高中数学复习课件：曲线与方程及圆锥曲线的综合应用

1、1.设k1，则关于x，y的方程（1-k）x2+y2=k2-1表示的曲线是（ ）y轴上的椭圆x轴上的椭圆y轴上的双曲线x轴上的双曲线 方程可化为所以k2-10，k+10， 所以方程表示实轴在y轴上的双曲线，选C.C因为k1，2.在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(ab0)表示的曲线大致是（ ）D将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：因为ab0，所以则有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，选D.易错点：由方程研究曲线的性质，须化为标准方程.3.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足 (O为原点)，其中1,2R，且1+2=

2、1，则点C的轨迹是（ ） 设C(x,y)，由已知得(x,y)=1(3,1)+2(-1,3)，x=31-2y=1+32，又1+2=1，消去1,2得x+2y=5，选AA.所以4.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(-6,00和C(6,0)，顶点B在双曲线 的左支上，则 =. 因为A和C恰为双曲线的两个焦点，所以由双曲线方程及定义得：根据正弦定理知：填.5.P的斜坐标定义为：若（其中e1,e2分别为斜坐标系的x轴，y轴正方向上的单位向量，x,yR），则点P的斜坐标为（x,y）.在平面斜坐标系xOy中，若xOy=60，已知点A的斜坐标为（1,2），点B的斜坐标为（3,1）,则线段AB的垂直平

3、分线在斜坐标系中的方程是.x=2设P(x,y)为线段AB垂直平分线上的任一点，则有因为 =(1-x)e1+(2-y)e2， =(3-x)e1+(1-y)e2所以 =(1-x)2+(2-y)2+2(1-x)(2-y)，=(3-x)2+(1-y)2+2(3-x)(1-y)，由得xx=2. 易错点：处理新信息题应认真阅读并理解好题意.(1)定义：在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.：(2)

4、已知曲线求方程，已知方程画曲线是解析几何的核心内容.已知曲线求方程实质就是求轨迹方程，其方法主要有直接法，定义法，代入法等；已知方程画曲线就是用代数的方法，研究方程性质(x，y的取值范围，对称性等)，然后根据性质及一些基本函数(方程)的图象作出曲线.在解析几何问题中，有些与参数有关，这就构成定值问题.解决这类问题常通过取出参数和特殊值来确定“定值”是多少，再将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.以实际应用为背景，圆锥曲线的有关知识为手段，解决实际问题的应用题，或以圆锥曲线为载体，构建与其他数学分支相结合的问题（如数列问题）.重点突破：已知曲线求方程 ()已知A(0,7)

5、，B(0,-7) ，C(12,2)，则以C为一个焦点过A，B的椭圆，求该椭圆的另一个焦点F的轨迹方程.()设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A，B两点，P是l上满足=1的点，求点P的轨迹方程.()首先利用椭圆的定义可知 为常数，再利用双曲线的定义即可求得轨迹方程.()设出动点P的坐标，用直接法求出P点的轨迹方程即可，注意x的取值范围.()由题意又所以故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又c=7，a=1，所以b2=48，所以轨迹方程为 (y-1)，故填(y-1).()设P点的坐标为(x,y)，则由方程x2+2y2=4，得 ，由于直线l与椭圆交于A，B两点，故-

6、2x2，即A，B两点的坐标分别为A(x,)，B(x,-),则所以即x2+2y2=6，所以点P的轨迹方程为x2+2y2=6(-2x0，所以化简可得点C的轨迹方程为：x2+4y2=4a2(x0). 重点突破：圆锥曲线中的定值问题 已知F1，F2分别为椭圆C1：(ab0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且()求椭圆C1的方程.()已知点P（1,3）和圆O：x2+y2=b2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满足： (0且1).求证：点Q总在某定直线上. ()求出点M的坐标，利用椭圆的定义，可求得椭圆方程；()

7、利用设而不求法，将向量问题转化为坐标关系，可得证. ()由C2：x2=4y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x0b0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM,kPN时，求证：kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值. 设点P(x,y)，若M的坐标为(m,n)，点N的坐标为(-m,-n)，其中 由所以kPMkPN= 将代入上式得：kPMkPN= 为定值，得证. 重点突破：圆锥曲线中的存在性问题 已知两点M(2,0)，N(-2,0)，平面上动点P满足()求动点P的轨迹C方程.()如果直线x+my+4=0(mR)与曲线C交于A，B两点，那么在曲线C

8、上是否存在点D，使得ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. ()利用直接法，可求得点P的轨迹方程.()联立直线和曲线的方程，利用韦达定理，结合假设存在，则有=0，可判断成立与否. ()设点P(x,y)，由得 化简得y2=8x为点P的轨迹方程.()设直线x+my+4=0与曲线C交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)， x+my+4=0 y2=8x所以=64m2-4320，即m22,则y1+y2=-8m，y1y2=32，且若存在点D满足条件，可设D（,t），因为ABD是以AB为斜边的直角三角形，所以由得：y2+8my+32=0，即 +(y1-t)(y2

9、-t)=0,因为y1t，y2t，所以(y1+t)(y2+t)+64=0所以t2-8mt+96=0,所以=64m2-4960，所以m26,当m或m-时，存在点D使得ABD是以AB为斜边的直角三角形,又m22，所以当- m- 或m 时，满足条件的点D不存在. ，本题主要考查求曲线方程，直线与圆锥曲线的位置关系，垂直问题，以及推理能力和运算能力，探究能力和向量法，以及“设而不求”，对于(1)根据题目给定条件直接可求得；对于(2)先假设存在，用“设而不求”研究直线与圆锥曲线的位置关系，关键是构造一元二次方程，应用根与系数的关系解题.已知定点A(a,0)(a0)，B为x轴负半轴上的动点，以AB为边作菱形

10、ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上.()求动点D的轨迹E的方程；()过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R(-a,0)，当l绕点A转动时，证明PRQ是否可以为钝角？请给出结论，并加以证明.()设D(x,y).因为A（a,0），由ABCD为菱形，且AC、BD的交点在y轴上，所以B、C两点的坐标分别为(-x,0)、(-a,y).由ACBD，得=(2x,y)(2a,-y)=4ax-y2=0，即y2=4ax.因为ABCD为菱形，所以x0，故轨迹E的方程为y2=4ax(x0).()PRQ不可能为钝角，即PRQ90.证明如下：当PQx轴时，P、Q点的坐标为(a,2a)，又R(-a,0)，此时

11、PRQ=90，结论成立；当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x-a)， y2=4ax y=k(x-a)，得k2x2-(2ak2+4a)x+k2a2=0.由设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1+x2= =(x1+a)(x2+a)+y1y2=(x1+a)(x2+a)+k2(x1-a)(x2-a)=(1+k2)x1x2+(a-ak2)(x1+x2)+a2+a2k2=(1+k2)a2+(a-ak2)(2a+)+a2+a2k2=即为锐角.综上知PRQ90成立.(2009山东卷)设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点M(x,y)的轨

12、迹为E.()求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;()已知m=,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求该圆的方程;()已知m=,设直线l与圆C:x2+y2=R2 (1R0且m1时,该方程表示椭圆;当m0,即4k2-t2+10,即t24k2+1,且x1+x2=x1x2=所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2要使OAOB,需使x1x2+y1y2=0,即所以5t2-4k2-4=0,即5t2=4k2+4且t24k2+1,即4k2+420k2+5,恒成立.又因为直线y=kx+t为圆心

13、在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为故所求圆的方程为x2+y2=.当切线的斜率不存在时,切线的方程为它与交于点（）或（），也满足OAOB.综上,存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且()当m=时,轨迹E的方程为显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k1x+t1.因为直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于故由()知即y=k1x+t1+y2=1A1,由,得x2+4(k1x+t1)2=4,即又因为直线l与轨迹E只有一个公共点B1,故上述方程有唯一解.则即设点B1（x3,y3）.所以,由得因为点B1在椭圆上,所以所以在直角三角形OA1B1中

14、,|A1B1|2=|OB1|2-|OA1|2=因为当且仅当R=2时取等号,所以|A1B1|25-4=1.即当R=（1,2）时,|A1B1|取得最大值,最大值为1. 本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.1.已知曲线求方程的常用方法有：定义法，直接法，代入法等，解题的一般步骤是：建系；设点；列式；代入；化简；证明.以上方法称为直接法，适合于求知道动点符合的几何条件，但不知道轨迹形状的曲线方程；如果能够判断出动点的轨迹形状，又知道曲线方程的形状，则可用待定系数法求出曲线的方程；如果所求曲线上的点是已知曲线上的点的相

15、关动点，那么它的方程可通过相关动点之间的关系，代入到已知曲线的方程中求得，此法称为间接法（代入法）.2.解析几何与向量的交汇要紧紧抓住点的坐标，利用平面向量的坐标表示法，将问题中的向量关系转化为代数关系，再根据解析几何中已有的知识与方法求解.3.圆锥曲线是高考的重点考查内容，在高考中除中档题或压轴题综合考查它们与其他知识的交汇之外，三种曲线间的交汇在高考中也常常出现.4.过定点问题，定值问题，存在性问题（探究性问题）等在综合问题中经常出现，解题时要注意应用转化思想，数形结合等数学思想与方法，明确解题思路，简化计算过程，常用“设而不求”“整体代换”等解题方法.1.（2009四川卷）已知直线l1:

16、4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）C. D.A解法1：直线l2：x=-1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（1,0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（1,0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（1,0）到直线l1:4x-3y+6=0的距离，即 故选择A.解法2：如下图，由题意可知本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题.2.（2009宁夏/海南卷）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.()求椭圆C的方程；()若P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点， ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. ()设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c， a-c=1 a+c=7所以椭圆C的标准方程为由已知得,解得a=4c=3.()设M(x,y)，其中x-4,4