2019届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(理)试卷含答案及解析

1、2019届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（理）试 卷【含答案及解析】姓名 班级 分数题号一一二总分得分、选择题已知集合 T二，二山- , B = xax 0）上一1点， n 为坐标原点，若 ，.B 是以点3/（口10）为圆心，的长为半径的圆与抛物线 匚 的两个公共点，且 TOC o 1-5 h z A42Q为等边三角形，则 户 的值是（）A,e B._C. -D.-236913； 2y-1，则目标函数二二7A：十.1值0上丹的最.江氾9大值为ii,则 钎b的最小值为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8fxr 工 o时，/I/M1表达式的展开式中 一果虺0常数项为（）A. -20 B .

2、 20 C. -15 D . 15二、填空题若（1-2工旷 =%+1工+公+小 + ，则 以|+|q|十|死| 等于给定双曲线 U/-T = 1 ,若直线/过匚 的中心，且与 C 交于 M V5+1两点，产 为曲线c上任意一点，若直线 尸财.尸浦 的斜率均存在且分别记为，则 kpn柝=.的取值范围为已知点 产(工J)的坐标满足在数列 5中，=1 , 广】G二广打23人、2(管“)，S,是数列四二L的前 打项和，当不等式 0 +1KW-阳), 人丁 恒成立时， 前7的所3E-M有可能取值为.三、解答题已知函数 /(#) = 0M- 2 sH匚(g 0)的最小正周期为 3斤.(1)求函数 义工)在

3、区间上的最大值和最小值；4(2)已知门上人 分别为锐角三角形 ABC中角ABC的对边，且满足b = VT-1 ， Ji： = 2异相月，求 MSC 的面积.某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是 2011年至2015年的统计数据：ply:宋体；font-size:10.5pt 年份 2011 2012 2013 2014 2015 居民生活用水量 (万吨)236 246 257 276 286(1)利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程下二方I十门 ；(2)根据改革方案，预计在 2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于 稳定，预测该城市2023年

4、的居民生活用水量.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB /. CD， AD -DC-CB-， 24月= 8。*，四边形ACFE为矩形，平面 ACRE-平面ABCD，匚尸(1)求证：1gcl 平面 ACFE ；WR 与平面 FCB 二面角的平面角为(2)点 M 在线段 汴 上运动，设平面 伏& 9口。，试求 ss。的取值范围.已知椭圆 匚 1T =(门5 0)的两个焦点分别为 (-69),n 不工(丁二0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点MQ9).(1)求椭圆c的方程；(2)过点 M的直线,与椭圆u相交于 A B两点，设直线zLV、&V的斜率分 别为尢一七，问匕+k是否为定值？并证明你的结论.设/(

5、幻=上上(且白H1 ), 式。是，G)的反函数.1 /I(1)设关于 戈 的方程 括也 = g(外 在区间2上有实数解，求(x- -1R7-X)的取值范围； TOC o 1-5 h z 冈mJ(2)当b=白(百为自然对数的底数)时，证明：A；i.a月5+1)5 当0 VoM时，试比较|与4的大小，并说明理由.hi23. 已知 m 是3ABC的外角的平分线，交 BC的延长线于点 门 延长门4交AJ5C的外接圆于点 F ,连接FB FC(1)求证：FR三fc ；(2)若耳是 山RC外接圆的直径，ZEHC = 120，*C二%h ，求4n的长.x = 3+ JlOco3 rr已知曲线匚的参数方程为(

6、为参数)，以直角坐标系 y 二1十 ylO dit原点为极点，h轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 c的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为 S.111- CdS./y =,求直线被曲线 截得的弦长.P选修4-5 :不等式选讲.已知函数/ 卜卜4 d卜开g 0)(1)当才三2时，求不等式 八力3的解集；(2)证明：/(即)4/ - 4 . mJ参考答案及解析试题分析；且=3y = J4/=3-工上 2 J又因为KU上二月即为匚月所以，“状 ,解之得2疔百1 ,曲世.第2题【答案】CI解析】试题分析：二=(iy = m*2-X =口-七1|，因为二的实部为%所以日=

7、2 1H 2f22,所以二的虚部为二，故选C.JX.第3题【答案】At解析】试题分析：斗七0匹 在区间(*上，/单调递现但 a八,再蚊加41)|区间(一叫。)上单调速磷上 。所以XQ ”是国教幼弓武田+ 1)|在区间(-m.O)内单调建福”的，故选氐第4题【答案】折：由（h）二看（工七一 1）-6无0得晨21-1）父c（r -1） 令世r）=/QT-l）.g（）二纵工-1） ,则若存在唯一的整整!/,使得等价于存在唯一的整戮!使凤/）父烈飞）,在同一坐标系内作出两个函数的国象，由图象可知f 七）0等价于存在唯一的整数/便卜（工）式工（不）等价于X0)3冷”解溺葭C第5题【答案】C【解析】试题分

8、析；V二sin（A-+ ?）亡。居0 + ?） = 1 $111仁* +的图象沿V轴向右平移?个单位后得到的国配I解析式为F=；，适2“ 一） +河二:名山（2丫+炉-；）】因为该函麴为偶函教，所以- = U-（kZ）即e= ；U+2sZ），由此可知选项C不符合题意,故选匚I 24【解析】ULUILUUM试题分析；设区”) 则M4 =(工厂LrJjWB =(.7,yJJU =伪一卬m-%)事由LULV LUJ题意有MA MB - ( 一以j 7) +.1y; - 0.所以LLU MlU方MABA = 6TX& -力尔”- N=飙-1)5-(* -1)0，# 一必必=K； 一* 4 一 再1X2

9、 .1) +内外 +耳_ 1=万：_d + I _ ； K： 一 再 十 】=与J _ 2阳 + 2 = 土区-再七2.2 能，当工2时？筋茜有最大值9 ,当时一微,雷有最小值。，故选二第7题【答案】i【解析】试题分析：该程序框图所表示的篁注功能为：=1- -2-4冢-4 +5- -6;+7=-8+9-10= =-(1+2 + 3 + 4 + 54-6+7+8 + 9 + 10)-55 ,故 选B.试题分析：如下图所示n四边形的面积5 = 1x2 = 2，阻影部分的面枳可分为西都分，一却分是四边形口EDC的面积S = 2k4 = 1 ,另一部分是曲边梯形的面积*=；,志了；=102所 2/ 三

10、以点M来自E内的祇率为产二显警二上芋，故选C. S 2第9题【答案】试题分析：三棱锥”-尸ft?的高为点M到平面PBC的距离，即仁还，底面三角形PEC的2就月。二3、高为尸到RC的距离半二0 ,所以三棱锥财一尸EU的体积修= 1k1cx 6三电=3 J故选比3 222第10题【答案】C【解析】试题分析：由抛物线的性底及题意可知,见日两点关于1轴对称，所以可设义与凹3坑一看明）？f 2 25工，工25则相=W-1。= 4：解之得3 ,又因为点A在抛物线上，所以三=?”5TJ TL月J,解得,胡却. 6第11题【答案】试题分析：在直角坐标系中作出可行域，如下图所示，因为口 060 ,所以目标函数二

11、二仃八十） 取得最大值时的最优解为现23）,所以=油4 + 3，即帅=4 ,所以日十占之2Q=4 ,当目 仅当。5b = 2时取等号，故选B.第12题【答案】A【解析】试瓢分析；因为工。，所以/。）二一4七0, m/i/Cv）=c-7-1甘=（；一4 ,其 7y 7x展开式的通项为心小。式去广二-肉二（一4（4尸f ?当尸金孑时为常数即所以（切表达式的展开式中常数项为工=c-iyq = -20 s故选a.11试?5析：(1- 2t)4 =1- 8.t + 24x2 - 321s 16Ti ,所以 4 = L 3=-8.0t = 32 ,第14题【答案】6+i 21解析】苴题分析：设宜纬的方程为

12、上，.53./ -Vi-. 3./： ?1. I .则用45-2k-（近一2公）一（的1） = 0，所以有/ 一X “居一八_ 一”（匕十心）十_J6式+七）十公平二 ，一讶 小一餐 工/一餐（西十%）+看弓/3一耳式看十/）十叩匕试题分析；在直角坐标系内作出可行域及直线百、十 丁二0 ,如下图所示，过点尸作PFL直线V3x +1, = 0于点产表示可行域内的点到直线抬工十丫二。的距离|尸F|岳十M*2.俨 表示可行域内的点尸到原点O的距离|尸。| ,所以 F PF .,当点711下 = sin/PQFJ/ + . pOP在直线Jix+F=O上时,在直线 八 十丁 二 01在右上方时,，此时普

13、三 的取值范围为(0,Q) ，当点尸在直线底4T = 0 r在左下方时, M+厂3此时的取值范围为一道.0)综上乎的取值范围为-J? ji).1或2或4【解析】试题分析；由3*%31G7-2,3-+2。篙2）得32（弭 + 1） = ：3”-“.1+ 1）+土1_32_2”1+2（葡三2） j 即3Tg/D = 3“ + D + 252）,所以数列g”gdD:是以3门（码+1） = 2为苜项、2为公 TOC o 1-5 h z , 了2 立（1 十）.比的等比赳列，所以3（6, + !） = 2H，由匚二岳，Sl，一 二 3Q不），所以K 31-13事J。、。一而）*.视】0一加）3盾-修_3

14、吗 + 0-粉）于一3 , 13-3即受刑）=3-3Q$f 0-叩3巾江（3 .所 T办工了+3即Lr J ” MO，当9 =3时,该不等式不成立J当mH 3时有中一 十口恒成。叩 73”L3m立，当也*1时，i3JI |，-1 ,这时也，一1 一，当册=2时，1321，口 =，2?这时 后工B,2 33牌我士?或融海-4 ,当用之4时j 彳匚亡0不成立，所以制打的所有可育搬值为1或2或3_!3-5，/由二1，十解析】 试题分析；CD和两三角恒等变换中联公式化简函数解析式得（田Mg）-1 ，由周期为U ,可求的值，由三角图数性廉可求函数的最值. H）由底=2乩血上及正弦定理可求得宣口因二老j从

15、而是求出解8的值,由/（总工行-1可求出角H及角。=三=：+，由 TOC o 1-5 h z 24121 6正弦定理求出边口,即可求三角形面积.过-2七l 5就 工+ S 3 366试题解析：CD /y（-O- AstQ2x-）-1 , - n，出=2 26卬3T1二了（玲二2五口（三戈十）-1 . /1三工金#r 364iin（zx + ） S1 、236所以当工时，fM取最小值-6l ；当工时，r（x）取最大值L42由八二W-a得锐角月二;，（2 ）由已知 赤7 = 2b 4iti A及正弦定理得：JI sin月=2 iti e inX、，&m 以=j . 0分别以直线 CA.CB.CF为

16、“轴，轴，二轴建立所示空间直角坐标系，令=，求出平面MAB与平面尸8的法向量（用2表示）即可求cos，的范围.【解析】试题分析：试题解析：（1）证明：在悌形中，ABHCD , .4D = DC = CB = 1 , Z.45C =600 , .*.45=2 ,AC2 =AB2 + BC： -2.钻O cos600 = 3 ,A.452 = JC2 + BC2 , .BC1AC ,平面dCFE_L平面.48CO 7平面M7在1平面乂区。=4。? BCu平面45co ,/, BC1平面/CFE . 3公+1试题解析：(D由已知得：c = &6-b，= 2 ,由已知易得B=|OM|=1 ,解得夕=6

17、 ,则桶圆 C的方程为三+炉=1 .x = 1 当直线2瞪粹不存在时，由1 /、，解得x = Ly = 理 , 设d(l,近j 丁N =1.332-亚2+军%4乂=-4- = 2 1 222当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为p = Kx-i),将代入土+.炉=1整理化(3k2 +l)y2 -6k2xJr -3 = 0 ,依题意，直线,与椭圆C必相交于两点：设”X*)必0三),则$+三=等3 A*1 3产-3出二 又片=*($-1) ,巧=上(七-1) ,日产丛 _Q_r)(3f (2-4)(3一项)PWx 1 L 3-、3-x2 .(3-X3-)二2-(3-0川2- 9-5(x1 + r2

18、) + x1x2_ 12 -2(% 十:V)+M2x工)-4(工十五!)+ 69 一 3(演+三)+占三第 21 题 【答案】1）5323（2）见解析j （3） |Z/W-I0 ,求导研究其单调性可得（二）在（0卢8）上是增函数一 （刃+1），从而鼠，呼D）a）= 0，即1n京一亍一 口5：1）0，可证结论成立:当 =1时易得|/（1）一1|=工424 ,当之2时，由P+=i+-可得（1 + r） -1（1+r） 7 ClpC;p- +L +Cftp2444”1v/21+r -玄= = +二二,求和可得力；/）/（1）+力+ 1W+4C*十片（左十Da fr + 11，即可得到|/（左）-力|

19、得/=二0 ,v + 1 .V 1故？（）=1。区-77，xW（-8l】）UQ+8）， x+1/x -1_由 log J ； M； = loga,得，=（工-1）“7一工）,X2,6（x-lX7-r）x+1贝ijf =-3r +18t-15= -3（工一 1乂工-5）,令，）0，得2 05 , iOr = （x-l）2（7-.v）在区间25）上递埼令f第22题【答案】 见解析宁6【解析】试题分析；欲证FB = FC，只要证SC=/FCB即可由疝）平分C可得空40 =乙0且匚,由圆内接四边形性盛得NDHC=48。,又因为同弧上的圆周角4将、对顶角相等,所以 WD = /E4S = /FC石、即可证得 EC = /FCB j （2） ZAC = 120 ；4MC = /BMC = 600 7 所以在RMdCB 中 j 二RC = 36 ；血（? = 60。可求出 MC = 3 ,从而 求出XD的值.试题解析： 证明：;包）平分出C /二 HD = /NC2因为四边形如田。内接于图 ,.ZDJC = ZT5C又/ ZEAD = FRB = ZFCB，, ZFBC