流体力学讲义 第三章 流体动力学基础

1、 第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。第一节流体流动的基本概念流线（1）流线的定义流线（streamline）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图3-1为流线谱中显示的流线形状。（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量7,再画出距1点很近的2点

2、在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量巴，如此继续下去，得一折线1234，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。:诵谱流线FlowSpectrumAtidSt.te：itnliti已流线是欧拉法分析流动的重要概念。图3-1图3-23）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。C.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小因为对不可压缩流体，元流的流速与其过

3、水断面面积成反比。（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4u为流体质点在A点的流速:u=ui+tiyj+usk设ds为流线上A处的一微元弧长：血=曲+切+试所以d=0即dx_dy_dz展开后得到:%叫叫一一流线方程3-1)或用它们余弦相等推得uds盘张dz张)因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，U和ds重合。3-2)迹线迹线的定义迹线(pathline)某一质点在某一时段内的运动轨迹线图3-5中烟火的轨迹为迹线。迹线的微分方程式中，u,u,u均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量xyz注意：流线和迹线微分方程的异同点。dx_dy_dz流线

4、方程色线(colouringline)又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线。图3-6考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合。流线、迹线、色线的比较：概念名流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。流线方程为：迹线dx_dy_dz叫叫処式中时间t为参变量。情况。迹线方程为：式中时间t为自变量。脉线（色线）是指源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。例1如图3-7,已知流速场为，其中C为常数，求流线方程。解：迹线是指某一质点在某一时刻内的运动

5、轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动dz=0例2已知平面流动dx_dy积分得：+1皿=吩则：因此，流线为Oxy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（C0时）或平面点汇流动（CV0时）试求：（1）t=o时，过点M（T,-1）的流线。（2）求在t=0时刻位于x=-l,y=-1点处流体质点的迹线。dx_dy解：（1）由式叫气（2）由式%巧得：(x+t)(-y+i)=C由t=0时，x=-1,y=-1得C=0,C=0，则有:12将：t=0,x=-l,y=-1代入得瞬时流线xy=1最后可得迹线为即流线是双曲线。“例3试求：（1）在t=t瞬间，过A（xo,y，z）点的流线方程;（2）在

6、t=t瞬间，位于A（xo,yo,zo）点的迹线方程。解：1）流线方程的一般表达式为将本题已知条件代入，则有：积分得：(1+1)lnx=lny+lnC竺4=上心爲_A_yxy当t=t0时，x=x0，y=y0，则有故过A（x0，y0，z0）（2）求迹线方程点的流线方程为沪曲如少代入本题已知条件有：吟%dx迹线一般表达式为坯lnx=+lnC=由式得：”Y(W)1+C=当t=t0时，x=x0代入上式得-2島（1+0In尹=t+lnC=hiJ+inU=n（uJ）由（2）式得：了一当t=t时，y=y代入上式得冷00故迹线方程为t是自变量，消t后得到的轨迹方程为迹线方程：二、流体流动的分类1.层流与紊流1)

7、层流的定义du针形小管玻璃管染色迹线层流(laminarflow)(图3-8)图3-8亦称片流，是指流体质点不互相混杂，流体质点作有条不紊的有序的直线运动。特点：(1)有序性。(2)水头损失与流速的一次方成正比在流速较小且雷诺数Re较小时发生。图3-9层流遵循牛顿内摩擦定律，粘性抑制或约束质点作横向运动。紊流紊流(turbulentflow)(图3-10)针形水管亦称湍流，是指随流速增大，流层逐渐不稳定，质点相互混掺，流体质点沿很不规则的路径运动特点：=(#+册詈(1)无序性、随机性、有旋性、混合性。(2)水头损失与流速的1.752次方成正比。在流速较大且雷诺数较大时发生。图3-10紊流是工程

8、实践中最常见的一种流动，如图3-9，紊流微团不仅有横向脉动，而且有相对于流体总运动的反向运动，紊流中质点运动要素具有随机性，流速的大小方向随机变化，没有两个流体质点可以沿着同样的、甚至相似的路径运动。紊流就是压力表指针不断摆动的原因。想一想：城市污水管网中的出水口（淹没出流）附近的流体流动属于（层流，紊流）。2.恒定流与非恒定流（1）恒定流定义恒定流（steadyflow）:又称定常流，是指流场中的流体流动，空间点上各水力运动要素均不随时间而变化。图3-11)即：=p=p(x,y,z)dtdtdt三者都等于0。（2）注意严格的恒定流只可能发生在层流，在紊流中，由于流动的无序，其流速或压强总有脉

9、动北=丄JuAt但若取时间平均流速（时均流速），若其不随时间变化，则认为该紊流为恒定流。非恒定流1）定义非恒定流（unsteadyflow）：又称非定常流，是指流场中的流体流动空间点上各水力运动要素中,流线號乜b）非恒定流迹客图3-12只要有任何一个随时间的变化而变化的流动。（图3-12）即：勢Hy,z,t）寻h0p=p（x,y,zduxdtlg三者中至少一个不等于0。2）注意在非恒定流情况下，流线的位置随时间而变；流线与迹线不重合。在恒定流情况下，流线的位置不随时间而变，且与迹线重合。问题：恒定流是：A、流动随时间按一定规律变化；B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化：C、各过流断面的速

10、度分布相同；D、各过流断面的压强相同。问题：非恒定流是：A、均匀流与非均匀流按质点运动要素是否随流程变化分为:色=0均匀流流线是平行直线的流动，。（图3-13）均匀流中各过水断面上的流速分布图沿程不变，过水断面是平面，沿程各过水断面的形状和大小都保持一样。例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流都是均匀流。图3-13非均匀流一一流线不是平行直线的流动，。非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流程方向速度分布不均。例：流体在收缩管、扩散管或弯管中的流动。（非均匀流又可分为急变流和渐变流）想一想：何谓均匀流及非均匀流？以上分类与过流断面上流速分布是否均

11、匀有无关系？答案：均匀流是指流线是平行直线的流动，血氐。非均匀流是流线不是平行直线的流动，3五f3*H。这个分类与过流断面上流速分布是否均匀没有关系。渐变流与急变流非均匀流中如流动变化缓慢，流线的曲率很小接近平行，过流断面上的压力基本上是静压分布者为渐变流（graduallyvariedflow），否则为急变流。渐变流沿程逐渐改变的流动。（图3-14）图3-14特征：流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的，同时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线），其极限是均匀流，过水断面可看作是平面。渐变流的加速度很小，惯性力也很小，可以忽略不计。急变流沿程急剧改变的流动。特征：流线间夹角很大或曲率半径较小

12、或二者兼而有之，流线是曲线，过水断面不是一个平面。急变流的加速度较大，因而惯性力不可忽略。想一想：何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？答案：渐变流是指沿程逐渐改变的流动。渐变流的性质：流线之间的夹角很小即流线几乎是平行的，同时流线的曲率半径又很大（即流线几乎是直线），其极限是均匀流，过水断面可看作是平面。渐变流的加速度很小，惯性力也很小，可以忽略不计。按液流运动要素所含空间坐标变量的个数分：一元流一元流（one-dimensionalflow）:流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均

13、值，则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。（图3-15）图3-15二元流二元流（two-dimensionalflow）:流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽略不计,即流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数。（图3-16）图3-17如实际液体在圆截面（轴对称）管道中的流动，如图3-17，运动要素只是柱坐标中r,x的函数而与角无关，这是二元流动。又如在x方向很长的滚水坝的溢流流动，可以认为沿x轴方向没有流动，仅在Oyz一系列平行的平面上流动，而且这些平面上各点的流动状态相同，其运动要素只与两个位置坐标（y,z）有关，因而只需研究平行平面中任一个平面

14、上的流动情况。问题：一元流动是：A、均匀流；B、速度分布按直线变化；C、运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数：D、限于直线流动。拉格朗日法拉格朗日方法（lagrangianmethod）是以流场中每一流体质点作为描述对象的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。质点系法空间坐标彳y=y（a,b,c,f）z=z（a,b,c,t）（口冷,。）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数（1）（a,b,c）=const,t为变数，可以得出某个指定质点在任意

15、时刻所处的位置。（2）（a,b,c）为变数,t=const,可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。由于位置又是时间t的函数，对流速求导可得加速度：速度加速度dx&T3由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如波浪运动）外，在工程流体力学中很少采用。欧拉法欧拉法（eulermethod）是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。流场法它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动液体质点的空间流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个

16、空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数:速度彳uy=uy(x,y,z,t)(x,y,z,t)欧拉变量因欧拉法较简便，是常用的方法。欧拉加速度质点的加速度（流速对时间求导）由两部分组成:（1）时变加速度（当地加速度）（localacceleration）流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；（2）位变加速度（迁移加速度）（connectiveacceleration）流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函数，对流速求导可得加速度:妝加工丄血工

17、dr丄船丄亂血=3F+饭莎+硏帀+亦帀代入上式得:(3-3)等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度；在恒定流中，流场中任意空间点的运动要素不随时间变化，所以时变加速度等于零；在均匀流中质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。1、在水位恒定的情况下:（1）AtA，不存在时变加速度和位变加速度。（2）BtB，不存在时变加速度，但存在位变加速度。VAA(BB(甘一0a图3-192、在水位变化的情况下：AA存在时变加速度，但不存在位变加速度。BtB，既存在时变加速度，又存在位变加速度。问题：均匀流是：A、当地加速度为零；B、迁移加速度为零；C、向心加速度为零；D、合加速度为零。思考

18、题什么是流线、迹线、色线？它们有何区别？流线(streamline)是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。迹线(pathline)是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。色线又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。流线、迹线各有何性质？色线有些什么作用？流线的性质：a、同一时刻的不同流线，不能相交。b、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。c、流线簇的疏密反映了速度的大小(流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小)。色线可用来显示流体的流动轨迹。实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？不存在。弓丨入流线概念是为了便干分析流体的流动，确定流

19、体流动趋势。“只有当过水断面上各点的实际流速均相等时，水流才是均匀流”，该说法是否正确？为什么？不对。均匀流是指运动要素沿稈不发牛改变，而不是针对一过水断面。恒定流、均匀流等各有什么特点？一一一兽=一答案：恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化，恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等干0。譬=0均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化，均匀流时位变加速度等于0。欧拉法、拉格朗日方法各以什么作为其研究对象？对干工程来说，哪种方法是可行的？欧拉法以流场为研究对象，拉格朗日方法以流体质点为研究对象；在工稈中，欧拉法是可行的。第二节流体质点运动特点和有旋流线形体角变形b涼体图3-20(a)一、流体质点的运

20、动特点图3-20(b)刚体的运动是由平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成，如图3-20(a)。流体质点的运动，一般除了平移、转动外，还要发生变形(角变形和线变形)，如图3-20(b)。二、角速度的数学表达式流体质点的旋转用角速度表征，习惯上是把原来互相垂直的两邻边的角速度平均值定义为该转轴的角速度。图3-21中Oxy平面内，质点ABCD经过t时间后到达ABCD,初始位置在Oxy平面上A点的流速为u，uxyQ转角顺时针为负；逆时针为正。图3-21顺时针逆时针角速度三、有旋流和无旋流(3-4)根据流体质点是否绕自身轴旋转，可分为有旋流和无旋流。1.定义有旋流（vortex）:亦称“涡流”。流体质点（微

21、团）在运动中不仅发生平动（或形变），而且绕着自身的瞬时轴线作旋转运动。如旋风即为空气的涡流。当流体速度变化较大，由于流体粘滞阻力、压强不均匀等因素的影响，就容易形成涡流。无旋流（potentialflow）亦称“势流”、“有势流”。流体在运动中，它的微小单元只有平动或变形，但不发生旋转运动，即流体质点不绕其自身任意轴转动。注意：无旋流和有旋流决定于流体质点本身是否旋转，而与运动轨迹无关。G）有旋流（b）无旋流图3-22有旋流和无旋流的特性（1）若=0，艮卩xyz卽乱乱&X，&X卽则流动为无旋流，否则，为有旋流。有旋流（涡流）3、3、3中任一个或全部不等于零的流体运动，绕自身轴有旋转的运动。（与

22、通xyz常的旋转不同）流场内流体质点具有绕质点自身任意轴的角速度。uv=ax,uv=by,u=0例：已知流体流动的流速场为$，判断该流动是无旋流还是有旋流？解：心詹号.心护制。.宀等知。故液体流动是无旋流。（2）有旋流的特征是存在角速度。角速度是一个矢量，所以可如同用流线描述流动一样，可用涡线描述流动的旋转变化。涡线在同一瞬时线上各质点的转速矢量都与该曲线相切。无旋流一般存在于无粘性理想流体中。有旋流一般存在于有粘性实际流体中，但在粘性流体中的层状渗流也可看作是无旋流。想一想：1.粘性流有可能是无旋流吗？为什么？可能：粘性可忽略的情况。例如水和空气，静止时是无涡的，由于它们的粘滞性很小，当它们

23、由静止过渡到运动时，在短距离内可以认为是无涡运动。又如水从水库或大小水箱流入容器时可认为是无涡流动。再如在很宽的矩形顺坡渠道中，在距渠壁较远的纵剖面上，液体质点也可以认为是无旋流。2.什么是有旋流、无旋流？它们各有什么特点？答案：有旋流：质点具有绕自身任意轴旋转的角速度，中至少有一个不等于0。xyz无旋流：质点不具有绕自身任意轴旋转的角速度，即=0。xyz第三节流体动力学基本方程式一、连续性微分方程在流场内取一微元六面体（如图3-23），边长为dx,dy,dz，中心点0流速为（u,u,u）xyz以x轴方向为例：图3-23左表面流速右表面流速所以单位时间内x方向流出流进的质量流量差：呱-=叫+*

24、次等）dr如dz-叫_*次讐）dxdz=次箸）dxdzAdxdydzx方向：处同理可得：y方向：z方向：质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：3-6)（1）流体的连续性微分方程的一般形式由（3-6）式可得彗乱码）|%叫）|次赳）_0密空卽dz3-7)适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。（2）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程更=0当为恒定流时，有况，则（3-7）式为Bg）、次砒）|次化）_。比dydz适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流（3）不可压缩流体的连续性微分方程当为不可压缩流时

25、，有COnSt，则（3-7）式为聖+些+竺=0空砂龛(3-8)39)物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）-鼻卒工寺之差等于零。适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。2)u=0,u=3xy。xy例：有二种的二元液流，其流速可表示为：（1）u=-2y,u=3x；xy试问这两种液流是不可压缩流吗？学+驚+祭=导+嚮=屮“解：（1）符合不可压缩流的连续性方程。所以是不可压缩流。不符合不可压缩流的连续性方程。所以不是不可压缩流。算一算：不可压缩流体对下面的运动是否满足连续性条件？1)%=2x+y=x-x（y-2y）氓=xt+2y7u

26、y=xt-yt（3）不连续；（2）连续；（3）连续二、理想流体运动微分方程从理想流体中任取一（x,y,z）为中心的微元六面体为控制体，边长为dx,dy,dz，中心点压强为p（x,y,z），如图3-24。受力分析（x方向为例）:1.表面力因为理想流体，所以t=0左表面右表面图3-242.质量力单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,乙所以x方向的质量力为Xdxdydz/F=ma由牛顿第二运动定律，x方向有：（p-鲁警）dydz-（p+）（dz+JV/?dx：dydz=/?d?cdydz-1Qpdix加加3lidLL理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）茅更&liliq-7ZdudLi加du冷匸才

27、二才+叫式+均窃+吗云dadbt加加dbtdadudu加du=苛=牙+叫式+均矛+叫式（3-10）适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。血工叫蚁若加速度出m等于0,则上式就可转化为欧拉平衡微分方稈（2-6）式考考你：在什么情况下，加速度会等于0，从而使（310）式转化为（26）式？当流体处于静止或相对平衡状态时三、粘性流体的运动微分方程粘性流体的特点（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：错误！（2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不等，即p丰p丰p。任xxyyzz一点动压强由式（2-5）为:Pxx二丘一2+

28、云备=p_可兮实际流体的运动微分方程式3-11)dx图3-25同样取一微元六面体作为控制体，如图3-25。x向受力左右向压力、上下向切力、前后面切力、质量力x方向（牛顿第二运动定律=Xpxdydz+pdydz-tj?+条dx)dydz-rdrdz-g+夸)dxdz-匸川卩血-+警dx险+些+险=o考虑条件：1）不可压缩流体的连续性微分方程（3-9）：dx和呢2）切应力与主应力的关系表达式（3-11）。可得不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，N-S）方程X_1学+泪2叫加加加芯2忘坯一可一賀役页y莎+冬囱TOC o 1-5 h z一U也电卑乜尝+盘q砂丁

29、左衣芷空y卽e一丄更+诃2叫二尝*比宴*聲3-12)p&叫址密天加y砂e它2_莎|夕V2=他-巴虹|丹$验拉普拉斯算符，例：想一想：N-S方程与欧拉运动微分方程有何联系?NS方稈是不可压缩粘性流体的运动微分方稈，而欧拉运动微分方稈则是理想流体的运动微分方稈。当流动流体的运动粘度等于0,即为理想流体时，NS方程即为欧拉运动微分方程。第四节欧拉运动微分方程的积分由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。欧拉运动微分方程组（3-10）各式分别乘以dx,dy,dz（流场任意相邻两点间距ds的

30、坐标分量），然而相加得:3-13，、在势流条件下的积分考虑条件1.恒定流2.均匀不可压缩流体，即=const，质量力只有重力，即X=Y=0，Z=-g；日巧dus3ux3uz有势流动,满足式（3-5）:_因此，（3-13，式中各项为：Ydy+Zdz=-gz丄淫也+倉如+堂paydzp（考虑欧拉加速度的表达式（3-3）引入有势流动的条件4）諾驭+灣+谒加+舟扣+必+Qdy+善扣+谭+谒）dzE轨煤轨+舟吟池积分得：由以上得理想势流伯努利方程3-14)E+語+舊二U3-15)物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。应用条件：“”所示）

31、符号说明物理意义几何意义z单位重流体的位能（比位能）位置水头心武单位重流体的压能（比压能）压强水头2g单位重流体的动能（比动能）流速水头心武单位重流体总势能（比势能）测压管水头+旦+兰咫注总比能总水头二、沿流线的积分只有重力作用的不可压缩恒定流，有gdz2.恒定流中流线与迹线重合：沿流线（或元流）的能量方程：z+旦+签=C（3-16）注意：积分常数C,在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。一般不同流线各不相同（有旋流）。（应用条件：“”所示，可以是有旋流）判断：公式（314）与公式（316）两式形式完全相同,因此其应用条件也相同。你的回答：错思考题实际流体区别与理想流体有何不同？

32、理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？实际流体具有粘性，存在切应力：实际流体的运动微分方稈中等式的左边比理想流体运动微分方稈增加了由于粘性而产牛的切应力这一项。连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？一般形式，恒定流，不可压缩流：质量守恒。欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用与沿流线的积分有何不同？形式完全相同，但含义不一样。势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限于同一流线。沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。第五节恒定平面势流一、基本方程组对于不可压缩恒定二元势流，有1.平面无旋，

33、即2.恒定流，即3.不可压缩流体，即p=const。因此粘性流体的运动方程（3T2）可简化为：3-17)不可压缩流体的连续性微分方稈（3-9）为:黠+欝=03-18)二、流速势函数（势函数）观看录像日氓日觀存在条件：不可压缩无旋流，即%=或劭必要条件y存在全微分d9直角坐标颯dx+吟二dp=dx+嚳如3-19)式中：9无旋运动的流速势函数，简称势函数。势函数的拉普拉斯方程形式对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有或适用条件：不可压缩流体的有势流动。问题1：流速势函数存在的必要与充分条件是:A、平面无旋流动；B、理想流体平面流动；C、不可压缩流体平面流动

34、;动。问题2：设流速势函数9=xyz，则点B（1,2，1）处的速度uB为：A、5；B、1；C、3；D、2。3-20)D、无旋流极坐标3-21)判断：势函数只在不可压缩流体的有势、平面流动中存在。你的回答三、流函数流函数存在条件：不可压缩流体平面流动。直角坐标瓯I叫=0今经一吗连续性微分方程：阪即加即_农(bc+wdy必要条件知存在全微分dy3-22)式中：y不可压缩流体平面流动的流函数。适用范围：无旋流、有旋流、实际流体、理想流体的不可压缩流体的平面流动。流函数的拉普拉斯方程形式对平面势流，有莎股3-23)适用条件：不可压缩流体的平面有势流动。极坐标3-24)流函数的物理意义(I)流函数等值线

35、心me就是流线。(x,y)=Cdrdy得平面流线方程（3-1）：纵舛，得证。（2）不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差dy等于这两条流线间所通过的单位宽度流量dqo图3-26AB断面所通过流量：dg二叫d克二u-冠d克=叫工）+咛匚0成彼刃册=+=udy-tiydcc。（1）问是否为有势流。=d倂例1：平面点源（汇）流动，如图3-27（2）若有势，求流速势9o（3）是否为不可压缩流体。（4）求平面流动的流函数屮。解：（1）坐=塑dydx所以为有势流。采用极坐标：CC(p=Jdxr+dy=Jiz-dr=dr=Jdr=Clnr+const=Cnjx2+y2+constCx次屮另解：叫

36、-八厂麻Cx(y)=0.Cx(y)=const.-.(p=|Cln(?+才)+const罟=孕五务+q刀=吟饱|咽_u（y/）|如-产毗厂宀严宀b厂所以为不可压缩流。曲常=_笔故+地如甲=j二打莓=CtanJ(三)+G00另解：砂rC2(x)=0C2(x)=const_y:.甲=(Jtan()+const=CO+constx所以流线为通过原点的射线。例2有下面二个流动（a）u=l,u=2；（b）u=4x,u=-4yxyxy试求：（1）判别流动（a）中是否存在流函数？若存在，求流函数屮。（2）判别流动（b）中是否存在势函数？若存在，求势函数9o些乜些=0二些+些二0解：（1）空卽氐卽故满足连续性

37、方程，存在流函数。方法一吩凱+訣fg卯.屮=y+C(x).C(x)=-2x+C1故屮=y-2x+q方法二：宀常=地如电此=_2此+驴二订_加）积分得：屮=y-2x+Ci.血x_3(4x)=0dyBy叫_现一4尹)-()张dy故满足连续性方程，存在流函数。方法一4凱+諛=3+诃不、八(p=J4xdx+C(y)=2x2+C(y).C(y)=-2y2+C2故甲=2x22y2+C2方法一.坤二坯dx+吟=4工此+（-4/用=dQ?-2才）积分得：9=2x2-2y2+C2例3已知流场的流函数y=ax2-ay2；1）证明此流动是无涡流；（2）求出相应的速度势函数；（3）证明流线与等势线正交解：（1）该流场

38、为二元流，速度分量与流函数的关系式如下：1a_a%2dydz丄亞一些丿2dzdx所以此流动为无涡流，存在速度势函数。2）求速度势函数1）现在来确定c（y）；为此将上式对y取偏导数，得因而C（y）=0，即C（y）=C（y为常数）将上式代入（1）式，即得到流速势函数9=-2axy+C3）等流函数线就是流线，流线上任一点的斜率为在同一点上等势线的斜率为流线与等势线在该点上相互正交。想一想：平面流体流动中的固体壁面可以看作是一条流函数等值线吗？可以，因为固体壁面往往可作为零流线来考虑。四、流网流网（flownet）：不可压缩流体平面流动中，在流体质点没有旋转角速度的情况下，流线簇与等势线簇构成的正交网

39、格存在条件：不可压缩平面势流。流网的性质（1）等势线与等流函数线处处正交证明：等势线簇：（x,y）=C等流线簇：屮（x,y）=Cdr“const叫为等势线斜率dx=-1常=const叫为流线斜率得证。（2）流网中每一网格的边长之比等于甲和屮的增值之比（A/A屮），若取A9=A屮，则流网网格为正方形网格。证明：取相邻两线间的差值为AC,流线间隔为An,等势线间隔为sAs=An2=C+2AC曲i=C+AC图3-28流网为正交正方形网格。判断：土坝渗流中的流网网格一定是直线正方形网格。流网的绘制1）图解法1）固体边界上的运动学条件是垂直于边界的流速分量应为零，液体必然沿固体边界流动，所以固体边界本身

40、是流线之一。等势线与边界正交。2）自由液面处和液面垂直的流速等于零。所以自由液面必是流线。3）根据事先选定的网格比例绘制出流线和等势线。再根据流网特征反复修改，力争使每一个网格都绘制成曲边正方形。（2）电比拟法流网的应用流网原理已广泛用于理想流体势流中的速度场、压强场求解，如土坝渗流等。流速场：因流网中，任两相邻流线之间Ay相同，亦即网格内流量Aq=常数，又所以各网格内（流速与间距Dn成反比）。已知一点流速其他各点流速压强场：已知一点压强其他各点压强五、势流叠加原理势流叠加原理：流速势可以进行叠加。例1：求均匀流与点源流动叠加后的流动当几个势流叠加后，其流动仍为势流。均匀流：点源流解：叠加后的

41、流速势函数与流函数均匀流：图3-29=叫dr+吟驴=%dx=一气砥+ixxdy=ttdy该流网如图3-29所示。点源流：=Wj.dr+Lrd=/.=-lnr+C(1常=叫口1召+螞d二是dT.串2=备9七匚即流线是辐射线，等势线是一簇与流线正交的同心圆（图3-30）。叠加后的流速势函数与流函数（图3-31）叠加后的流动流速场图3-30通过滞止点的流线方程图3-31+2兀通过滞止点的流线为：吹讪+卸=C通过滞止点，则有：。吟通过滞止点的流线时餌却妙-旳或卩=疵汀兀一灯）=悬（兀一怙门1蓦）广一8当宀0,yT绘得流网如图3-31所示。结论：通过滞止点的流线将流场分为两部分；由均匀流引起的这部分流量

42、皆在这条流线之外流动，而由点源引起的那部分流量皆在这条流线之内流动。这样便可把通过滞止点的这一条流线视为固壁，并且仅考察其外部绕流，这就是所谓“二元半体绕流”。例2：对于下面平面点源汇流动，如图3-32（1）问是无旋流还是有旋流；（2）若是无旋流，求其速度势；（3）求平面流动的流函数；（4）求压强分布。解：(1)因张3天(x2+y图3-32所以为无旋流。（2）对于点源汇流动，为方便起见采用极坐标示（如图a）,此时:=Jdr=Clnr+Cr=ClnJr2+才+C1上式中积分常数可任意给定，现取积分常数C等于0，由该式可见，等势线是一簇以原点为圆心的同心圆（r=const）(3)上式中含q=0时=

43、0，则积分常数为零，从上式中可见，流线是一簇通过原点的射线（q=const）.由此说明了等势线与流线互相正交。4）由平面势流流场的伯努利方程，若不计重力的影响，应错误!将厂代入整理得图3-33可设rT8时u=0，p=p则C=p，于是88所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图（3-33）所示。最后，上式中C的确定：由单位深度（z=l）的流量称为平面点源（汇）强度。思考题实际流体与理想流体有何不同？理想流体的运动微分方程与实际流体的运动微分方程有何联系？实际流体具有粘性，存在切应力：实际流体的运动微分方程中等式的左边比理想流体运动微分方程增加了由于粘性而产生的切应力这一项。（1）连续性微分方程有哪几

44、种形式？（2）不可压缩流体的连续性微分方程说明了什么问题？（1）一般形式，恒定流，不可压缩流：（2）质量守恒。欧拉运动微分方程组在势流条件下的积分形式的应用与沿流线的积分有何不同？形式完全相同，但含义不一样。势流条件下积分形式是针对理想流体的恒定有势流动中的任何质点，而不局限干同一流线。沿流线积分形式是针对理想流体恒定流流动中同一条流线的质点。流函数、势函数的存在条件各是什么？它们是否都满足拉普拉斯方程形式？为什么？流函数存在条件是不可压缩平面流：势函数存在条件是有势流：若是不可压缩平面势流则均满足拉普拉斯方稈形式流函数有哪些物理意义？答案：（1）流函数等值线叽兀沪就是流线。（2）不可压缩流体的平面流动中，任意