双因素方差分析

1、双因素方差分析(two-way analysis of variance)1例子 有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌(品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量是否有影响，对每种品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05)2不同品牌的彩电在各地区的销售量数据品牌因素 地区因素地区1地区2地区3地区4地区5品牌1365350343340323品牌2345368363330333品牌3358323353343308品牌42882802982602983符号 设在某实验中，有二个因子在变动。因子A取r个不同水平 因子B取s个不同水平

2、,在（ ）水平组合下的实验结果独立地服从N（ ）分布。 为了研究方便起见，如单因子方差分析中那样把参数改变一下，并令45 称 为一般平均， 为因子A的第i个水平的效应， 为因子B的第j个水平的效应，它们显然满足关系式：6双因素方差分析的基本假定每个总体都服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正 态分布总体的简单随机样本各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总 体中抽取的 观察值是独立的7两种情况分类 分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验结果的影响。 如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素

3、方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factor without replication)。 如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析(Two-factor with replication )。8有交互作用的双因素方差分析若 则我们称为因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互作用，它们满足关系式：9 为研究交互效应是否对结果又显著影响，那么在（ ）水平组合下至少要做t( )次试验，记其结果为 ，则诸 相互独立，均服从 分布这就是有交互作

4、用的方差分析模型。（模型一）10有交互作用的双因子方差分析:假设因子A 原假设: H0: 备择假设: H1: 至少一个 不同于0因子B 原假设: H0: 备择假设: H1: 至少一个 不同于0 交互作用 原假设: H0:对一切i,j有 备择假设: H1: 至少一个 不同于011综上所述有交互作用的双因子方差分析的原假设为：对一切i,j有12平方和分解首先引入下述符号：13由模型一可知：14总的偏差平方和可以作如下分解：15其中各偏差平方和表达式如下：16 从中可知 反映了误差的波动； 除反映了误差的波动外还反映了因子A的效应的差异，因子B的效应的差异，交互效应的差异所引起的波动。我们分别称它们

5、为误差的偏差平方和，因子A的偏差平方和，因子B的偏差平方和以及交互作用A*B的偏差平方和。 同理可计算各偏差平方和的自由度，它们分别是17构造统计量在 为真时，在 为真时，在 为真时，18F-检验 根据上述构造的三个统计量，按照显著性假设检验程序，对给定的显著性水平 ，当 当 当拒绝拒绝拒绝19方差分析表20有交互作用的双因子方差分析例题 在某化工生产中为了提高收率，选了三种不同浓度，四种不同温度做试验。在同一浓度与温度组合下各做两次试验，其收率数据如下面计算表所列（数据均已减去75）。试在0.05显著性水平下检验不同浓度、不同温度以及它们间的交互作用对收率有无显著影响。21B（温度）A（浓度）14，10 11，11 13，9 10，12（24）（22） （22） （22）9081009，7 10，8 7，11 6，10（16）（18）