微积分iii课件没啥用复合

1、1定理3.4.1证明因为函数 z f ( x, y) 在点( x, y) 可微, 所以z f ( x x, y y) f ( x, y) z x z y .xy其中 o( (x)2 (y)2 ) o(| x | | y |) . (x 0, y 0) .当t 0 时 x x(t)t o(t) y y(t)t o(t) o(| x(t)t o(t) | | y(t)t o(t) |) o(t). 于是lim z lim f x(x, y)x f y (x, y)y lim t 0 t t 0tt 0 t f x(x, y)x(t) f y (x, y) y(t) dz z dx z dyxdtx

2、 dty dttzdzy例1 z (cos t)s, 求.dt解 令 x cos t , y sin t , z x y .dz z dx z dy yx y1 (sin t) x y ln x cos tdtx dty dt sin t (cos t)sint1 (sin t) (cos t)sint ln(cos t) cos t (cos t)sint1ln(cos t) cos2 t sin2 t .定理3.4.1:（复合函数微分法1）设 z f (x, y) x (t) , y (t) . x0 (t0 ) , y0 (t0 ). f (x, y) 在(x0 , y0 ) 可微 (t

3、) 和 y (t) 在点t0 可导.则复合函数 z f (t) , (t) 在点t0 可导 并且dz z dx z dydt t0 x ( x0 , y0 ) dt t0 y ( x0 , y0 ) dt t0在不致误解的前提下，可以写成txzdz z dx z dyydtx dty dt对于多元初等函数的微分运算，只需要了解偏导数概念、掌握一元函数微分法则就可以了研究多元函数的微分法则，是为了揭示多元函数微分运算规律满足一般的情形分析研究问题的需要对于多元函数，根据自变量和中间变量的多少，复合函数微分法则的形式呈现多样性但使用和矩阵能将他们起来一元函数的复合函数微分法：设 y y(u) 和

4、u u( x)复合函数 y y(u( x) .u0 u(x0 ). 函数 y(u) 在点u0 可导 函数 u(x) 在点 x0 可导.则复合函数 y y(u(x) 在点 x0 可导. 并且dyuy.dx0在不致误解的前提下，可以写成dy dy du . dxdu dx对于多元函数，复合函数的微分法具形式？3.4复合函数微分法复合函数微分法则函数的方向导数和梯度2例3 z f ( x2y, x ) 求 z , z2 zyx y yx解 z f (u, v) u x2y, v xyf1 表示对第一个变量 u 求一次偏导数f2 表示对第二个变量 v 求一次偏导数 .z z u z v 2xyf f

5、1xu xv x12 yz z u z v x2 f f x yu yv y12 y 2上述运算在任意点成立.u x2 y 2, v x yz 2xf f x122 z z () (2xf1 f2) (2xf1 ) ( f2)x2x xxxx 2 f 2x ( f ) ( f )1x 1x2其中 ( f ) f1 u f1 v 2xf f x 1u xv x1112 ( f ) f2 u f2 v 2xf f x2u xv x2122所以 2 z 2 2 f4x f4xff.x21111222例2z f ( x2 y 2, x y)z z 2 z 2 z求,x y x2 xy解 z f (u,

6、 v) u x2 y 2, v x yf1 表示对第一个变量 u 求一次偏导数f2 表示对第二个变量 v 求一次偏导数.z z u z v 2 xf f xu xv x12z z u z v 2 yf1 f2yu yv y上述运算在任意点成立.z z u z v,x ( x0 , y0 )u (u0 ,v0 ) x ( x0 , y0 )v (u0 ,v0 ) x ( x0 , y0 )z z u z v,y ( x0 , y0 )u (u0 ,v0 ) y ( x0 , y0 )v (u0 ,v0 ) y ( x0 , y0 )z z u z v ,z z u z v .xu xv xyu

7、yv y定理3.4.2变量关系树型结构：uzv定理3.4.2 （复合函数微分法2）设 z f (u, v) , u u(x, y), v v(x, y)u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )xuz若 f (u, v) 在点(u , v ) 可微yv0 0u(x, y) 和 v(x, y) 在点(x0 , y0 ) 存在偏导数则z f (u(x, y), v(x, y) 在点(x0 , y0 ) 存在偏导数.z z u z v,x ( x0 , y0 )u (u0 ,v0 ) x ( x0 , y0 )v (u0 ,v0 ) x ( x0 , y0 )z z u z v,y

8、 ( x0 , y0 )u (u0 ,v0 ) y ( x0 , y0 )v (u0 ,v0 ) y ( x0 , y0 )对于多个中间变量的情形，有以下结论：定理3.4.1推论假设 y f (u1,u2 ,.,um) 可微ui ui (t) 可导(i 1,2,.,m)则有dy m y duidt u dt .i1i3 (1) 1 (1,1) f2 (1,1) ). f1 (1,1) a , f1 (1,2) b , f1 (1,4) p , f2 (1,4) q .因此 (1) p q(a b) . (1) (1,4) 5 .d 3 3(1) (1)d1 3 52 p q(a b) .例5设

9、函数z = f (x, y)在点(1,1)处可微,且 f (1,1) 4,f (1, 4 ) 5, f1 (1,1) a , f1 (1,2) b , f1 (1,4) p , f2 (1,4) q .令 ( x) f ( x, f ( x, x), 求 d.d 1解 d 3 3(1) (1) . 下面求 (1) .d1 ( x)dz f 1 f df ( x, x).11 (1,4)2 (1,4)dxx 1df ( x, x) f f . 于是dxx11 (1,1)2 (1,1) (1) 1 (1,1) f2 (1,1) ). 例4z 1,u2 v2 w2u x2 y 2, v x2 y2,

10、 w 2xy. 求 z .xzz uz vz wu解 .xvzxu xv xw xywz uz vu(u2 v2 w2 ) 3 v(u2 v2 w2 ) 322z wu v 2x , w 2 y .w(u2 v2 w2 ) 32xxxz 3 2(u2 v2 w2 ) 2 (ux vx wy). x同样的方法可以得到另一个等式：z z u z v .yu yv y定理3.4.2证明在复合函数 z f (u( x, y), v( x, y) 中固定 y ,令 u1( x) u( x, y) , v1( x) v( x, y) .则z 对于 x 的函数关系变成z f (u, v) , u u1 (

11、x), v v1( x) .此时有 u du1 , v dv1 z dz .，xdx xdx xdx利用定理7.4.1的结论可以推dz z du1 z dv1出：dzu dxv dx这就是zz uz vx u x v x .2 z z (2xyf f 1 ) (2xyf ) ( f 1 )yx y ( x ) y12 yy1y 2 y 2 xf 2xy ( f ) 1 f 1 ( f )1y 1y2 2y y 2其中 ( f ) ( f ) u ( f ) v f x2 f 1y 1u 1 y v 1 y1121 y2 ( f ) ( f ) u ( f ) v f x2 f 1y 2u 2

12、y v 2 y2122 y2将计算结果代入即可u x2y, v xy4g(0) f ( x0, y0 ) .g(t) 在 t 0 处求导数:g(0) lim g(t) g(0)t0t lim f ( x0 t cos , y0 t cos ) f ( x0 , y0 ) .t0t如果这个导数存在, 则称这个导数为 f ( x, y) 在点 M 0沿方向v 的方向导数 . 记作fvr M 0 .方向导数反映函数在一点沿不同方向的变化率定义3.4.2 (方向导数)设 z f ( x, y) 为二元函数 , M 0 ( x0 , y0 ) 为定点.vr 是一个向量 l , 是 v 与Ox 轴和Oy

13、轴之间的夹角.vr (cos ,cos ) .vM 0l 是以v 为方向向量并且通过 M 0 的直线直线 l 上的点 M ( x, y) 可以表示成( x, y) ( x0 t cos , y0 t cos ) .若限制M ( x, y) 在 l 上变化,则 f (x, y) 变成 t 的一元函数 :g(t) : f ( x, y) f ( x0 t cos , y0 t cos ) .定义3.4.1 (梯度向量)假设二元函数 f ( x, y) 在点 M ( x0 , y0 ) 可微 .由两个偏导数组成的向量( f ( x, y) , f ( x, y)xy( x0 , y0 )称为 f (

14、 x, y) 在点 M ( x0, y0 ) 的梯度 . 记作grad f ( x0, y0 ) .f ( x, y, z) 在任意点 M ( x, y, z) 的梯度向量 :( f ( x, y, z) , f ( x, y, z) , f ( x, y, z)xyz3.4.2 函数的方向导数和梯度定理3.4.3 （复合函数微分法3）假设 z f (u1,.,uk ) 可微 , 下列函数都存在偏导数：u1u1( x1,.,xn ),.,uk uk ( x1,.,xn ) .则有z z u1 z u2 L z uk xiu1 xiu2 xiuk xi u1 x i 或者用矩阵表示：zzzz u

15、2 (,., x xu uu ) i i12k M u k xi 例6u f ( x xy xyz),求u .xxu f ( x, xy, xyz),求u .yvuxz解(1) 令 v x xy xyz , u du v f (v) (1 y yz) .xdv x(2) u f 1 f y f yz .xpx123qur5u x 2 y,v x 2 y,z z u z v z 1 z 1yu yv yuyvy 1 ( z z ) .y v u2 z z1 zz( ) ()y2y yyy v u 1 ( z z ) 1 ( z z ). 2 y 2 v uy y v u3 11 z 2z 2 z

16、 1 z 2z(2). y 2 y u u2uv 2 y v v2u x 2 y,v x 2 y,2z z zz z zx2x ( x ) x ( u v ) x ( u ) x ( v )其中 z2z u2u v2z2ux ( u ) u2 x uv x u2 uv z2 z u 2u v2z2ux ( v ) uv x v2 x 2u v v因此2z 2z 2z 2zx2 u2 2 uv v2在求解偏微分方程时,经常需要用换化简方程，然后求解.例82z2z 1 z已知 x2 y y2 2 y .作变换 u x 2 y,v x 2 y,2 z 可以将方程可化为0.uv 证明z z(u, v)

17、, u x 2 y , v x 2 y .z z u z v z 1 z 1 z z .xu xv xuvu v f grad f (1,1) vr vr (1,1 ) ( 1 , 1 ) (1,2) 225 1 1 1 2 3 .25 255例7f ( x, y) x y , vr (1,2) . 在点(1,1) 求 f .x y5vr解 f 1 ( x y) 1 ( x y) 2 y;x( x y)2( x y)2f (1) ( x y) 1 ( x y) 2x.y( x y)2( x y)2当( x, y) (1,1) 时f 2 y 1f 2x 1 .x (1,1) ( x y)2 (1

18、,1)2y (1,1) ( x y)2 (1,1)2grad f (1,1) ( 1 , 1 ), vr (1,2) .225方向导数的计算：设 vr (v1, v2 ) 是向量 v (cos , cos ) .g(t) : f ( x, y) f ( x0 t cos , y0 t cos ) .f g(0) d f ( x t cos , y t cos ).vr M 0dt00t 0根据复合函数微分法：d f ( x t cos , y t cos ) f dx f dy dt00 x dty dtf cos f cos grad f ( x0, y0 ) vr .xy这就是方向导数的计算公式6 f ( x, y) dx(t) f ( x, y) dy(t)xdtydt z dx z dy .x dt y dt当t 0 时，有 x 0, y 0 .于是 1 0, 2 0 .因此zzdz zx x y y 1x 2ydtlim t limtt 0t0 lim ( z x z y x x )t0 x ty t1 t2 t z lim x z lim yx t 0 ty t0 t( lim ) lim x ( lim ) lim xt