高考数学一轮复习讲义第一章命题与其关系充分条件和必要条件

1、一轮复习讲义命题及其关系、充分条件与必要条件忆 一 忆 知 识 要 点判断真假 忆 一 忆 知 识 要 点逆命题逆否命题否命题没有 相同 忆 一 忆 知 识 要 点必要条件 充分条件 充要条件 四种命题的关系及真假 判断 充分、必要、充要条件的概念与判断 / / 充要条件的证明01等价转化思想在充要条件关系中的应用4.充分(必要、充要) 条件的判别方法分清条件与结论找推式(尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件）下结论(指出条件是结论的什么条件）(1)定义法判断(2)集合法判断(利用集合之间的包含关系)(3)转化法判断(等价命题)(4)传递法判断 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不

2、能推出小范围.忆 一 忆 知 识 要 点(1)定义法：判断p是q的什么条件，实际上就是判断pq或qp是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断.若pq， 则p是q的充分条件；若qp， 则p是q的必要条件；若pq且qp，则p是q的充要条件；若pq且qp， 则p是q的充分不必要条件；若pq且qp， 则p是q的必要不充分条件；若pq且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.4.充分(必要、充要) 条件的判别方法忆 一 忆 知 识 要 点(2)集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则

3、p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分非必要条件；若AB，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要非充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；若AB，且AB，则p是q的既非充分条件也非必要条件.忆 一 忆 知 识 要 点(3)用命题的等价性判断： (“若p，则q”)原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件； 原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件； 原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件； 原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.同时要注意反例法的运用.(4)传递法判断忆 一 忆 知 识 要 点例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它

4、们的真假：题型一 四种命题的相互关系（1）若AB=U，则A= UB.逆命题否命题逆否命题若A=UB,则AB=U若ABU,则 AUB若AUB,则ABU真命题真命题假命题写成“若p，则q”的形式写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假思维启迪(2)若x+y=5,则x=3且y=2.逆命题： 若x=3且y=2，则x+y=5, 真命题.否命题：若x+y5，则x3或y2，真命题.逆否命题：若x3或y2，则x+y5,假命题. 题型一 四种命题的相互关系例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：判断：若x+y5，则x3或y2. 【1】若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的

5、.逆否命题设 p：若a，则b，则q：若b，则a， r：若a，则b.所以q是r是逆否命题.题型一 四种命题的相互关系练一练 【2】若mn0,则方程mx2-xn0有两个不相等的实数根.若方程mx2-xn0有两个相等的实数根或无实数根，则mn0.逆否命题：若方程mx2-xn0有两个相等的实数根，则mn0.题型一 四种命题的相互关系练一练命题的否定：零的平方不等于0.否命题：非零数的平方不等于0.命题的否定：平行四边形的对角线不相等或不互相平分.否命题：若四边形不是平行四边形,则它的对角线不相等或不互相平分.【3】 写出下列命题的否定与否命题 零的平方等于0. 平行四边形的对角线相等且互相平分.题型一

6、 四种命题的相互关系练一练题型二 充分条件、必要条件的判断例2.下列各小题中，p是q的充要条件的是 .p:m6,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点；p: , q: y=f(x)是偶函数；p:cos =cos, q:tan =tan;p: AB=A, q: UB UA 充要条件的判断：（1）分清命题的条件与结论；（2）常用方法有：定义法,集合法,变换法(命题的等价变换)等.练一练既不充分也不必要 【1】已知p:|2x-3|1; q: ,则 p是 q的 条件. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 B【2】练一练【3】 “sinAsinB”

7、是“AB”的_条件.既不充分又不必要充要【4】在ABC中, “sinAsinB”是 “AB”的_条件.【5】在ABC中, “B=60”是 “A, B, C成等差数列”的 _条件.充要6.已知P: xy2009；Q：x2000且y9,则P是Q 的 _条件.解: 逆否命题是x2000或y9 xy2009不成立，既不充分又不必要显然其逆命题也不成立.题型二 充分条件、必要条件的判断例2.求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是m2.证明：(1)充分性：因为m2，所以m240， 所以方程x2mx10有实根. 设x2mx10的两个实根为x1、x2， 由根与系数的关系知x1x210. 所以x

8、1、x2同号. 又因为x1x2m2， 所以x1、x2同为负根.题型三 充要条件的证明证明：(2)必要性:因为x2mx10的两个实根x1,x2均为负， 且x1x21， 所以m2(x1x2)2所以m2.综合(1)(2)知命题得证.例2.求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是m2.题型三 充要条件的证明解得0a1. 1. 求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.解: (1)a=0适合. (2)a0时，显然方程没有零根.若方程有两异号实根，则a0；若方程有两个负的实根，则 因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a1.综上知，若方程至少有