山大《理论力学》教案第2章 平面汇交力系与平面力偶系

1、第2章 平面汇交力系与平面力偶系一、目的要求1平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法，并能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解，掌握汇交力系合成的解析法和平衡方程，并能熟练的应用平衡方程求解汇交力系的平衡问题。3. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。4深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。二、基本内容1平面汇交力系合成的几何法力多边形法则平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。即 或 合力的大小和方向可用力三角形法则或力多边形法则得到。作出图

2、示首尾相接的开口的力多边形，封闭边矢量即所求的合力。2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零。其矢量表达式为（2-2）力系平衡的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。如图2-4所示。3力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力在轴上的投影分别为 力的投影是代数量。4平面汇交力系合成的解析法合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别为零。即 两个独立的平衡方程，可解两个未知量。5.平面内的力对点O之矩是代数量，记为Mo(F)其中F为力的大小，h为力臂，ABO为力矢A

3、B与矩心O组成三角形的面积。一般以逆时针转向为正，反之为负。力矩的解析表达式为： 合力矩定理： 6.力偶和力偶矩：大小相等，方向相反，作用线平行的两个力称为力偶。 力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。 力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。力偶的性质(1)力偶在任一轴上的投影等于零，力偶与一个力不等效，它既不能合成一个力，也不能与一个力平衡，（2）力偶对任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。（3）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。两个推论：（a）力偶可在其作用面内任意移转，而不改变它对物体的作用。（b）只要力偶矩不变,可任意改变力的大小和力偶臂的长短，而不改

4、变力偶对物体的作用。7.平面力偶系的合成与平衡条件（1）平面力偶系的合成平面力偶系合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即 一个独立的平衡方程，可解一个未知量。三、重点和难点重点：1.力在坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。2.力对点之矩的计算、力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条件。难点：力偶系的合成与平衡问题四、学习建议力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴分解是两个不同概念，对比其联系与区别。力偶是力学的基本元素之一，将力和力偶从要素、定量描述、在轴上的投影、对点的矩、等效条

5、件、性质等方面进行比较，清楚力偶矩与力矩的异同点。对力偶系的简化方法及简化结果应了解透彻。对力偶系的平衡问题通过典型例题进行练习。第1节 汇交力系一、目的要求1理解汇交力系合成的几何法，力多边形法则和三角形法则。2能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。3掌握汇交力系合成的解析法，对合力投影定理有清晰的理解，并能熟练地计算。4深入理解平面汇交力系的平衡条件及平衡方程的应用。二、基本内容1基本概念1）力多边形法则2）力在轴上的投影为 N=Fcos式中为力F与n轴间的夹角，投影值为代数量。3）力在空间直角坐标轴的投影(a)直接投影法：已知力F和直角坐标轴夹角、，则力F在三个轴上的投影分别为

6、 (b)间接投影法（即二次投影法）：已知力F和夹角、，则力F在三个轴上的投影分别为 力沿坐标轴分解满足力的平行四边形法则.在直角坐标系下有X=Fx ，Y=Fy ，Z=Fz4）力的解析表达式为F=Xi+Yj+Zk5）合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。 FRx=XFRy=YFRz=Z2汇交力系的平衡条件和平衡方程汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力为零。其解析表达式称为平衡方程。X=0Y=0Z=03汇交力系平衡方程的应用应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要方法。这种解题方法包含以下步骤：根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究

7、对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对象受力图的基础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平衡汇交定理等确定未知反力的方位，以简化求解过程。建立平衡方程式，求解未知量。为顺利地建立平衡方程式求解未知量，应注意如下几点：(a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。(b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑

8、。c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力学题经过上述力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只要所建立的平衡方程组具有完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等），则求解并不困难，若要解的方程组相互联立，则计算（指手算）耗时费力。为免去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧，尽可能做到每个方程只含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。三、重点和难点重点：力在坐标轴上的投影、合力投影定理、汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解析法。难点：物体系平衡问题中正确选取研究对象。四、教学建

9、议1教学提示讲清用三力平衡汇交定理确定未知约束反力方向应注意的问题。讲清力在坐标轴上的投影与力沿坐标轴分解是两个不同概念，对比其联系与区别。对物体系统平衡问题中如何选取恰当的研究对象，应通过典型例题着重讲解，并引导学生进行归纳总结2观看精品课程网上名师教学录象及教学模型。3. 建议学时课内（3学时）课外（4.5学时）4作业布置习题2-12、2-14、2-17、2-19、2-20。第2节 力偶理论一、目的要求1、熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。2深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。3熟练掌握力偶系的合成与平衡的求解。4理解力的平移定理及其意义。二、基本内容1基本概念

10、1）平面内的力对点O之矩是代数量，记为Mo(F)其中F为力的大小，h为力臂，ABO为力矢AB与矩心O组成三角形的面积。一般以逆时针转向为正，反之为负。2）空间中力对点之矩在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为其中r为力F作用点相对于矩心O的位置矢径3)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即在直角坐标条下有Mx(F)=yZ-zY My(F)=zX-xZ Mz(F)=xY-yX4）力矩关系定理 力对已知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。在直角坐标系下有Mo(F)=Mx

11、(F)i+My(F)j+Mz(F)k5）力偶和力偶矩：(a)力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。(b)力偶矩平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向，即M=Fd式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素（力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向），它可用力偶矩矢M表示。力偶矩矢M是个自由矢量，其大小等于力与力偶臂的乘积，方向与力偶作用面垂直，指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。6）力偶的性质(a)力偶在任一轴上的投影等于零，它对任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。（b）力偶的等效条件：若两个力偶的力偶矩矢相等，则它们彼此等效。力偶矩（矢）是力偶作用效果的唯一度量。2力偶系的合成与平衡(a)力偶系的合成(b)力偶系的平衡Mx(F)=0My(F)=0Mz(F)=03力偶系的平衡应用三、重点和难点重点：力对点之矩和对轴之矩的计算、力偶矩的概念、力偶性质和力偶等效条件；力的平移定理。难点：1、空间力偶的矢量表示。 2、力偶系的合成与平衡问题四、教学建议1教学提示强调力偶是力学的基本元素之一，并