电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答

1、第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，B ez 5cos t mT整个装置位于正弦时变磁场0.35(1 cos t)m确定，轨道终端接有电阻R 0.2之中，如题图所示。滑片的位置由x，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为BgdS ezBgezad ab 5cos t 0.2(0.7 x)cos t0.7 0.35(1 cos t) 0.35cos t(1 cos t)故感应电流为. Ein1 dI RR dt1 C CC、/.一 c、 A-0.35 sin t(1 2cos t) 1.75 sin t(1 2cos t)mA一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场B ez

2、B0中与z轴平行。设棒以角速度 绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解 介质棒内距轴线距离为 r处的感应电场为 TOC o 1-5 h z EvBer ezB。erBo故介质棒内的极化强度为PXeoEer(r 1) 0rB。er(0)rBo极化电荷体密度为112p P1 (rP)1(o)r2Bor rr r2(0) Bo极化电荷面密度为p P n e( o)r Bo er r a ( 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为22 ,Qpa 1 p 2 a (o)B。2 .Qps 2 a 1 p 2 a (o)B。平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示

3、。设a 0.2m、b c d 0.1m、I 1.0cos(2107t)A ,求回路中的感应电动势。解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都 是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为Ein-B dtdS - dtB左dS B右dS式中d，B右rB左dSsc 0i2 radrEin电压oi(b c d r)0al / cln(2 bB右dSs2色 dtoiadr2 (b c d r)史ln(410 7b c. b 0.2)1.0cos(2107t),a2b2dtIn 2sin(2107t) 2107V3.484sin(2107t)V有一个环形线圈，导线的长度为l

4、,分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应U (t)。讨论这两种情况下导线内的电场强度解设导线材料的电导率为,横截面积为|S巳S,则导线的电阻为而环形线圈的电感为L,故电压方程为RiLdidt当U=U0时，电流i也为直流,didt此时导线内的切向电场为UoRiIEUoldi当 U=U (t)时，dtU(t)Ri(t) LdiR E(t)SdtLjE(t)S)E(t)SdtdEdt求解此微分方程就可得到lE(t) U(t) L S L S E(t)。圆柱形电容器,内导体半径为a,外导体内半径为b,长为l。设外加电压为U0sin t,试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。

5、解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电 压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即EerU0sin tr ln (b a)故电容器两极板间的位移电流密度为erU 0 cos tr ln (b a)C式中，id J ds2dSln (b a)2 lU 0 cos t0 r ln (b a)er errd dzU 0 cos t C U 0 cos tln（b/a）是长为l的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为可见icC U 0 cos tidic由麦克斯韦方程组出发,导出点电荷的电场强度公式和泊松方程O解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程Dd据散度定理

6、，上式即为?DsdS利用球对称性，得qer 24 r故得点电荷的电场表示式er由于 E 0 ,可取E即得泊松方程(1)在直角坐标中；(2)在圆柱坐试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程: 标中；(3)在球坐标中。(1)在直角坐标中HzyHyJx(2)DxtHxzxHzxHxyJzDztEzEyHxyztExEzHyzxtEyExHzxytBxBy上0 xyzDxDyDzyzx在圆柱坐标中1 HzJr(3)在球坐标系中Hr _ z1(rH r r1 EzHzr1g)r r1 (rDr) r rHrttErDztHzt1 (sin H ) r sinJr1二r sinHr)Dr t D1(rHr

7、 r1 一(sin E ) r sin11 Er-r sin7(rE)1一一(rE )21r sin(sin1r sinr sin(sinr sin已知在空气中E ey0.1sin10 xcos(6109tz)，求H和提示：将解电场E代入直角坐标中的波方程，可求得E应满足波动方程2E 02E7将已知的EeyEy代入方程，得2Ey2Ey2z2Eyt2式中,Ey2 x,Ey2 z0.1(10 )2 sin10 xcos(6109t0.1sin10 x 2 cos(6109tz)故得2Ey 0 0t20.10 0sin10 x (6z)109)2 cos(6109tz)(10 )20 0(6109)

8、2-30054.41rad/m110r0110r0Ht将上式对时间t积分,Hz11 Ey Ey一 E exez TOC o 1-5 h z 0ozx19一ex0.1 sin10 xsin(6 10 t z)o9ez0.1 10 cos10 xcos(6 109tz)得19,9 ex0.1sin10 xcos(610 t0 61099 ,、e cos10 xsin(610 tz)ex2.3 10 4sin10 xcos(6109t 54.41z)4ez1.33 10 cos10 xsin(69109t 54.41z)A/m已知自由空间中球面波的电场为E e E0sin cos( t kr) r求

9、H和k。解可以和前题一样将E代入波动方程来确定k也可以直接由麦克斯韦方程求与E相伴的磁场Ho较，即可确定由而此磁场又要产生与之相伴的电场，同样据麦克斯韦方程求得。将两个电场比k的值。两种方法本质上是一样的。将上式对时间t积分,e(rE ) r re0rke E0sin0rEo sin rcos( tkr)0rsin(E0 sinkr)cos(kr)(1)将式（1）代入工er02_.r sin(r siner2kE02 cos( t kr) 0rr sin k2E0 sin一 (r sin H ) rsin( t kr)(2)将上式对时间t积分，得er2kE，sin( t kr) e rk2E0

10、-sin cos( t kr) r(2)将已知的Esin cos( t kr) r与式（2）比较，可得2k0 0,即1-2含r项的Er分量应略去，且k将k V 0 0代入式（1）,得H试推导在线性、无损耗、各向同性的非均匀媒质中用E和B表布麦克斯韦方程。解注意到非均匀媒质的参数,是空间坐标的函数，因此(B)J)12E)DJt因此，麦克斯韦第一方程变为E)故麦克斯韦第四方程变为1则在非均匀媒质中，用E和B表示的麦克斯韦方程组为写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件O解空气和理想导体分界面的边界条件 为n H Js根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E Js Jms即可得到空气和理想磁介质分

11、界面上的边界条 件n E Jms式中，Jms为表面磁流密度。提出推导n hi J的详细步骤。解如题图所示，设第2区为理想导体（2）。在分界面上取闭合路径abcda,ab cdl, bcda0o对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得dldlddl HcdlaH dldH2lhm0( JSdSS*dS)(1)因为 t为有限值，故上式中一dS t而（1）式中的另一项lim J dSh 0S为闭合路径所包围的传导电流。 的绕行方向成右手螺旋关系）取 N为闭合路径所围面积的单位矢量（其指向与闭合路径 ,则有lim J dS Js N l h 0sSl (Nn) l故式（1）可表示为(Hi H2)(N n)

12、 l Js N l应用矢量运算公式A (B C) (C A) B，式(2)变为n Hi H2 N Js N故得n (Hi H2) Js由于理想导体的电导率2,故必有E2 0，H2 0,故式(3)变为n Hi Js(3)在由理想导电壁()限定的区域0 x a内存在一个由以下各式表示的电磁场：a xEy H0( )sin()sin(kz t)aa xHx H0k()sin( 一)sin( kz t)axHz H 0 cos()cos(kzt)a这个电磁场满足的边界条件如何导电壁上的电流密度的 值如何 解 如题图所示，应用理想导体的边界条件可以得出Ey0, Hx 0在x=0处，yHz H0cos(k

13、z t)入 EEv0,HX 0在x=a处，y xHz H0cos(kz t)上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量Ey和磁场的法向分量 Hx。另外，在x=0的表面上，电流密度为Js n H |x0 ex (exHx ezHz”0ex ez H z x 0在x=a的表面上，电流密度则为Jsn H |x a ex ez H zeyH 0 cos(kzt)(ex H x ez H z ) |x aeyH0cos(kzt)海水的电导率 4S/m ,在频率f=1GHz时的相对介电常数 r 81。如果把海水视为 一等效的电介质，写出 H的微分方程。对于良导体，例如铜， r 1,5.7 10

14、S/m,比较在f=1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的 位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。解对于海水，H的微分方程为H J j D E j E j ( j-)Ec即把海水视为等效介电常数为j 一的电介质。代入给定的参数，得(2)(2)E j2j(4.5对于铜，传导电流的幅度为 之比为910910 (81 -36j4)E (4)Ej4.5)E位移电流的幅度E。故位移电流与传导电流的幅度2 f 1095.761079.75 1013 fH的微分方程可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。故对于铜, 为H E 5.7 107E计算题中

15、的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬时能流密度矢量为S E HeyEy (exHx Hz) e*EyHz ezEyHxexHoa x xsin()cos()sin( kz t )cos( kz t) a aezH2a 22 X 2k() sin ()sin (kz t)a12ex- H02ez ； H；2a x xsin()cos()sin 2(kz t) a ak()2sin 2(x)1 cos2(kz t)a为求平均能流密度矢量，先将电磁场各个分量写成复数形式Eya xH0(-)sm()eajkz j-2HxHzax jkz j_Hk(一)sin(一)e2aH0 cos(-x)e jkz

16、a故平均能流密度矢量为c 1Sav -ReE H *212ReexH021*-ReexEyH zsin()cos(ezHoaa 22 xk(-) sin (一)* - ez EyHx x j5一)e 2 a12 a 22 xezH0 k(-) sin ()2a写出存在电荷 和电流密度J的无损耗媒质中E和H的波动方程。解存在外加源 和J时，麦克斯韦方程组为E(1)H J 一tH 0(3)H 0(3)(4)对式（1）两边取旋度，得H J -( E)而 2H ( H ) H 故（H2HJ （ E）t将式（2）和式（3）代入式（5）,得2H上 JriJjt这就是H的波动方程，是二阶非齐次方程。同样，对

17、式（2）两边取旋度，得(5)（E2E-（ H将式（1）和式（4）代入式（6）,得2 匚2EJ 1下 7 一 此即E满足的波动方程。对于正弦时变场，可采用复数形式的麦克斯韦方程表示H J j EE j HH 0E 一对式（7）两边取旋度，得H J j E 利用矢量恒等式2H （ H H 得（H 2H J j E将式（8）和式（9）代入式（11）,得2H + 2 H J此即H满足的微分方程，称为非齐次亥姆霍兹方程。同样，对式（8）两边取旋度，得EjH即（E 2HjH(6)(11)(12)将式（7）和式（10）代入式（12）,得将式（7）和式（10）代入式（12）,得2212e+ 2E j J -此

18、即E满足的微分方程，亦称非齐次亥姆霍兹方程。在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，令 试导出A和 所满足的微分方程。解将电磁矢量位A的关系式和电磁标量位的关系式代入麦克斯韦第一方程A)利用矢量恒等式A)2a =又由A)(1)(2)按库仑规范，令0 ,将其代入式（1）和式（2）得2A2A t2(3)(4)式（3）和式（4）就是采用库仑规范时，电磁场A和所满足的微分方程。设电场强度和磁场强度分别为EEo cos（ tH证明其坡印廷矢量的平均值为H 0 cos( te)m)0H 0 COS( e m)0H 0 COS( e m)Sav2E解坡印廷矢量的瞬时值为E0 cose)Hcos( tm)1e21e2故平均坡印廷矢量为Savt1H ocos(m) COS t et mH 0cos(2 tTSdt0m)cos( e m)T 10 2E0 H ocos(2e m) COS( em)dt2EoH 0 COS( em)证明在无源空间（JD0,0）,可以引入一个矢量位 Am和标量位 m ,定义为Am试推导Am和m的微分方程。解 无源空间的麦克斯韦方程组为(1)据矢量恒等式A 0和式D（4）,知D可表示为一个矢量的旋度，故令Am(5)将式（5）代入式（1）,得：(Am)(6)根据矢量恒等式cH0和式(6),知AmAmt可表示