高三数学等差、等比数列习题精选精讲

1、等差数列及等比数列的“遗传”与“变异”.遗传若数列！an是公差为d的等差数列，则由此构造出的以下数列是等差数列.如：Gn去掉前面几项后余下项组成的仍为公差为d的等差数列.（2）所有的奇数项组成的是公差为 2d的等差数列；所有的偶数项组成的是公差为 2d的等差数列；形如G , （其中k是常数，且k w N ）的数列都是等差数列. n -k由此可得到的一般性结论是：凡是项的序号成等差数列（公差为k）的项依次组成的数列一定是等差数列，公差为 kd .（3）数列c，an（其中c是任一个常数）是公差为 cd的等差数列.数列an +c（其中c是任一个常数）是公差为 d的等差数列.（5）数列 也 +an*

2、（其中k是常数,且k w N）是公差为（k +1）d的等差数列.（6）若 匕是公差为d1等差数列，且p,q为常数，则数列p，an +q bn卜定是公差为 pd+qd1的等差数列.（7）等差数列an中，任意连续k项的和是它前面连续 k项的和与它后面连续 k项的和的等差中项，也就是说这些连续k项的和也构成一个等差数列.若右n）是公比为q的等比数列，则由此构造出的以下数列是等比数列.如：（an去掉前面几项后余下项组成的仍是公比为q的等比数列.（2）项的序号成等差数列（公差为 k ）的项依次取出并组成的数列一定是等比数列，公比为 qk .（3）数列1a*是公比为|q的等比数列.（4）数列，an （ c

3、是任一常数且c = 0）是等比数列，公比仍为 q .0nm ）（ m是常数，且 m w K）是公比为qm的等比数列.特殊地：若数列 n是正项等比数列时，且 m是任一个实常数，则数列 anm是公比为qm的等比数列.Qn，an十（其中k是常数，且kw n）是公比为qk*的等比数列.（7）若 匕是公比为q的等比数列，则an bn 是公比为q q的等比数列.（8）等比数列 n中，若任意连续k项的和不为0 ,则任意连续k项的和是它前面连续 k项的和与它后面连续 k项的和的等比中项，也就是说这些连续 k项的和也构成一个等比数列.2 .变异若数列%n上（bn 均为不是常数列的等差数列时，则有：（1）当数列a

4、n中的项不同号时，则数列 an|一定不是等差数列.（2）数列 an + 不是等差数列（3） gnm）（m是常数，且 mK, m#1, an#0）不是等差数列.（4）数列Gn bn 不是等差数列.若数列必口 ）为不是常数列的等比数列时，则有：（1） 数列必n +c（其中c是任一个不为。的常数，）不是等比数列.（2）数列5n +anJ不一定是等比数列.如 an =（1）n时，则an +an由=0,所以 Q +an十不是等比数列.（3）数列 也+bn ）不一定是等比数列.3 .突变若数列（an是公差为d的等差数列，则 Qan （其中c是正常数）一定是公比为 cd的等比数列.若an 是公比为q的正项等

5、比数列，则logc an (其中c是不等于i的正常数)是公差为 logc q的等差数列.数列易错题分析例题选讲1、不能正确地运用通项与前 n项和之间的关系解题：例1、已知数列an的前n项和求通项公式an：(1)S0= 5n2 + 3n； (2)Sd= 3n2;【错解】由公式 an=sn sn得：(1) an=l0n 2; (2) 4=2 3”，【分析】应该先求出 a1,再利用公式an=&sn_1fn22求解.1(n=1)【正解】(1)an=10n2;(2) an = 0时，可得 q2 -6q +1 = 0，二 q怪9主15421J2当 q Sm+ 2 = Sm + am+1 + am+2由已知

6、 2sm+2= Sm+ Sm+ 1, 一 2(Sm+ am+ 1 + am+ 2)= Sm+ (Sm+ am+1),11_一 am+ 1 2am am+ 2 4am.：am+2= 1am+1,即数列an的公比 q=-1.- 2am+2 = am+am+1 ) , - arni?am+ 2)am+1 成等差数歹U(口)( I )的逆命题是：若am, am+2, am+1成等差数列，则Sm, Sm+ 2, Sm+1成等差数列.设数列an的公比为 q, - am+ i = amq,am+2= amq 由题设，2am+ 2 = am+ am+1,即 2amq2= am+amq,即 2q2 q 1 =

7、0, ： q= 1 或 q = g当q = 1时，A，0, ：Sm，%+2， Sm+1不成等差数列.逆命题为假.例题 8 已知数列an满足 a1二1,a2=-13, an虫2an + a an = 2n -6(I)设 bn = an 书an，求数列bn 的通项公式； (口)求n为何值时，an最小(不需要求an的最小值)解：(I) ; bn =an+ an，：. an42 -2Hn 中十 Hn书bn =20 -6bn-bn=2(n-1)6, bn,/=2” 2) 6，., b2 bi = 26将这 n -1 个等式相加，得 bn -b1 21 2 . (n -1) -6(n -1)rc.bn =

8、 n(n -1) -6( n-1) -a)= n -7n -8即数列bn的通项公式为bn =n2 -7n -8(口)若an最小,则an Wan且an an.即bn。且bn*之0尸 2_-一n -7n-8 至0二注意n是正整数，解得8wn&9：当n=8或n=9时，an的值相等并最小Jn -1)2 -7(n -1) -8 0例题9 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f(1)=0. ( I )求函数f(x)的表达式；(口)设数列an满足条件：a1 e(1,2),an+1=f (an)求证：(aL a2) (a3- 1)+(a2 a3) (a4 1)+(an an+

9、1)(an+2 1) 0bnbn bn+1 (a1_ a2) (a3 1)+(a2a3) (a4 1)+(an an+1) (an+2 1)nn=Z (bk -bk 由)bk攵 Z (bk bk+) =b1-bn+1Vbi 1。kikJ例谈数列知识在解题中的应用某些数学问题初看好像与数列性质毫不相干，但如果我们能仔细观察已知条件与结论的结构特征，或挖掘题目的隐含因素，经过恰当的 变形处理，可发现它们与数列仍有密切关系。通过构造等差(比)数列，然后利用等差(比)数列的有关性质可巧妙简捷地求解，下面 通过具体的例子来说明。一、巧设公差(比)求解方程(组)例 1.解方程：+ 5 = 3式+2分析：本

10、题若两边平方直接解方程很繁，如能分析方程结构特征，变形巧设等差数列，则很简洁。-(3* + 2), - +亍一+ 5解：由已知显然，2成等差数列V? + 2T + 1 = + 2 - d TOC o 1-5 h z ,2r-2t 3x + 2,.-jx +7x + 5 =+ d 所以可设L2_21 -2+2”-2囱+ 2)d所以d =1/一-弓 HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 1Ox = -(22j6)工二-若4 = 1,代入(1)得： 5、,是增根，舍去。若3符合。所以原方程的解为:例2.解方程组:解：由（1）变形得：2（砂+1） 5后12

11、 = 0解得：历Q = 4,即中= 15 =,即彳，Ji5，y成等比数列。1 讶-30+15=0-35x =门孙y =所以可设4 代入整理得:/ = -VE ? = 1V15即 3 或 5经检验，上述四个解都是原方程组的解。二、巧用等差（比）知识解（证）不等式例3.（第19届莫斯科奥林匹克数学竞赛题）设-且用 H 1分析：如能联想到无穷递增等比数列的求和公式:证明：因为l M i所以1 l yr +于之11- x2 1-y21- 9=2 + 1口 +力+（7 +/） + 2=2 + 2v + 2 兀，,+ 二1 9例4.（第25届IMO）设x, y, z为非负实数，且J+ + Z= 1 ,求证

12、：0 xy- yz -zx-2xyz 0 所以;一箝十当且仅当k = i y = z=。时取“=”d-1 -4-所以原不等式成立。三、巧用等差（比）数列知识求最值例5,已知X*L，* WR求使成立的z的最大、小值。解：因为（5-z)(所以攵口 一 1卜一 13 4 U即：四、巧用等差（比）数列知识解有关应用问题5-才5-z.* yx = f-y -2成等差数列所以可设2x = y =所以当35-z3整理得：3z2 - 10- 13 =-箝_ 13八一行当X 7=3时，公=T代入得:例6,从n个数许a 相等。11 g 2）中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能w

13、34.-1 口 一 &it v1 + u +1 +-ah 1 = a - 1 2时，1一鼻不妨设剩下的数中最大的数飞训 在第一部分中，则第一部分各数之和对任意k E N成立。之理l + 】 + M +&明T 第二部分之和，得证。例7,桌面上有p（p 1005个杯子，杯子口全部向上，按如下规则对杯子进行操作：第一次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，第n次任意翻动其中的n （n2）把上面n个式子用叠加法相加得 an =3 + +2）（n -1）2症状三递推关系题入手难【表现】对形如“已知 a1，且an = pan1+ q ,求通项an =?”的数列问题不知该如何求解【症结】 对高考

14、试题中的一些典型数列问题（如差等比数列）缺乏系统的求解方法【突破之道】 差等比数列是高考数列问题的典型。一阶差等比数列问题解题的关键是找到一个适当常数c, an -c为等比数列，如何找到常数c呢？若常数an满足a = a , an = pan +q，其中a, p,q为常数，且p # 0,1 （因为p = 0,1的情形很简单，可直接求通项，此处从略）。存在常数c,使an -c为等比数列，其中的参数 c由特征方程c= pc + q给出，从而，可将新问题转化 为一个比较简单的问题。例3已知数列an满足& =5, an噌 = -2an +6 ,求数列an的通项an.解析 若能注意到a十一2 = 2an

15、+4 = 2（an 2）,于是可视数列an2是以首项a1一2=3,公比为q = 2的等比数列，于是利用等比数列的通项公式得 an2=3 （2）n/（nw N 即an = 2+ 3,（_2）n（nw N j.症状四缺乏Sn与an的辩证思考【表现】对以Sn= f （an）或an = g（Sn）型给出的递推关系试题不知如何下手，如：设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。（1）写出数列an的前3项；（2）求数列an的通项公式（写出推理过程）；（3）令 bn =1（an+-a-）（n N j ,求 lim（ b1 +b2 +IH +b

16、n -n）2 anan 1i参考答案：略【症结】对适用于任意数列的重要关系式未掌握和灵活运用之。【突破之道】 对于任意数列an有Si =a1，Sn Snv =an（n至2）（适用于任意数列的重要关系式），这表明Sn =a1 +a2 +a3十|+an(nw N。构成了一个新的数列Sn,它的通项Sn表示相应数列an的前n项和，它的第一项 S表示数列an的第一项a1,当n之2时，数列Sn相邻项的差Sn -SnJL = an,这就是数列an与其和数列Sn之间的辩证关系。 另外，某些特殊数列可以通过适当的变化(如裂项相消)以后求和。例4已知各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足G 1,且6&=(an+

17、L)(an+2), nw N+, (L)求an的通项公式；(2)设数列bn满足an(2bnL)=L,并记 Tn 为bn的前 n 项和，求证：3Tn+1log2(an +3), nw n+.2_解析(1)令 n =L ,得 n =L6aL =aL +3aL +2解彳导a = 2 (注意条件a1三 1 ,舍去a =1)；若n至2,则由 6Sn = (an + 1)(an + 2)得 6Sn=(an+ 1)缸+ 2),n 2 两式相减得 6an =(an+1)(an+2) (an+1)(an,+2), nA 2,整理即得(an +an)(an an,)=3(an +an),由题意有 an 0( n

18、w N +),an -anA=3 ( n 2)于是数列an是以2为首项，3为公差的等差数列，则 an=3n1, (nW n *)(2)略。对于一力数列&,若已知条件为 S = f (an),求通项a的方法，除了用“尝试一一猜想一一探求一一发现”(最后用数学归纳法严格证明)思维模式外，还有其他的处理方法，由Sn = f(an)首先推出三a1 = f (a1),解除三优的大小，接着常有两个思考方向：当n之2时，Sn = f (Sn Sn)，问题转化为S与Sn(n 2)的关系问题(前面已求出),求出Sn后，可用a = G，an =Sn Sn(n之2)求出数列an的通项；利用递推关系作差技巧，由Sn

19、= f(an)得Sn= f(an)(n之2),而an三Sn Sn(n之2 ),两式相减即得an = f (an) f(an)，于是我们就把问题转化为 an与an之间的问题了(一般情况下，转化到这一步问题就比较容易解 决了)。数列综合应用问题专题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，1.解答数列综合题和应用性

20、问题既要有坚实的基础知识，又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题一.典型例题解析：t 2t2,例1.已知一次函数y=f(x)在x=处取得取小值 (t 0),f(1)=0.(1)求尸f(x)的表达式；24(2)若任意实数x都满足等式f(x) g(x)+anx+bn=xn+1 g(x)为多项式，n N*),试用t表示an和bn；(3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y- bn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,);豚是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆

21、的面积之和，求rn、Sn.t 2 c t2(1)设 f(x)=a(x)2,由 f(1)=0 得 a=1. ：f(x)=x2(t+2)x+t+1.(2)将 f(x)=(x1) ：x-(t+1)代入已知得：(x - 1) x(t+1) g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的x R都成立,取x=1和x=t+1分别代入上式得:3n +bn =1(t +1)an +bn =(t+1严1且 W0,解得 an=l ：(t+1)n+1-1,tbn=U口 (t+1)(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,又由(2)知an+bn=1,故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆g

22、+1相切，故有rn+rn+1= 22 |an+1 - an I = J2 (t + 1)n+1设rn的公比为q,则% +拓=也4+1严Jn+ +nfq =，2(t +1严;Sn=无(r1 +r2 + - 2 , 2n2、- r1 (q -1)+rn )=2q -12 二(t1)4=_ 3t(t 2)(t+1)2n 1+得叫代入得出号例2从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元, 1以后每年投入将比上年减少1 ,本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入51每年会比上年增加 一.(1

23、)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万兀，旅游业息收入为 bn万兀，与出an,bn的表达式；4(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800X(11)万元，第5巧.n年投入为800X (1 1厂1万元，所以，n年内的总投入5为 an=800+800 X (1 1)+ +800 X (1 51 n-1 /-)=Z 800X(1

24、-5 k 11 尸=4000 X51-(-)】5第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 11 400X(1 + -),，第n年旅游业收入400X(1 + -)n 1万兀.所以，n年内的旅400X(-)k 1.=1600X (5)nT】44 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 44游业总收入为 bn=400+400 X (1+ 1 )+ +400 X (1+ 1 )k 1 = 44 k W(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超

25、过总投入，由此bn-an0,即：1600X ：(5)n-1 - 4000X 1-(-)n 0,令 x=(9)n,代入上式得：5x2 7x+20.解止匕不等式，得 x1(舍去).即 4555(4)n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 55二.专题训练填空题.在直角坐标系中，O是坐标原点，Pl(X1,yi)、P2(X2,y2)是第一象限的两个点，若 1,X1,X2,4依次成等差数列，而 1,yi,V2, 8依次成等比数列，则a OP1P2的面积是.解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2xi=X

26、2+1,xi+X2=5解彳t xi=2,X2=3.又由1,y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解彳t y=2,y2=4, Pi(2,2),P2(3,4).OP1 =(2,2)，函=(3,4) .丽丽=6 +8 =14，函=2/2 OP2 |=5,cosP1OP2 三orop2147,2|OPi |OP2 | 5 2、2 - 10 -2sinP1OP2 = 10答案：11 2、2 5 2=1210S.OP1P21 =1|OR 110P2|sinROP2 =.从盛满a升酒精的容器里倒出 b升，然后再用水加满，再倒出 b升，再用水加满；这样倒了 n次，则容器中有纯酒精 升.解

27、析：第一次容器中有纯酒精a b即a(1 b)升，第二次有纯酒精a(1-b)- TOC o 1-5 h z a(1 -一)ba-b ,即a(1- -b)2升，故第n次有纯酒精a(1aab )n升.答案：a(1- b )naa.据2000年3月5日九届人大五次会议 政府工作报告：“2001年国内生产总值达到 95933亿元，比上年增长7.3% 如果“十五”期间(2001年2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为亿元.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，：a5=95933(1+7.3%)4 120000(亿元).答案：120000三、解答题.据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4X 108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？解：设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前