高中数学专题二 三角函数与解三角形 第1讲 平面向量

1、高中数学专题二 三角函数与解三角形 第1讲 平面向量已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 为边 CD 的中点，则 BE 等于 A 12AB+AD B 12ABAD C AB+12AD D AB12AD 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为 3，每只胳膊的拉力大小均为 400N，则该学生的体重（单位：kg）约为 （参考数据：取重力加速度大小为 g=10m/s2，31.732）A 63 B 69 C 75 D 81 已知向量 a=1,2，b=2,2，c=,1，若 c2a+b，则 等于 A 2 B 1 C 12 D

2、 12 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P3,1，将向量 OP 绕点 O 按逆时针方向旋转 2 后得到向量 OQ，则点 Q 的坐标是 A 2,1 B 1,2 C 3,1 D 1,3 如图，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若 AB=mAM，AC=nAN，则 m+n 等于 A 0 B 1 C 2 D 3 在同一平面中，AD=DC，BE=2ED，若 AE=mAB+nACm,nR，则 m+n 等于 A 23 B 34 C 56 D 1 若 P 为 ABC 所在平面内一点，且 PAPB=PA+PB2PC，则 ABC 的形状为 A等

3、边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形已知 P 是边长为 3 的等边三角形 ABC 外接圆上的动点，则 PA+PB+2PC 的最大值为 A 23 B 33 C 43 D 53 如图，圆 O 是边长为 23 的等边三角形 ABC 的内切圆，其与 BC 边相切于点 D，点 M 为圆上任意一点，BM=xBA+yBDx,yR，则 2x+y 的最大值为 A 2 B 3 C 2 D 22 已知 a，b 是单位向量，且 a+b=1,1，则 A a+b=2 B a 与 b 垂直C a 与 ab 的夹角为 4 D ab=1 设向量 a=k,2，b=1,1，则下列叙述错误的是 A若 k2，则 a 与 b

4、 的夹角为钝角B a 的最小值为 2 C与 b 共线的单位向量只有一个为 22,22 D若 a=2b，则 k=22 或 22 已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，D，E 分别是 AC，AB 上的两点，且 AE=EB，AD=2DC，BD 与 CE 交于点 O，则下列说法正确的是 A ABCE=1 B OE+OC=0 C OA+OB+OC=32 D ED 在 BC 方向上的投影为 76 已知单位向量 a，b 的夹角为 45，kab 与 a 垂直，则 k= 在 ABC 中，AB=1，ABC=60，ACAB=1，若 O 是 ABC 的重心，则 BOAC= 在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C

5、 所对的边分别为 a，b，c，点 O 为 ABC 的外接圆的圆心，A=3，且 AO+AB+AC，则 的最大值为 已知平面单位向量 e1，e2，满足 2e1e22，设 a=e1+e2，b=3e1+e2，向量 a，b 的夹角为 ，则 cos2 的最小值是 答案1. 【答案】A2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】D5. 【答案】C6. 【答案】A7. 【答案】C【解析】因为 PAPB=PA+PB2PC，所以 BA=PAPC+PBPC=CA+CB，即 CACB=CA+CB，两边平方整理得，CACB=0，所以 CACB，所以 ABC 为直角三角形8. 【答案】D【解析】设 ABC 的外接圆的圆

6、心为 O，则圆的半径为 33212=3， OA+OB+OC=0，故 PA+PB+2PC=4PO+OC又 4PO+OC2=51+8POOC51+24=75，故 PA+PB+2PC53，当 PO，OC 同向共线时取最大值9. 【答案】C【解析】方法一：如图，连接 DA，以 D 点为原点，BC 所在直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设内切圆的半径为 r，则圆心为坐标 0,r，根据三角形面积公式，得 12lABCr=12ABACsin60（lABC 为 ABC 的周长），解得 r=1，易得 B3,0，C3,0，A0,3，D0,0，设 Mcos,1+sin，0,2，

7、则 BM=cos+3,1+sin，BA=3,3，BD=3,0，故 BM=cos+3,1+sin=3x+3y,3x，故 cos=3x+3y3,sin=3x1, 则 x=1+sin3,y=3cos3sin3+23, 所以 2x+y=3cos3+sin3+43=23sin+3+432，当 =6 时等号成立，故 2x+y 的最大值为 2方法二：因为 BM=xBA+yBD，所以 BM2=34x2+2xy+y2=32x+y22xy，由题意知，x0，y0， BM 的最大值为 23232=3，又 2x+y242xy，即 2x+y242xy，所以 3342x+y29，得 2x+y2，当且仅当 2x=y=1 时取

8、等号10. 【答案】B；C【解析】 a+b=12+12=2，故A错误；因为 a，b 是单位向量，所以 a2+b2+2ab=1+1+2ab=2，得 ab=0，a 与 b 垂直，故B正确； ab2=a2+b22ab=2，ab=2，故D错误； cosa,ab=aabaab=a2ab12=22，所以 a 与 ab 的夹角为 411. 【答案】C；D【解析】对于A选项，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 ab0 且 a 与 b 不共线，则 k20 且 k2，解得 k2 且 k2，A选项正确；对于B选项，a=k2+44=2，当且仅当 k=0 时等号成立，B选项正确；对于C选项 b=2，与 b 共线的单位向量

9、为 bb，即与 b 共线的单位向量为 22,22 或 22,22，C选项错误；对于D选项，因为 a=2b=22，所以 k2+4=22，解得 k=2，D选项错误12. 【答案】B；C；D【解析】如图，连接 AO， E，O，C 三点共线，设 AO=AE+1AC，所以 AO=2AB+312AD，且 B，O，D 三点共线，所以 2+312=1，解得 =12，所以 AO=12AE+AC，所以 O 为 EC 的中点，所以 OE+OC=0，取 BC 的中点 O 为原点，直线 BC 为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 A0,3，B1,0，E12,32，C1,0，D23,33，O14,34，所以 OA+OB+O

10、C=14,334+54,34+34,34=34,34. 所以 OA+OB+OC=32， ED=76,36，BC=2,0，所以 ED 在 BC 上的投影为 EDBCBC=76，因为 ABCE，所以 ABCE=0故选：BCD13. 【答案】 22 14. 【答案】 5 15. 【答案】 19 【解析】因为 ABC 是锐角三角形，所以 O 在 ABC 的内部，所以 01，01由 AO=OBOA+OCOA，得 1AO=OB+OC，两边平方后得，12AO2=OB+OC2=2OB2+OC2+2OBOC，因为 A=3，所以 BOC=23，又 AO=BO=CO所以 12=2+2，所以 1+3=2+，因为 01，01，所以 1+34，设 =t，所以 3t24t+10，解得 t1（舍）或 t13，即 1319，所以 的最大值是 1916. 【答案】 2829 【解析】设 e1=1,0，e2=x,y，则 a=x+1,y，b=x+3,y由 2e1e2=2x,y，故 2e1e2=2x2+y22，得 x22+y22又有 x2+y2=1，