数学建模讲座-数学建模漫谈课件

1、数学建模漫谈 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具 。著名数学家华罗庚教授语数学课程标准指出：“数学教学应该从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并理解运用。”课标回顾背景及意义（一）从数学自身发展看数学建模的重要性 “数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”现实世界是数学的丰富源泉，也是数学应用的归宿。任何数学概念

2、都可以在现实中找到它的原型，同样要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲，数学建模和数学一样，有着古老的历史。正如新课标中描述的“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”。（二）从数学课程改革发展看数学建模教学 随着我国基础教育课程改革的深入，数学建模活动已扩展到义务教育阶段，数学建模已成为小学数学学习的目标。数学课程标准（2011年版）在课程设计思路中提出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”国内外的专家、学者也都认

3、为应该让中、小学生对数学和数学的作用作全面了解，让更多的学生了解和运用数学的思想和方法解决实际问题，“还数学的本来面貌”，使“数学能力成为人们取胜的法宝”。（三）从学生学习和发展角度看数学建模活动 学生不仅要学习数学知识，更要学习数学思想和方法。而数学建模是一种基本的数学思想，是解决数学问题的有效形式。学生亲自经历模型建立的“再创造”过程，有利于学生的多种感官参与，获得丰富的感性认识，形成清晰表象，符合小学生的直观思维特征；能够引发学生对数学学习的兴趣，克服对数学的畏惧心理，提高数学学习的效率，并有助于培养学生初步学会运用数学的思维方式去观察和分析现实社会，解答日常生活中的问题，进而形成勇于探

4、索、勇于创新的科学精神。概念界定 1.数学模型（Mathematic Model）：为了一定的目的对现实原型作抽象、简化后，采用形式化的数学符号和语言所表述出来的数学结构。它是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。2.数学建模（Mathematical Modelling）：把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。3.小学数学建模:主要是指小学数学学习中，用“模型思想”来指导着数学教学，不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型并进

5、行解释和运用，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习能力。数学建模过程生活离不开数学1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造2、蜂巢消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格 3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形 问题/应用来自数学的贡献核磁共振成像技术(MRI)计算机辅助成像(CAT)积分几何空中交通管制控制论期权定价Black-Scholes期权模型和Monte Carlo模拟全局勘察、信号处理、图象处理、数据采掘应急用储备物资的管理运筹学、最优化理论复杂网络的稳定性逻辑、计算机科学、组合学机密和完整性数论、密码学/组合学大气和海洋的建模小波、统计学、数值分

6、析敏捷制造、自动制造、可视化、机器人过程质量控制中的几何学、控制论设计和训练模拟、建模、离散数学人类基因组分析数据采掘、模式识别、算法合理的药物设计数据采掘、组合学、统计学Seiberg- Witten方程(弦论)几何学宇宙数据的解释数据采掘、建模、奇点理论复合材料的设计系统控制论、计算、偏微分方程地震的分析和预测过程控制中的统计学、动力系统/湍流建模社会离不开数学马克思教导我们：一门学科只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步！ 来自31个省区市以及香港的1023所高校12846个队的38000多名大学生参赛。竞赛共评出甲组一等奖200个，二等奖716个，乙组一等奖53个，二等奖172个。

7、2009年的竞赛情况 共有33个省(市、自治区，包括香港特区和澳门特区)的1137所院校、15042个参赛队，共4万5千余名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的一年。共评出高教社杯获得者2队(本科组、专科组各1队)，Matlab创新奖获得者2队(本科组、专科组各1队)，本科一等奖216队，本科二等奖820队，专科一等奖59队，专科二等奖174队。2010年的竞赛情况 本次竞赛共有来自全国33个省（市、自治区，包括香港和澳门）以及新加坡和澳大利亚的1197所高校17317个队的五万多名大学生参加。首次有国外的大学生参赛，为竞赛走向国际化迈出了第一步。通过专家评阅，共评选出1372

8、队获全国奖，其中本科组一等奖210队，二等奖907队，专科组一等奖51队，二等奖204队，一、二等奖分别占参赛总数的1.5%和6.5%。 数学建模的历史渊源（一）万物皆数毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?497 BC?)古希腊数学家、哲学家、天文学家、音乐家、教育家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。毕达哥拉斯定理勾股定理数论 毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。 在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量

9、和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。完全数所有真因子之和等于其本身的自然数。最小的完全数是6（6=1+2+3），下一个是28（28=1+2+4+7+14），496，8128，33550336，8589869056，亲和数一个数是另一个数的真因数之和的一对数。如（220，284）：1+2+4+5+10

10、+11+20+22+44+55+110=2841+2+4+71+142=220；(1184，1210)(1866,Paganini);(17296，18416)(1636,Fermat);(9363584，9437056);音乐那些质量等于某一把锤子重的 的锤子都能产生和谐的声响；他曾证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的第五度音和第八度音时，这三条弦的长度之比为6:4:3。 （二）实数连续统概念（三）费马大定理 一个困惑了世间智者358年的谜一条实直线的数学模型怀尔斯(Andrew Wiles,1953年4月11日-)是当代著名的英国数学家。 1996年：当选为美国国家科学院外籍院士并获该科学

11、院数学奖； 获欧洲的奥斯特洛夫斯基奖和瑞典科学院舍克奖 获法国的费马奖； 获沃尔夫奖。1997年：获美国数学会科尔奖； 获得1908年沃尔夫斯科尔（Wolfskehl）为解决费马猜想 而设置的 10万马克奖金。1998年：获国际数学家大会颁发的特别贡献奖。 证明费马定理的历程：1977年，与科茨(Coates)共同证明了椭圆曲线中最重要的猜想伯奇斯温耐顿代尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想的特殊情形(即对于具有复数乘法的椭圆曲线)；1984年和马祖尔(Mazur)一起证明了岩泽理论中的主猜想；1994年，在此前工作的基础上，通过证明半稳定的椭圆曲线的谷山志村韦伊猜想，从而完全

12、证明了费马最后定理。艾萨克牛顿(Isaac Newton 1642.12.25-1727.3.20)英国物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家 苹果为什么要掉在地上？?（四）万有引力定律以及微积分的产生从实际问题到数学模型 几个历史性问题 利益博弈 几项智力游戏 例1 孙子算经中记载了这样的一个问题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”1几个历史性问题如果考虑“独脚鸡”和“双脚兔”的话，脚就由94只变成了47只。 1.1 丢番图问题 每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。 “独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔

13、子的只数 鸡的数量就是（只）。 （只）； 例2 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何。解 设大马，小马，马仔分别为匹，应有分别消去 和 可得这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。可见，问题共有七组解。都是3的倍数，故可能取值如下。2581114172030252015105068707274767880返回 例3 华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出 “五猴分桃”的问题。 五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一；第二只猴子来了，误以为自己最先到达，它发现桃子的总

14、数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一，最后，第五只猴子发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这堆桃子至少要有多少个。设这堆桃子共有 个，第五只猴子离开之后剩下 个桃子。第一只猴子连吃带拿，共得到 个桃子；剩下（个）。 第二只猴子共得到 个桃子；剩下的个数第五只猴子离开之后，剩下桃子数目应该是于是，有，故必有是的倍数且是的倍数。 最小的可能是41020，最小的可能是43121。 在地图上，任何两个相邻的国家应该着上不同的颜。人们发现，每幅地图上不管有多少个国家，只用四种颜色就可以。 1.2 四色问题 1970年至1976年

15、，美国伊利诺大学哈肯和阿佩尔合作，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。 这个问题最早是由毕业于伦敦大学的弗南西斯格思里大约于1852年提出来的。1872年，伦敦数学学会上提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。 1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的海伍德证明了一个较弱的命题五色定理。 四色问题的研究，是小问题引出大模型的实例。计算机参与证明的合法地位也由此得到了认可。 1.3 哥尼斯堡七桥 1726年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普

16、鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。 布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。 有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？店主桥铁匠桥木桥绿桥“馋嘴”吉布莱茨桥高桥蜜桥内福夫岛普雷盖尔河新河道旧河道 哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒

17、现仍属俄罗斯。 CDBA 作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点 欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。 现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？ 类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。 图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。 战国时期，我国出现一位杰出的军事家孙膑。2 利益博奕 起初，孙膑在魏国作官，由于同僚庞涓忌贤妒

18、能百般迫害，孙膑几乎丧命于魏国。后来被齐过使臣秘密救出送到了齐国引见给齐国的大将军田忌。 齐王酷爱赛马，田忌多次与国王赌输赢，屡赌屡输。一次赛马时，孙膑随田忌来到赛马场。孙膑了解到，大家的马按奔跑的速度分为上中下三等，等次不同装饰不同，各家的马依等次比赛，比赛为三赛二胜制。 比赛前田忌按照孙膑的主意，第一场，用上等马鞍将下等马装饰起来，冒充上等马， 与齐王的上等马比赛。第二场，田忌用自己的上等马与国王的中等马比赛，赢了第二场。 关键的第三场，田忌的中等马和国王的下等马比赛，田忌的马略胜了一筹。结果二比一，田忌赢了国王。 后来，齐威王任命孙膑为齐国军师，取得了无数以少胜多、以弱制强的辉煌战例。

19、2.1 田忌赛马即便是在运筹学理论非常完善了的今天，田忌赛马的故事仍不失为经典范例。 假定某海滩沿海岸线均匀分布着很多日光浴者。有两个出售同种饮料的商贩来海滩设摊位，试问如何设位？ 显然，在01 不难预见，绿色摊位也愿意左移。处各设一个摊位最合理。和但是，红色的摊位如果向右移一点的话，情况如何？ 如果它们都在 附近的位置的话，哪个摊位还会有偏移的打算呢？2.2 纳什均衡一. 海滩占位 不投案投案不投案100100400投案400200200 有互不熟悉的两人在公共场所斗殴，将接受处罚。 若两人均投案，则因在公共场所斗殴各被罚款200元；若两人均不投案，则只能按普通滋事各罚款100元；要是只有一

20、人投案而另一人拒不承认，仍可确定为斗殴，投案者免予处罚，不投案者被认定为是主要肇事方被罚款400元。 我们站在甲的角度来看问题，他并不知道乙是否会投案。假若乙不投案，甲也不投案将罚款100元，但若甲选择投案就会免予处罚；假若乙已经投案的话，甲不投案将被罚款400元，投案则只罚款200元。 甲乙2.3. 囚徒困惑 可见，不论乙是否会与警察配合，从甲的实际利益出发，他总会投案的。 出于同样的原因，乙也会选择投案。 结果，甲乙二人均被罚款200元，虽然他们都知道还有各罚100元的处罚方案，但那样的结果不太可能出现。 即便是重新征求各自的意见，甲和乙都没有改变态度的愿望。这一结果的出现，被称为纳什均衡

21、。 约翰F.Nash(纳什)是著名的美国数学家，1928年生，1950年获普林斯顿大学博士学位1994年获诺贝尔经济学奖。纳什均衡是他最具代表性的学术成果。 3 海盗分金 假定这五个海盗都是高智商且极其贪财的。试问海盗1会制定出怎样的分赃方案，以使自己免于葬身鱼腹。 5名海盗抢到了100块金币（大小完全相同），他们准备采用以下的方法分赃。 抽签为每人确定1、2、3、4、5这五个不同的序号，先由抽到1的人提出自己的分赃方案，如果他的方案被超过一半人赞同，那么就按照他的意见分赃；但是如果他的意见没有得到过半数人赞同的话，他将被扔进大海去喂鲨鱼。 当海盗1被投入大海之后，由序号是2的人重新制定分赃方

22、案。如果海盗2的方案在现有海盗中超过半数同意便执行，否则也将海盗2投入大海。依次类推。 如果船上只剩下了海盗4和海盗5两个人的话，根据规则4号海盗只能提出0:100 的分赃方案，5号独得全部，就不必反对了。四号才可以活命。 要想弄清楚海盗1应该制定怎样的分赃方案，还是从假若只剩下两个人时的情况说起。 海盗3 能够预见到自己被投海后将发生的事情，他应该懂得：自己制定的分赃方案只要能给海盗4一块钱，海盗4就会满足的。于是，3号提出的方案一定是99:1:0 。让5号白白去投反对票好了。 海盗2要想避免被扔下海，它必须争取两张赞同票。但是，即便分给海盗3全部100块中的98块金币，贪婪的海盗3也不会赞

23、成，可以争取的两张赞同票只能是海盗4和海盗5了。 其实，只要共拿出3块金币分给海盗4和海盗5，就可以用最小的成本获得平安。于是，海盗2的方案就选择了97:0:2:1。 海盗1不能指望任何方案能使海盗2满意，它可以制定出94 : 0 : 1 : 3 : 2的分赃方案。那样，它可以获得三张赞成票。现在回到问题的开始。 然而，视钱如命的海盗1不会浪费哪怕是一枚金币，他实际拿出来的分赃方案将是 97 : 0 : 1 : 0 : 2。 海盗2号和海盗4当然会反对了，但是海盗3和海盗5都不反对，因为这已经是他们最好的收益了。4 棋盘麦粒 梵塔 九连环 国王打算奖赏国际象棋的发明人西塔，问他想要什么。 印度

24、有一个古老的传说：舍罕王厌倦了皇宫单调的生活，一些大臣千方百计地寻找种种新奇的玩艺儿帮他解闷。 西塔献上一种新发明的玩具。他用木头雕刻出王、后、车、马、相、兵共三十二个棋子，一半被染成黑色。画出的64个小方格，在不相邻的一半方格内图上黑色。 梵塔说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，直至摆完64个格子。 国王觉得微不足道，告诉侍者计算一下粒数，下午就请西塔拿着口袋来装麦子 。 可是，下午西塔并没有领奖赏他的麦子，因为宫廷总管还没有算出来。直到三天后，总管告诉国王说：“西塔要的麦子太多，把全国所有的麦子都给

25、他也不够！” 西塔要求得到的麦粒到底有多少呢? 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子! 在印度北部的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，于其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。 不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。 把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，这一共需要移动多少次金片呢？ 移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需移动金片共有2的63次方次之多。假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢? 一年大约有31

26、556926秒，计算表明，移完这些金片需要五千八百多亿年! 不管把哪一片金箔移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片的次数增加一倍。 借助于计算机计算出了结果，全部次数为 18446744073709551615次。这和麦粒问题的计算结果是完全相同的!5 猴子过河 有三只母猴各带一只小猴子，准备利用一条小船渡河。试设计渡河方案。注意：（1）每只猴子都会划船，但船上每次只能承载两只猴子（不论大猴还是小猴）；（2）每只小猴子在接触到其它母猴的时候必须有自己的母亲在场，否则将被伤害。 将三个大猴分别记为A，B，C， 对应的三个小猴子分别记为a，b，c。ABCabc 首先过河的可以是Aa（Bb、C

27、c同理）或ab（bc、ac同理），但最先渡河的不能是AB（BC、AC同理）。 总之，当船第一次回到北岸时，留在南岸的是a。 第二次过河的只有一种可能，就是bc，其它方案都不可行。再由c将船送回北岸。第三次过河的只能是AB，其它方案都不可行。 ABCcab现在的问题是，由谁将船送回北岸？ 北岸南岸只能由Aa（或Bb）送船 ！1.4.6 猜帽子 某老师有三个非常聪明的学生，为考察其中那个学生最聪明，老师展示了三黑二白一共有五顶帽子。要求学生闭上眼睛后，给每位学生戴上一顶帽子。然后，让他们同时睁开眼睛，通过观察别人来断定自己头上帽子的颜色。 结果，三个学生互相看了看，都稍稍犹豫一下，同时说自己戴的是

28、黑色帽子。试说明理由。答案：事先，三个学生就都可以想到，老师不可能用上两个白帽子。否则，第三个学生可以毫不犹豫地断定自己头上戴的是黑帽子，这显然不公平。 为此，只要看到一个同学戴的是白帽子的话，就可以说自己头上的帽子是黑色了。这一点，相信其他学生也清楚。 但是，在睁开眼睛的一瞬间，每一位同学都注意到，另两个同学没有马上做出回答，这说明什么？充分证明了自己戴的必然不是白色帽子（其实已经断定所有人带的都是黑色帽子）！什么是数学模型一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型的

29、分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生 态系统模型 、交通流模型、经 济模型、 基因模型等 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。

30、4.模型求解。 5.模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。 数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解初等代数中的数学模型“航行问题” 一些简单实例航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（

31、x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑 表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h78.5米。 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再积分一次，得： 若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑不妨设平均反应时