极限的实数虽然知道实数

3、的众多性质, 如何写出一个逻辑上正确 清晰和不难接受的实数理论仍然有待努力9引入实数的方法Weierstrass: 有自然数出发定义正有理数,然后用无穷多个有理数集合定义实数Dedekind: 有理数分割Canter: 有理数基本列等价类7实数理论是指以有理数系为基础建立实数理论以往的直观想法: 有理数的极限, 然而必须先存在才能谈极限William R Hamilton, 1833, 1835提出无理数的第一个处理, 以时间作为实数的基础提出用将有理数分成两类的方法定义无理数Weierstrass (1857), Mray (1869) Dedekind (1872), Cantor (18

4、73)(来源于Kline IV P46-47)61 数系理论发展简史有趣的现象实数理论简史引入实数的方法数系理论实数理论1 数系理论发展简史2 定义实数遇到的3如何定义实数4 有理数系的性质5 实数定义6 实数的完备性7 实数的运算性质8 记号和实数的进一步性质3第二章 实数理论2006-2007年度第一学期12011-8-28有理数的运算性质加法和乘法满 换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c乘法与加法之间满足分配律:a(b+c)= ab+ac0是加法零元: a: a+0=a1是乘法元: a: a1=a每个数a有负数-a:

5、a+(-a)=0每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=112实数的十进小数定义实数的十进小数定义: 实数集合R定义为:x:NZ|n0,x(n)0,9;k0,nk, x(n)0, x(k)叫作x的第k位小数, 记作xk ;x也写成: x=x+0 x1x2记x= 0 x1x2 叫作x的小数部分n0, sn(x)=x+0 x1x2 xn叫作x的n位小数(舍值)近似, 也记s0(x)=x185 实数定义实数的十进小数定义有理数的十进小数表示实数的序17有理数的不完备性上界: 设AQ, A, 若bQ使得aA, ab,就称b为A的一个上界, 并且说A是有上界的上确界:设AQ, A, bQ叫做A的上确界

6、, 如果(1) b是A的上界, (2) cc上确界的惟一性序的完备性: 任何有上界的集合都有上确界有理数的不完备性: 存在有理数有上界而没有上确界的非空子集:例如aQ | a0, a22 (习题)16有理数序的三歧性和稠密性有理数序的三歧性: a,bQ, 则ab中有且仅有一种情形成立序与加法和乘法的关系:a,b,cQ, ab a+cb+ca,b,cQ且c0, ab acbc记号: ab表示ab或a=b有理数的稠密性: a,bQ, ab, cQ: acb15有理数系Q的建立有理数可以看成是由为了在自然数系中加 减 乘和除封闭而得到的最小集合自然数到有理数的逻辑扩展:由自然数及其积建立整数使得加、

7、减、乘封闭;由整数及其积建立有理数使得加、减、乘和除封闭自然数到有理数的直观扩展: 引入负数和所有正整数份数13自然数系及其运算已经完成了逻辑地引入自然数系N=0,1, 2,的过程(上一章引入的)加法运算就是数数,乘法运算就是一类特殊数数的方法减法: 对小的数加多少的到大的数除法: 分组带余除法: 确定组数和余数归纳法是论证工具124 有理数系的性质自然数系及其运算有理数系的建立有理数的运算性质有理数的序性质和稠密性质有理数的不完备性113如何定义实数与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数系，然后建立相关的性质建立实数的序建立实数的完备性利用有理数的运算和实数的完备性定义实数的运算102011

8、-8-28实数的序实数序的定义: x,yR, xy, 如果nN:x(n)0时, kx注: 当x,y是有限小数时, 与有理数中的序一致实数的序具有三歧性: x,yR, 则xy中有且仅有一种情形成立证明: 任取x,yR,若x=y, 由整数序的三歧性, 不会有xy成立;若xy, 则nN:x(n)y(n), 有归纳法,可设n是满足这一性质的最小自然数, 因而由实数序的定义和整数序的三歧性成立有且仅有xy中的一个20实数的完备性(IV)4 考虑两种情形: (1) 存在k0, nk, k= 9, 如果k1, k-1 1, 取b= 0+0 1k-1+1 为简单这里仅给出 k=1时的证明, k1情形的证明留作

9、习题由xA, x(0)0b=b(0)b是A的上界下面证明b是A的上确界, 任取cR, cb, 如果 c(0)c(0),则 xc 如果c(0)=0, 由m0, c(m)c 因此b是A的上确界263实数的完备性(V)6 假设(2)成立, 则R 令b= 首先说明b是上界 用反证法, 若b不是A的上界,则xA, xb,这就存在k0, jb(k)=k,这与k的取法证明b是A的上确界: 任取cR, cb,则存在k0,jk, c(j)=b(j)=j, c(k)c 这就得到b是A的上确界这样实数的完备性就建立了 #27实数的完备性(III)3 下列两种可能性之一必成立: (1) A有有限小数上确界b=+0 n

10、; (2) 得到: NZ, (0)=Z, k0, (k)=k0,9,有无限多个k0, 满足 xA, x(0), xA满足x(0)=; hN, Ah=x(h+1)| xA, x+0 h h N, h 1是Ah的上确界并且xA满足x(n)=n,n=0, ,h下面证明, 由可以构造出A的上确界25实数的完备性(II)2 然后重复上面的步骤做下去，在第k步得到+0 k满足下列性质: xA, x(0), xA满足x(0)=; h=0, , k-1, Ah=x(h+1)| xA, x+0 h h=1, , k-1, h 1是Ah的上确界并且xA满足x(n)=n, n=0, ,h若+0 k是A的上界,令b=

11、+0 k 就得到了上确界,否则考虑整数集Ak=x(k+1)|xA, x +0 k其有上界9, 设k+1为Ak的上确界,则xA满足x(h)=h, h=1, k+1 由归纳法就得到2实数的完备性(I)R的非空有上界的子集必有上确界证明: 设AR非空且有上界 取定A的一个上界z 下面归纳地构造A的上确界b1 考虑整数集合A0=x(0) | xA, 则x(0)z(0)由整数序的完备性, A0有在其中的上确界即存在xA, x(0)= 很自然地, R 若是 A的上界,取b=就得到了上确界 否则考虑整数集A0=x(1)|xA, x且A0有上界923实数集的上界和上确界上界: 设AR, A, 若bR使得aA,

12、 ab, 就称b为A的一个上界, 并且说A是上有界的上确界:设AR, A, bR叫做A的上确界, 如果(1) b是A的上界, (2) cc事实1: 确界的惟一性事实2: 整数子集具有完备性，并且上确界在所的集合中226 实数的完备性实数集的上界和上确界实数的完备性实数完备性的推论常用记号和名词21有理数的十进小数表示如果aZ, 自然地对应x: x(0)=a, k0, x(k)=0aQ, 如果a有十进小数表示: a=p+0 a1an, 对应的x: x(0)=p,0kn, x(k)=ak, kn, x(k)=0称之为有限小数, 用Qf表示R中所有有限小数的集合R中的其他数叫无限小数aQ, 其十进小

13、数是无限的, 则其十进小数是循环小数, 有引入有理数十进小数方式, 其十进小数不会有9循环(习题), 如此a=p+0 a1an 自然对应x: x(0)=p,k0, x(k)=ak注意这里用到整数部分而可能引起的与中学十进小数表示的差异 192011-8-28常用记号和名词集合A的上,下确界分别记为sup A和inf A, 有时也分别叫作A的最小上界和最大下界如果sup AA, 称sup A为A的最大数, 记sup A为max A; 类似地, 当inf AA时, 称之为A的最小数, 记为min A当集合A没有上界时, 记sup A=+ (或), 也说 A的上确界是正无穷;类似地, 若集合A无下界

14、,记inf A,说A的下确界是负无穷如果A上下都有界, 就说A是有界的 否则就说A294倒数和除法倒数: 对于xR, x0 当x0时, x的倒数定义为: 1/x=supsn1/(sn(x)+10-n)|nN;当x 0, sgn(x); 若x0, 而nk, x(n)=0-x定义为: k=0时, (-x)(0)=-x(0), (-x)(n)=0 k0时, (-x)(0)=-x(0)-1, (-x)(k)=10- x(k); n1,k-1,(-x) (n) =9-x(n); nk, x(n)=0;即k=0时-x=-x; k0时-x=-x-1+0 (9-x1) (9-xk-1)(10-xk)若x为无穷

15、小数,-x定义为: (-x)(0)=-x(0)-1, n0, (-x)(n)=9-x(n)定义: 设x,yR 定义x与y的差x-y为x+(-y)命题1: xR, -(-x)=x, x+(-x)=033加法定义定义: 设x,yR 定义x与y的和为x+y=supsn(x)+sn(y) | nN这个定义是有意义的: 集合sn(x)+sn(y) | nN, 且有上界x+y+2当x,yQ为有限小数时, 上述加法与有理数的加法一致327 实数的运算性质加法定义和减法实数的符号和绝对值乘法定义倒数和除法31上确界的简单性质设A, B是R的非空子集 则1 若AB, 则sup A sup B;2 若xA, yB

16、满足xy,则sup A sup B; 特A=x | I和B=y | I满足xy,则sup A sup B;3 xR, x=supsn(x) | nN30实数完备性的推论实数集的下界和下确界:设AR, A, 若bR使得aA, ab, 就称b为A的一个下界, 并且说A是下有界的设bR是AR的下界, 如果cb, aA, ac,就称b为A的下确界推论1 R的非空有下界的子集必有下确界推论2 R的非空子集的上确界和下确界是惟一的(即至多只有一个)上述两个推论的证明留作习题282011-8-285记号区间: a, bR, ab,有限开区间 (a,b)=xR | axb有限闭区间 a,b=xR | a x

17、b有限半开区间 a,b)=xR | a x a, (-,a) =xR | xa, R= (-,+), a,+) =xR | xa, (-,a邻域: aR, (a,a+xR | |x-a| 称为a的邻域(简称邻域)空心邻域: aR, (a,a+a=xR|0|x-a|0, xA, 使得x 下确界: R为集合A的下确界当且仅当: 0, xA, 使得x0, xA, 使得xM无下界: 非空集合A无下界当且仅当:M0, xA, 使得xM8 记号和实数的进一步性质确界的刻划记号实数集的分离性闭区间套收缩闭区间套3习题三(III)(3)infAsup(A),supAinf(A),其中A=x|xA;(4)inf

18、x|I+infy|Iinf x+y|Isup x+y|Isupx|I+supy|I 9 xR, x=supsn(x) | n N10 证明: a,bR,如果ab与ab同时成立,则a=b11 给出循环小数的定义 证明: 循环小数自然地等于一个有理数; 反之亦然2习题三(II)6 设xR, x0 证明: x (1/x)=17 证明确界的惟一性 上确界是最小上界和下确界是最大下界8 设A, B是R的非空子集 证明:(1) 若AB, 则sup Asup B;(2) 若xA,yB 满足xy, 则supAsupB; 特别若A= x|I和B=y|I满足xy |,则 supAsupB;1习题三(I)1 证明:

19、 aQ | a0, a22是Q中的有上界的非空集合, 但在Q中没有上确界2 设x,yR 证明sn(x)+sn(y) | nN, 且有上界x+y+23 证明: xR, -(-x)=x, x+(-x)=04 证明实数的稠密性: a,bR, ab,cRQ, dQ, acdb5 证明有上界的非空整数子集有在其中的上确界0实数的运算性质的证明系统的证明留作班的内容,作为同学有余力时研究的一个问题实数运算性质的证明(附录)实数序性质的证明(附录)39实数序的三歧性和稠密性实数序的三歧性: a,bR, 则ab中有且仅有一种情形成立序与加法和乘法的关系:a,b,cR, ab a+cb+ca,b,cR且c0,

20、ab acbc记号: ab表示ab或a=b实数的稠密性: a,bR, ab, cRQ, dQ, acdb38实数的运算性质加法和乘法满 换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c乘法与加法之间满足分配律:a(b+c)= ab+ac0是加法零元: a: a+0=a1是乘法元: a: a1=a每个数a有负数-a: a+(-a)=0每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=1372011-8-286习题四(II) 4 设A, B是R的非空子集 证明:(1) 若AB, 则sup A sup B;(2) 若xA, yB满足xy,则sup A sup B; 特别若A=x | I和B=y | I满足xy,则sup A sup B;(3) inf Asup(A), sup Ainf (A), 其中A=x | x A; (4) infx| I+infy | Ix+ y | Isupx | I+supy