人教A版2019高中数学选修1 专题3 圆锥曲线的方程 A卷

1、人教A版2019高中数学选修1 专题3 圆锥曲线的方程 A卷已知椭圆 x225+y216=1 上的点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7，则 P 到另一焦点的距离为 A2B3C5D7双曲线 x29y24=1 的实轴长为 A 9 B 6 C 25 D 4 已知抛物线 y=ax2 的焦点为 0,14，则 a 的值为 A 12 B 1 C 1 D 2 已知双曲线 x2a2y29=1 的一个焦点在直线 x+2y=5 上，则双曲线的渐近线方程为 A y=34x B y=43x C y=223x D y=324x 设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 F1PF2 为

2、等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 A 22 B 212 C 22 D 21 抛物线 y2=2pxp0 的焦点为 F，其准线与双曲线 x24y22=1 的渐近线相交于 A，B 两点，若 ABF 的周长为 42，则 p= A 2 B 22 C 8 D 4 已知双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的左、右焦点分别为 F1，F2，圆 x2+y2=a2+b2 与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 A，B，四边形 AF2BF1 的周长 p 与面积 S 之间满足 p=42S，则该双曲线的离心率为 A 3 B 2 C 62 D 233 已知双曲线 C:x2a2y2b2=1a0,b0 的左、右焦点分别为

3、 F1，F2，过 F2 作平行于 C 的渐近线的直线交 C 于点 P，若 PF1PF2，则 C 的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 5 已知曲线 C:mx2+ny2=1，则下列说法正确的是 A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 x 轴上C若 m=n0，则 C 是圆，其半径为 n D若 m=0，n0，则 C 是两条直线已知圆锥曲线 C:mx2+4y2=1 的离心率为 22，则实数 m 可以为 A 2 B 83 C 6 D 8 已知圆 C1:x2+2cx+y2=0，圆 C2:x22cx+y2=0，c0，椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0，且

4、 c2=a2b2若圆 C1，C2 都在椭圆内，则椭圆离心率的取值可以是 A 13 B 12 C 22 D 32 已知动点 P 在左、右焦点分别为 F1，F2 的双曲线 C:x2y23=1 上，下列结论正确的是 A双曲线 C 的离心率为 2 B当 P 在双曲线左支上时，PF1PF22 的最大值为 14 C点 P 到两渐近线距离之积为定值D双曲线 C 的渐近线方程为 y=33x 双曲线 5x24y2=20 的焦点坐标为 ，离心率为 过双曲线 x2a2y2b2=1a0,b0 的右焦点 F1,0 作 x 轴的垂线与双曲线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 AOB 的面积为 83，则双曲线的渐近线方

5、程为 “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆若椭圆 C:x2a+1+y2a=1a0 的离心率为 12，则椭圆 C 的蒙日圆方程为 已知抛物线 y2=2pxp0，直线 l 过焦点 F 且与抛物线交于 M，N 两点（点 N 在 x 轴的上方，点 M 在 x 轴的下方），点 E 在 x 轴上且 E 在 F 右侧，若 NF=EF=NE，且 MNE 的面积为 123，则 p 的值为 已知抛物线 C 的方程为 x2=4y，过点 P 作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A，B（点 B 在点 A 左边）(1) 若点

6、 P 坐标为 0,1，求切线 PA，PB 的方程；(2) 若点 P 是抛物线 C 的准线上的任意一点，求证：切线 PA 和 PB 互相垂直已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 e=12，过点 2,0(1) 求椭圆 C 的标准方程(2) 设椭圆左、右焦点分别为 F1，F2，经过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AF1BF1，求直线 l 方程已知 F 是抛物线 C:y2=2pxp0 的焦点，M3,t 是抛物线上一点，且 MF=4(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 OAOB=4（O 为坐标原点），则直线

7、 l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由在 m0，且 C 的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 3+3， C 的焦距为 6， C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为 4 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中问题：已知双曲线 C:x2my22m=1， ，求 C 的方程已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 过点 3,32，离心率为 12(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 过右焦点 F 作一条不与坐标轴平行的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，求 AOB 面积的取值范围已知椭圆 :x2a2+y2b2=1ab0 的右焦点坐标为 2

8、,0，且长轴长为短轴长的 2 倍，直线 l 交椭圆 于不同的两点 M 和 N(1) 求椭圆 的方程；(2) 若直线 l 经过点 P0,4，且 OMN 的面积为 22，求直线 l 的方程；(3) 若直线 l 的方程为 y=kx+tk0，点 M 关于 x 轴的对称点为 M，直线 MN，MN 分别与 x 轴相交于 P，Q 两点，求证：OPOQ 为定值答案1. 【答案】B【解析】设椭圆的两焦点分别为 F1，F2，则 7+PF2=10，PF2=3【知识点】椭圆的概念与方程2. 【答案】B【解析】双曲线 x29y24=1 中，a2=9，故 a=3，所以实轴长为 2a=6故选B【知识点】双曲线的简单几何性质

9、3. 【答案】B【解析】抛物线的标准方程为 x2=1ay，所以焦点坐标为 0,14a，由题意可得 14a=14，所以 a=1，故选B【知识点】抛物线的简单几何性质4. 【答案】A【解析】易知双曲线 x2a2y29=1 的焦点 c,0 与 c,0 均在 x 轴上，又点 c,0 或点 c,0 在直线 x+2y=5 上，且直线 x+2y=5 与 x 轴的交点为 5,0，所以 c=5，故 9+a2=25，得 a2=16，所以双曲线的方程为 x216y29=1，其渐近线方程为 y=34x，故选A【知识点】双曲线的简单几何性质5. 【答案】D【解析】设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1ab0，由对称

10、性不妨设点 P 在 x 轴上方，则其坐标为 c,b2a，因为 F1PF2 为等腰直角三角形，所以 PF2=F1F2，即 b2a=2c，即 a2c2a2=2ca，所以 1e2=2e，故椭圆的离心率 e=21 或 e=21（舍），故选D【知识点】椭圆的几何性质6. 【答案】A【解析】双曲线 x24y22=1 的渐近线方程为 y=22x，抛物线 y2=2pxp0 的准线方程为 x=p2，设 A 在 x 轴上方，则 Ap2,24p， Bp2,24p，所以 AB=22p， FA=FB=p2+24p2=324p又因为 ABF 的周长为 42，所以 FA+FB+AB=324p+324p+22p=42，所以

11、p=2【知识点】双曲线的简单几何性质、抛物线的简单几何性质7. 【答案】C【解析】由题知四边形 AF2BF1 是平行四边形，所以 AF1+AF2=p2，又 AF1AF2=2a，所以 AF1=a+p4，AF2=p4a，因为线段 F1F2 为圆的直径，所以由双曲线的对称性可知四边形 AF2BF1 为矩形，所以 S=AF1AF2=p216a2，因为 p=42S，所以 p2=32S，所以 p2=32p216a2，解得 p2=32a2，由 AF12+AF22=F1F22，得 2a2+p28=4c2，即 3a2=2c2，所以离心率 e=62【知识点】双曲线的简单几何性质8. 【答案】D【解析】如图，设 P

12、x,y，根据题意可得 F1c,0，F2c,0，双曲线的渐近线方程为 y=bax，由对称性，不妨设直线 PF2 的方程为 y=baxc, 则直线 PF1 的方程为 y=abx+c, 因为点 Px,y 在双曲线上，所以 x2a2y2b2=1, 联立，可得 x=a2+c22c，联立，可得 x=b2a2a2+b2c=b2a2c，所以 a2+c22c=b2a2c，所以 a2+a2+b2=2b22a2，所以 b2=4a2，所以离心率 e=ca=c2a2=a2+b2a2=5a2a2=5【知识点】双曲线的简单几何性质9. 【答案】A；D【解析】对于曲线 C:mx2+ny2=1，若 mn0，则方程化为 x21m

13、+y21n=1，得 1n1m0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上，故A正确；B错误；若 m=n0，则方程化为 x2+y2=1n，则 C 是圆，其半径为 1n，故C错误；若 m=0，n0，则方程化为 y2=1n，即 y=nn，则 C 是两条直线，故D正确【知识点】曲线与方程的关系10. 【答案】A；D【解析】因为圆锥曲线 C:mx2+4y2=1 的离心率为 22，且 220,1，所以 C 为椭圆，所以 m0 且 m4，当 0m4 时，椭圆长轴在 y 轴上，则 141m14=22，解得 m=8【知识点】椭圆的几何性质11. 【答案】A；B【解析】圆 C1，C2 都在椭圆内等价于点 2c,0，点

14、c,c 均在椭圆内部，所以 2ca,c2a2+c2b21, 可得 e12,e43e2+10, 结合 e0,1，可得 00 的焦点 F 的坐标为 p2,0，准线方程为 x=p2，则 MF=3+p2=4，解得 p=2，所以抛物线 C 的方程为 y2=4x(2) 易知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x=ny+t， Ay124,y1，By224,y2，联立 x=ny+t,y2=4x, 可得 y24ny4t=0，则 y1y2=4t 由 OAOB=y1y2216+y1y2=16t2164t=4，解得 t=2，所以直线 l 的方程为 x=ny+2，直线 l 恒过定点 2,0【知识点】抛物线中

15、的动态性质证明、抛物线的简单几何性质20. 【答案】选因为 m0，所以 a2=m，b2=2m，c2=3m，所以 a=m，c=3m，易知 C 的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 a+c，所以 a+c=m+3m=3+3，解得 m=3，故 C 的方程为 x23y26=1选若 m0，则 a2=m，b2=2m，c2=3m，所以 c=3m，所以 C 的焦距为 2c=23m=6，解得 m=3，故 C 的方程为 x23y26=1；若 m0，则 a2=m，所以 a=m，因为 C 上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为 4，所以 2a=2m=4，解得 m=4，因为 C 的方程为 x24y28=1；若 m0，则

16、 a2=2m，所以 a=2m，因为 C 上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为 4，所以 2a=22m=4，解得 m=2，故 C 的方程为 y24x22=1【知识点】双曲线的简单几何性质21. 【答案】(1) 由题意得 3a2+34b2=1,ca=12,a2=b2+c2, 解得 a=2，b=3，所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1(2) 易知右焦点为 F1,0，直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l:x=my+1m0，Ax1,y1，Bx2,y2，联立 x=my+1,3x2+4y2=12, 消去 x，整理得 3m2+4y2+6my9=0，则 y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93

17、m2+4，所以 AB=1+m2y1y2=1+m2y1+y224y1y2=12m2+13m2+4, 又点 O 到直线 l 的距离为 1m2+1，所以 SAOB=1212m2+13m2+41m2+1=6m2+13m2+4=6m2+13m2+1+1=63m2+1+1m2+1. 令 t=m2+1，t1,+，因为函数 y=3t+1t 在 1,+ 上单週递增，所以 3t+1t4,+，所以 SAOB=63m2+1+1m2+10,32，所以 AOB 的面积的取值范围为 0,32【知识点】椭圆中的弦长与面积、椭圆的几何性质22. 【答案】(1) 由题意可得 a=2b，a2b2=4，解得 a=22，b=2所以椭圆

18、 的方程为 x28+y24=1(2) 易知直线 l 的斜率存在，设 Mx1,y1，Nx2,y2，直线 l 的方程为 y=kx+4，联立 y=kx+4,x28+y24=1, 消去 y 可得 1+2k2x2+16kx+24=0，则 x1+x2=16k1+2k2，x1x2=241+2k2，又点 O 到直线 l 的距离为 41+k2，MN=1+k2x1x2，所以 SOMN=124x1+x224x1x2=822k231+2k2=22，解得 k=142，所以直线 l 的方程为 y=142x+4 或 y=142x+4(3) 由题意知 M 点的坐标为 x1,y1，将 y=kx+t 代入椭圆方程可得 1+2k2