非线性方程不动点算法与研究本科生毕业论文

1、求解非线性方程的不动点算法与研究概括非线性方程广泛应用于工程实践、经济学、信息安全、动力学等领域的大量实际问题。基本而重要的方法。本文主要介绍求解非线性方程组的定点算法及其研究。首先，回顾了求解非线性方程组的定点算法的研究背景，并介绍了本文的主要工作。接着，详细介绍了不动点迭代算法的基本思想、方程中不动点的收敛定理、不动点的收敛阶定理和Atiken加速度公式；最后，考虑到方程可能不满足，针对不动点迭代收敛定理的两个条件，提出了逆函数法、牛顿迭代法、 Steffensen迭代法和松弛法四种处理方法。关键词：非线性方程，不动点原理，迭代法目录 TOC o 1-2 h z t 标题 3,3,标题 4

2、,4 HYPERLINK l _Toc32068 摘要 PAGEREF _Toc32068 我 HYPERLINK l _Toc16495 摘要 PAGEREF _Toc16495 一 HYPERLINK l _Toc28088 第 1 章 引言 PAGEREF _Toc28088 1 HYPERLINK l _Toc18670 1.1 研究背景 PAGEREF _Toc18670 1 HYPERLINK l _Toc30672 1.2 基础知识 PAGEREF _Toc30672 2 HYPERLINK l _Toc11406 1.2.1错误 PAGEREF _Toc11406 2 HYPE

3、RLINK l _Toc344 1.2.2有限差分 PAGEREF _Toc344 3 HYPERLINK l _Toc17501 第2章求解非线性方程组的定点迭代算法 PAGEREF _Toc17501 5 HYPERLINK l _Toc10192 2.1不动点迭代算法的基本思想 PAGEREF _Toc10192 6 HYPERLINK l _Toc26080 2.2定点迭代算法的收敛性 PAGEREF _Toc26080 7 HYPERLINK l _Toc26792 2.3不动点迭代算法的收敛速度 PAGEREF _Toc26792 11 HYPERLINK l _Toc1751 2

4、.4加速定点迭代算法及其收敛性 PAGEREF _Toc1751 12 HYPERLINK l _Toc24679 第三章 非收敛定点迭代格式的几种处理方法及比较 PAGEREF _Toc24679 14 HYPERLINK l _Toc78 3.1非收敛定点迭代方案的几种处理方法 PAGEREF _Toc78 15 HYPERLINK l _Toc3 3.1.1反函数法 PAGEREF _Toc3 15 HYPERLINK l _Toc29463 3.1.2牛顿迭代法 PAGEREF _Toc29463 15 HYPERLINK l _Toc20975 3.1.3 Steffensen迭代法

5、 PAGEREF _Toc20975 15 HYPERLINK l _Toc8475 3.1.4松弛法 PAGEREF _Toc8475 16 HYPERLINK l _Toc29870 3.2数值例子 PAGEREF _Toc29870 17 HYPERLINK l _Toc27171 结论 PAGEREF _Toc27171 21 HYPERLINK l _Toc24299 参考文献 PAGEREF _Toc24299 23 HYPERLINK l _Toc20492 附录 PAGEREF _Toc20492 24 HYPERLINK l _Toc24936 至 PAGEREF _Toc2

6、4936 35第一章简介1.1 研究背景非线性数值解问题是现代数学的主要研究课题之一，这不仅是由于科学技术发展的需要，也因为计算技术的飞速发展为解决此类问题提供了可能。 ，它总是转化为有限维非线性问题，或非线性代数问题。求解非线性方程比求解线性问题要复杂得多，无论是在理论上还是在计算机上。一般非线性方程很难找到精确解，往往只能找到近似解和数值解。长期以来，为了得到满足条件的近似值，许多计算工作者都致力于研究求解非线性方程组的有效方法，尤其是在计算机问世后，泛函方程根的数值解法得到了大力发展。发达。当它出现时，牛顿和哈雷发明了他们自己的新数学工具来求解非线性方程。十八世纪，随着微积分的飞速发展，

7、欧拉和拉格朗日分别找到了一个无穷级数来表示方程解，并以各自的名字命名。 19世纪，人们开始重视问题分析的严谨性。柯西建立了极好的级数技术，后来的事实证明，它对研究方程近似解序列的收敛性非常有效。是的，在分析严谨性发展的时代，Ostrowski 为牛顿迭代法的收敛问题指定了一个合理的假设和一个令人满意的解决方案。在完美软件分析的时代，Kantorovich 推广了牛顿迭代法和 Ostrowski 的结果。到巴拿赫空间，让很多很难用硬分析做的相关问题可以通过易推理等得到圆满解决。总之，这些方法都在被后人不断完善，但目前，在实际问题中，它可能还需要求方程的负根、求非线性方程（群）的迭代方法、求微分方

8、程的迭代方法等。迭代方法还需要更深入的研究，这意味着迭代方法的发展空间将是。更宽的。本文将重点介绍求解非线性方程的定点算法。参考文献3是王泽科先生在1988年总结的一种简单的不动点算法，在初值问题、边值问题、分支问题等诸多应用问题上十余年的发展，不动点讨论了单值连续映射的零点问题。在文献4中，徐岩先生简要阐述了国外不动点理论的发展，主要讨论了L-Lipschitz映射的不动点迭代逼近定理。 34两篇论文都总结了关于不动点问题的研究。它在实际问题中发挥了至关重要的作用。该系列文献还包括5678 ，小龙先生在文献9中介绍了迭代法的发展。的相关定理为本文提供了大量的基础信息。王功军先生介绍了文献10

9、中求解非线性方程组的常用方法及其收敛性。在文献11中，卷美文主要研究了一种不动点迭代法的求解。当迭代格式不满足迭代条件时，采用几种处理方法，在计算机上用C语言编程进行计算，对迭代收敛结果进行分析分析。比较为本文提供了很多信息。此外，本文还借鉴了两本不同的数值分析教科书的大量内容。本文主要介绍了不动点算法及其在求解非线性方程组中的应用。第一章为绪论，主要介绍了为什么要研究这篇论文的一些原因、目的和价值。补充;第二章介绍了迭代法和不动点的相关思想、原理、定理和收敛条件。点迭代法求解非线性方程组的方便性和准确性；第三章作为第二章的完善，具有很强的实用性，主要讨论了非收敛不动点迭代方案的几种处理方法，

10、并通过数值算例给出了证明。1.2预备知识1.2.1错误误差的来源很多，包括模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差等。示例 1.1对可微函数使用泰勒多项式近似代入，则数值方法的截断误差为在 0 和 之间。即截断误差是近似值与精确值之间的误差。示例 1.2被替换为舍入误差的近似值 3.14159。类似地，可以定义舍入误差是指由于计算机的有限字长而导致的表示误差。定义 1.1 1设为精确值，是的近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。然而，在实践中，人们无法准确计算出误差的准确值。一般根据需要估计误差的绝对值不超过某个正数，即误差绝对值的上界，称为近似值的误差极限。它总是积极的。对于一般情况， ，即

11、(1.1)这种不等式有时也表示为(1.2)误差的大小有时不能完全代表近似的质量。例如，如果有两个量, ，则虽然是5 倍，但是比例要小很多，说明逼近度比逼近度要好很多。因此，除了误差的大小外，还应考虑精确值本身的大小。我们取近似误差与精确值的比值(1.3)相对误差，称为近似值，表示为。在实际计算中，由于真值总是未知的，通常取(1.4)由于条件的相对误差较小，则(1.5)是平方项水平，所以可以忽略。相对误差也可以是正数或负数，其绝对上界称为相对误差限，写为，(1.6)根据定义， 和 在上面的例子中 是和 的相对误差限制，很明显，近似度比近似度好得多。在实际操作中，为了避免错误风险，数值计算往往不使

12、用数值不稳定的算法。在设计算法时，应尽可能避免错误风险，以防止丢失有效数字。通常应避免两个相似数相减和使用非常小的绝对值。数数做除数，还要注意运算顺序，减少运算次数。1.2.2有限差分定义1.2 2分别表示(1.7)(1.8)(1.9)在点 处的一阶前向差分、一阶后向差分和一阶中心差分，或简称为一阶前向差分、一阶后向差分、第一-阶中心差分，统称为（一阶）有限差分，其中，表的自变量的有限增量称为步长，求和成为（一阶）预差分算子， （一阶）后差分算子和（一阶）中间差分算子，统称为（一阶）有限差分计算，这样就可以定义高阶有限差分，例如，二阶偏好表示为，定义为(1.10)所以，有(1.11)步差写为，

13、定义为(1.12)类似地，二阶后差分和后差分定义为(1.13)和(1.14)二阶中心差和一阶中心差定义为(1.15)和(1.16)我们规定, , .有限差分具有以下性质：(1) 常数的有限差分始终为零。(2) 有限差分算子是线性算子，即对于任何实数，总有(1.17)(1.18)(1.19)(3) 用函数值表示高阶有限差分：(1.20)(1.21)(1.22)在(4) 用有限差分来表示函数值(1.23)第2章求解非线性方程的定点迭代算法2.1 不动点迭代算法的基本思想首先讨论求解非线性方程(2.1)的问题。方程（2.1）的解也称为函数的不动点。对于固定点(2.2)序列已生成。这种迭代方法称为定点

14、迭代。它也被称为迭代函数。显然，如果迭代序列收敛，则有(2.3)且连续，是的一个不动点。例2.1 2方程在区间有一个唯一的后跟。我们可以用不同的方式把它变成一个方程：(1)(2)(3)(4)(5)还有很多。取初始值并使用方程式的迭代格式。 (2.2)分别计算，结果见下表。表2.1 示例 2.1 迭代公式计算结果1-2.3750.5590169941.0690449681.1960784312-72.561.3829872001.14163787818230505931.12837105413119556821.1307611191.13039

15、543550.9332270691.1303294161262386754199705436612265420691037948141.130395365101.2003529761.130395447111.0654751741.130395432121.1811927851.130395435131.0844308331.130395435291.127222584301.133074649311.128116321321.1323221241091.1303954291101.1303

16、964401191.1303954341201.130395436从表 2.1 可以看出，选择的迭代函数分别为、 、 、 12 次和 4 次，方程的近似根为 1.130395435。如果选择作为迭代函数，则迭代子序列为奇数时单调递增，偶数时单调递减，经过120次迭代得到近似根1.130395436。如果选择为迭代函数，则迭代序列不会收敛，如果选择为迭代函数，则会出现负平方根，无法继续迭代。2.2 不动点迭代算法的收敛性通过例2.1可以得出，对于同一个非线性方程的解，在转换为迭代方程时，应该尽量减少解的迭代次数，得到的解应该是最准确的。选择迭代函数的基本原则 是的，首先要保证定点迭代序列在定义中

17、，这样迭代过程才不会被打断；其次，要求迭代序列尽可能快地收敛和收敛。假设定理 2.1 2是在满足以下条件的有限区间上定义的函数(1) 对于任何(2.4)( 2)的导数是有界的，并且存在正数使得对于所有(2.5)那么对于任意初值，不动点迭代（2.2）生成的序列收敛到唯一不动点 处，有一个误差估计公式(2.6)其中。证明首先证明的不动点存在且唯一。让(2.7)根据条件（1）根据条件(2) ，存在on，等上是连续的，等上也是连续的，所以上上的方程至少有一个跟。现在假设方程在 上有两个根，那么根据拉格朗日中值定理，存在和使得再次通过(2.5)这给出了矛盾：因此，根in是唯一的。定点迭代方案(2.2)产

18、生的序列收敛到。根据定理条件（1）, , 所以定点迭代过程不会被打断。根据(2.5) ，我们有(2.8)应用拉格朗日中值定理，根据(2.5) ，我们有(2.9)因为，所以这是(2.10)最后推导出估计公式（2.6）。应用收敛的证明过程，我们有(2.11)然后(2.12)在上面的公式中，我们有(2.13) (2.6)被证明。例2.2 2讨论了例2.1中的定点迭代(2.14)的收敛。为了使解的近似误差不超过，尝试确定迭代次数。解迭代法(2.14)的迭代函数为定义域是。取初始值，通过定点迭代(2.21) 得到，所以取区间。因为因此，它单调递减。和所以，当时 , , 但是上单调递减条件 (2)不成立。

19、由表 2.1 可以看出，取为初始值，作为.当时，就这样。因为所以定理 2.1 的条件成立。因此，在迭代过程的收敛过程中任意选择初始值，使解的近似值的误差不超过，根据误差估计公式（2.6）要是因此，应将其视为拿。因此，138+30=168 次迭代必须使近似解的误差不超过。事实上，从表 2.1 可以看出，只有 110 次迭代才能达到要求的精度。 (2.6)的右边是最大可能的误差界限。在这种情况下，估计的迭代次数太大。定点迭代算法的收敛速度定理 2.2 2在定理 2.1 的假设下，令函数在区间 内连续可微，且在方程（2.1）的末尾(2.15)则不动点迭代是阶收敛的。证明根据定理2.1 ，方程(2.1

20、)在 上具有唯一根。并且对于任何初始值，定点迭代序列由于以下原因而收敛(2.16)根据泰勒公式和定理，我们有其中。很容易知道，对于足够大的 , if , then , then(2.17)因此，证明了不动点迭代是阶收敛的。关于不动点的迭代，还有如下局部收敛定理。定理 2.3 2令 是方程(2.1)的根在 的某个域中亚连续可微，并且那么当初始值足够接近时（有正数，对于一切），定点迭代序列收敛到，收敛阶为。证明由于某些假设域是连续的 并且必须存在使得对于所有根据拉格朗日中值定理，我们有和之间，因此这是( 2.18)因此，当时， 。根据定理 2.2 和定理 2.3，对于任意初值，不动点迭代收敛，收敛

21、阶为。及其收敛一个收敛的迭代过程将产生一个收敛的序列，例如。这样，只要迭代次数足够多，也就是足够大，比如.但是如果迭代过程收敛慢的话，计算量会变得很大，所以需要加快收敛过程。假设一个序列: , 线性收敛到(slowly convergent) , 即有(2.19)所以当它足够大时，有这是那是(2.20)解决方案必须定义, (2.21)（2.21）式称为艾特肯加速度公式（法）。艾特肯加速法得到的序列：比原序列收敛得更快。有以下定理。定理 2.4 2让序列线性收敛到，并且对于所有足够大的整数 ，则由 Aitken 加速方法(2.21)产生的序列有(2.22)证明通过假设序列线性收敛于，即我们有,

22、.记住(2.23)然后是, 。根据公式（2.21） ，(2.24)因此有在介绍中，我们谈到了一阶差分：二阶前差：因此，Aitken 加速度公式（2.21）可以改写为(2.25)为此，艾特肯加速法也称为艾特肯加速法。示例 2.3 2设置，则。自从所以序列收敛到 1。下面列出了通过将 Aitken 加速方法应用于序列计算的前几项（表 2.2）。确实比更快地收敛到 1。表 2.2 Atiken 加速度法计算结果的前几列10.54030230520.8775825610.96177506030.9449569460.98212935340.9689124210.98978551250.98006657

23、70.99341565060.986143231第三章 非收敛定点迭代格式的几种处理方法及比较第2章主要介绍求解非线性方程组的不动点迭代法。迭代函数必须满足收敛定理的假设。在现实生活中，明确满足这些条件的迭代函数很少见。本章针对迭代函数不满足收敛条件的情况，提出了几种处理方法。3.1 非收敛定点迭代方案的几种处理方法方程的迭代格式不是唯一的，迭代也不是全部收敛的。收敛取决于迭代函数和初始值。定点迭代函数的收敛性在上一章已经讨论过，但是如果, , 则不满足定理 2.1 的条件（2），所以下面四种处理方法，反函数法，牛顿迭代法，Steffensen分别介绍迭代法和松弛法。3.1.1反函数法因为,

24、如果 有, 那么 , , 所以方程可以写成等价形式, 从而构造出迭代格式, (3.1)显然，满足收敛条件。对于简单的情况，它的反函数很容易得到。3.1.2牛顿迭代法对于迭代格式的情况，使用牛顿迭代格式有(3.2)3.1.3Steffensen 迭代法根据 Aitken 加速算法，迭代格式, , 修改如下：(3.3)其中。3.1.4松弛法将转化为等价形式，称为松弛因子，以构造迭代方案(3.4)它的迭代函数是。记, ，得到以下结论：（1）当时，取时间，迭代收敛；（2）当时，取时间，迭代收敛；(3) 那时，当花费时间时，迭代方案比迭代方案收敛得更快。推导如下：(1) 此时，迭代函数由得到。因为所以有

25、，因此迭代收敛。(2) 当时，由 获得。因为所以有，因此迭代收敛。(3) 那时，拿，拿，获得。 _所以有，所以迭代方案比迭代方案收敛得更快。3.2 数值例子以上四种方法都可以解决非收敛定点迭代方案的问题。现针对上述四种方法给出一些不满足不动点迭代收敛定理的例子，并对结果进行分析比较。例 3.1 要在区间中求方程的根，所需的精度为。方程的解简化为， So ，则 ， ，不满足定理 2.1 的条件 (2)，因此不能通过 (2.2) 的迭代方案计算。下面分别采用反函数法、牛顿迭代法、Steffensen迭代法、松弛法对迭代函数进行修改，得到相应的新迭代函数，并用C语言在计算机上编程计算。(1) 反函数

26、法：迭代格式为这是取初始值，应用程序见附录1。(2)牛顿迭代法：迭代格式为这是取初始值，使用附录二中的计算程序；(3) Steffensen迭代法：迭代格式为这是取初始值并使用以下过程得到结果：(4)松弛法：迭代格式为这是那时 , , ,所以取值范围是, 现在取, , 用 C 语言编程就可以得到结果。上述四种方法的计算结果如表（3.1）所示。在这个例子中，以上四种方法都是收敛的，所以这四种方法可以解决不满足收敛条件的定点迭代收敛问题。变换后的牛顿迭代法收敛速度最快。表 3.1 例 3.1 四种方法的计算结果迭代次数反函数法牛顿法Steffensen 迭代法松弛法11.650961.695652

27、.076001.6687521.669221.672082.000131.6720131.671661.671701.921191.6716741.671701.671701.841671.6717051.671701.767381.6717061.6786471.6719781.6717091.67170例 3.2 要在区间中求方程的根，所需的精度为。对于方程的解，转化为，所以，则此时 ， ，所以不满足定点迭代收敛条件。为了求解这个方程，本章介绍的以下四种方法也用于求解这个方程。(1) 反函数法：迭代格式为将方程更改为迭代格式取初始值，运行附录5中的相应程序，得到计算结果。(2)牛顿迭代法：

28、迭代格式为生成示例中的数据取初始值，运行附录6中的程序，得到计算结果。(3) Steffensen迭代法：迭代格式为代入示例的数据是取初始值，运行附录7，得到计算结果。(4) 松弛法：迭代格式为代入示例的数据是此时 , , , 所以取值, 现在取,初始值, 运行附录 8 中的程序即可得到计算结果。上述四种方法的计算结果如表（3.2）所示。在这个例子中，以上四种方法都是收敛的，所以这四种方法可以解决不满足收敛条件的定点迭代收敛问题。变换后的牛顿迭代法收敛速度最快。表 3.2 示例 3.2 的四次迭代结果迭代次数反函数法牛顿法Steffensen 迭代法松弛法11.414211.407611.44

29、8211.4203121.398801.395331.411521.4031531.395971.395341.397091.3979041.395451.395341.395361.3961951.395361.395341.3956261.395341.395341.3954371.395341.3953781.3953591.39534101.39534例 3.3 要在区间中求方程的根，所需的精度为。解将方程转换为等价形式，则此时。此时 , , 不满足不动点迭代收敛条件。可通过以下四种方法处理得到近似解。(1) 反函数法：首先，通过反函数处理法可以得到迭代格式取初始值，应用程序见附录9。

30、(2)牛顿迭代法：通过牛顿迭代法得到迭代格式取初始值，应用程序见附录10。(3) Steffensen迭代法：通过Steffensen迭代法得到迭代格式取初始值，应用程序见附录11。(4)松弛法：松弛法得到的迭代方案为当时 , , , 所以取之间的值, 现在取, 初始值, 应用程序见附录 12。以上四种方法见表（3.2） 。在这个例子中，以上四种方法都是收敛的，所以这四种方法可以解决不满足收敛条件定理的不动点迭代收敛问题。同时，这个例子中变换后的牛顿迭代法收敛速度最快。表 3.3 示例 3.3 的四次迭代结果迭代次数反函数法牛顿法Steffensen 迭代法松弛法10.223140.31444

31、0.256300.3405120.328170.300150.298230.3101430.289620.300080.300070.3026740.303940.300080.300080.3007550.298640.300080.3002560.300610.3001270.299880.3000980.300150.3000890.300050.30008100.30009110.30007120.30008130.30008综上所述非线性代数问题的求解是现代计算数学的一个重要研究课题，而定点迭代算法是求解非线性方程组近似根的重要方法。本文通过收集大量数据，了解了求解非线性方程组的不动

32、点迭代算法的研究背景和研究价值，然后介绍了不动点迭代法的基本思想。从加速定点迭代算法的收敛性方面对速度进行了研究，并结合实例进行了对比分析。对于不满足收敛条件的情况，本文通过阅读大量数据和文献总结出四种处理方法。分别是反函数法、牛顿迭代法、Steffensen迭代法和松弛法，从而求解不满足收敛不动点迭代方案的非线性方程组，并给出相关例子进行比较并验证。具体来说，对于一般非线性方程组，只要满足第 2 章定理 2.1 中的条件（1）和（2），那么对于任意初始值，定点迭代生成的迭代序列收敛于 处的唯一不动点，那么应该考虑到单靠收敛并不能解决一个迭代效率问题，所以本文还专门研究了不动点迭代法的收敛速度

33、，以加快不动点迭代法的速度。对于一般不满足第2章定理2.1中的条件（1）或条件（2）的情况，则定点迭代算法生成的迭代序列不收敛，函数的近似解不能得到，那么本文通过阅读大量的数据和文献，总结了四种简单易用的处理方法，并且通过三个例子可以发现，这些方法不仅可以得到收敛的迭代序列，而且还具有更快的收敛速度。对这四种方法进行分析比较，牛顿迭代法的迭代效果最好。这也是本文的重头戏。由于许多条件，本文也存在许多不足之处。例如，没有足够的例子来充分证明第 2 章中的定理 2.2 和定理 2.3，并且对第 3 章给出的三个例子的准确性要求较低。 , 需要进一步研究，如果条件允许，可以进一步研究定点算法及其在非

34、线性方程组中的应用。参考1 杨青，王能超，易大奕数值分析M.: 清华大学, 2008, 32(2): 3-82林承森数值分析 M .: Science, 200 7, 18(1): 133-135, 2 55-2653 王则克.简单不动点算法J : 大学数学系, 1988, 12(12): 113-1274 徐焱 Banach空间中的不动点迭代逼近J : 理工学院数理学院, 2010, 13(2): 1-445 纯红色。非线性算子的定点迭代逼近J理工大学学报, 2006, 16(1): 51-586 军平，徐玉生非线性算子不动点定理J大学学报, 2000, 10(5): 30-317 宋娜娜

35、几类非线性算子的不动点定理J工程学院学报（自然科学版）, 2003, 4(3): 1-48 段华贵几类非线性算子的不动点定理及应用J师范大学自然科学学报, 2004, 20(4): 31-339 小龙非线性算子方程的迭代算法J科技与工程研究通报, 2010, 10(13): 3169-317010 王功军非线性方程的迭代方法研究J大学学报（自然科学版）, 2000, 20(3): 228-23111 卷美。一类不动点迭代法的求解J.燕山大学学报, 1998, 22(2): 140-14212 贵族。定点迭代法的单点标注J.大学数学。 2003,19(4):30-3713戴璐璐非线性方程的迭代解

36、J工业大学学报, 2012, 5(4):1-5714 Halikias, Galanis, Karcanias, Milonidis。多项式的最近公根、近似最大公约数和结构化奇异值J . HYPERLINK javascript:_doLinkPostBack(,mdbaph%7C%7Cjdbaphjnh%7C%7CssJN%20%22IMA%20Journal%20of%20Mathematical%20Control%20%26%20Information%22%7C%7Csljh,); o Search for IMA Journal of Mathematical Control &

37、Information IMA数学控制与信息杂志, 2013, 30(4): 423-442附录附录1（反函数处理方法）：% main() 是主函数% 目的：使用反函数法求解非收敛不动点迭代方案情况下的非线性方程组% 格式： solut( double x,int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列，k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双x，int k）双f;诠释我;for(i=0;i0):);scanf(%d,&k);for(i=1;i=k;i+)printf(nx=%6.5 l fn,solut(x0,i);附录二（牛顿

38、迭代法） ：% main() 是主函数% 目的：使用牛顿迭代法求解非收敛定点迭代方案情况下的非线性方程组% 格式： solut( double x, int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双x，int k）双f;诠释我;for(i=0;i0):);scanf(%d,&k);for(i=1;i=k;i+)printf(nx=%6.5 l fn,solut(x0,i);附录 3（ Steffensen 迭代法）：% main() 是主函数% 目的：使用Steffensen迭代法求解非收敛不

39、动点迭代方案情况下的非线性方程组% 格式： solut( double x,int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列，k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双 x ，int k）双f，f1，f2；诠释我;for(i=0;i0): );scanf( “ %d ” ,&k);for(i=1;i=k;i+)printf( “ nx=%6.5lfn ” ,solut(x0,i);附录四（松弛法）：% main() 是主函数% 目的：在非收敛不动点迭代方案的情况下，使用松弛法求解非线性方程组% 格式： solut( double x,

40、int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列，k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双x，int k）双倍f ,w=-0.15 ;诠释我;for(i=0;i0):);scanf(%d,&k);for(i=1;i=k;i+)printf(nx=%6.5 l fn,solut(x0,i);附录5 （反函数处理方法）：% main() 是主函数% 目的：使用反函数法求解非收敛不动点迭代方案情况下的非线性方程组% 格式： solut( double x,int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列，

41、k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双x，int k）双f;诠释我;for(i=0;i0):);scanf(%d,&k);for(i=1;i=k;i+)printf(nx=%6.5 l fn,solut(x0,i);附录6 （牛顿迭代法）：% main() 是主函数% 目的：使用牛顿迭代法求解非收敛定点迭代方案情况下的非线性方程组% 格式： solut( double x,int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列，k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双x，int k）双f;诠释我;for(i=

42、0;i0):);scanf(%d,&k);for(i=1;i=k;i+)printf(nx=%6.5 l fn,solut(x0,i);附录7 （ Steffensen 迭代法）：% main() 是主函数% 目的：使用Steffensen迭代法求解非收敛不动点迭代方案情况下的非线性方程组% 格式： solut( double x,int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列，k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双 x ，int k）双f，f1，f2；诠释我;for(i=0;i0): ” );scanf( “ %d ” ,&k

43、);for(i=1;i=k;i+)printf( “ nx=%6.5lfn ” ,solut(x0,i);附录八（松弛法）：% main() 是主函数% 目的：在非收敛不动点迭代方案的情况下，使用松弛法求解非线性方程组% 格式： solut( double x,int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列，k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双x，int k）双倍f ,w=-0.15 ;诠释我;for(i=0;i0):);scanf(%d,&k);for(i=1;i=k;i+)printf(nx=%6.5 l fn,solut

44、(x0,i);附录9 （反函数处理方法）：% main() 是主函数% 目的：使用反函数法求解非收敛不动点迭代方案情况下的非线性方程组% 格式： solut( double x,int k) ，solut为被调用函数，x为返回输出的值，即迭代函数生成的迭代序列，k是一定精度下的迭代次数#include #include 双解（双x，int k）双f;诠释我;for(i=0;i0):);scanf(%d,&k);for(i=1;i=k;i+)printf(nx=%6.5 l fn,solut(x0,i);附录10（牛顿迭代法） ：% main() 是主函数% 目的：使用牛顿迭代法求解非收敛定点迭代方案情况下的非线性方程组% 格式： solut( double x,int k) ，solut为被调用函数，x为返回输