近似离散化课件

1、北科大 信息工程学院 自动化12022/7/25 8.1 采样控制 8.2 采样过程和采样定理 8.3 信号恢复 8.4 Z变换理论及线性差分方程求解 8.5 脉冲传递函数 8.6 采样系统的稳定性分析 8.7 采样系统的稳态误差 8.8 采样系统的暂态特性分析 8.9 离散系统的状态空间描述北科大 信息工程学院 自动化22022/7/25自动控制系统按信号形式划分可分为以下三种类型：连续控制系统，见图（a）采样控制系统，见图（b）数字控制系统，见图（c）图（a）北科大 信息工程学院 自动化32022/7/25图（c）图（b）北科大 信息工程学院 自动化42022/7/25采样系统的特点在连续

2、系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；通常采样周期远小于被控对象的时间常；采样开关合上的时间远小于断开的时间； 采样周期通常是相同的。北科大 信息工程学院 自动化52022/7/258.1 采样控制一个典型的采样控制系统如图：e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列 ，脉冲控制器对 进行某种运算，产生控制信号脉冲序列 ，保持器将采样信号 变成模拟信号 u ，作用于被控对象 。图8-1 采样控制系统北科大 信息工程学院 自动化62022/7/25模拟信号在时间上连续，且在幅值上连续（导数连续）的信号。采样信号又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进行采样得到的在时间

3、上离散的一系列脉冲。采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中，各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样信号。采样系统的个性采样过程和采样信号保持采样系统和连续系统的共性（1）闭环控制；（2）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能；（3）需进行校正。北科大 信息工程学院 自动化72022/7/258.2 采样过程和采样定理一、采样过程二、采样过程的数学表达式北科大 信息工程学院 自动化82022/7/25一、采样过程 按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程的装置。 采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合

4、时间为 ，由于在实际中总有 ，且 远小于 中的时间常数，可近似认为 。北科大 信息工程学院 自动化92022/7/25采样过程可用图表示采样信号 是 和 的乘积，其中载波信号 决定采样时刻，它是周期为T的单位脉冲序列，采样信号在nT(n=0,1,2)时刻的值由 决定。载波器脉冲调制器 载波信号图8-2 采样过程示意图北科大 信息工程学院 自动化102022/7/25 经采样得到的离散信号 有可能无失真地恢复到原来的连续信号的条件是单位脉冲序列采样信号为采样信号的拉氏变换二、采样过程的数学表达式三、采样定理其中采样定理给出了选择采样周期T的依据。北科大 信息工程学院 自动化112022/7/25

5、设e(t)=1(t)，试求e*(t)的拉氏变换。解：由例8-1得北科大 信息工程学院 自动化122022/7/25因为 是周期函数，因此，可将其展开成傅里叶级数。式中 称为系统的采样频率。 北科大 信息工程学院 自动化132022/7/25将上述式子代入式 有: 对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，我们得到 E*(s): 上式在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。一般连续信号e（t）的频谱是单一的连续频谱，如图8-3所示。北科大 信息工程学院 自动化142022/7/25 图8-3(a)连续信号e（t）的频谱图8-3(b)离散信号 的频谱 北科大 信息工程学院 自动化152022/7

6、/25 为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即香农（Shannon）采样定理北科大 信息工程学院 自动化162022/7/25C. Shannon(1916-2001)，毕业于麻省理工学院数学系，贝尔实验室研究员及麻省理工学院电机系教授。早市曾跟随 V. Bush 参与模拟计算机的研究并提出续电器路逻辑自动化理(1938)。二战期间在参加Bode 领导的火炮控制系统研究过程中发表了著名通信的数字理论，从而奠定了信息的基础(1948)，被誉为信息论之父。1956年回到MIT任职电子工程系教授。北科大 信息工程学院 自动化172022/7/25理想滤波器的滤波特性为

7、 ：10其频率特性如图2-4 图2-4 理想滤波器的频率特性北科大 信息工程学院 自动化182022/7/25从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为: 由于 ，所以采样周期可按下式选取： 采样周期T可通过单位接跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列经验公式选取：或者北科大 信息工程学院 自动化192022/7/258.3 采样信号保持器一、零阶保持器二、一阶保持器北科大 信息工程学院 自动化202022/7/25一、零阶保持器图8-5 零阶保持器作用示意采样开关 保持器 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，是一种最常用的保持器。它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一

8、采样时刻:1）零阶保持器北科大 信息工程学院 自动化212022/7/252）零阶保持器的传递函数根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，宽度为T，高为1，它可表示成以下二个单位阶跃信号的迭加。单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。图2-6 零阶保持信号分解北科大 信息工程学院 自动化222022/7/253）零阶保持器的频谱分析零阶保持器的传递函数为： 零阶保持器的频率特性为 ：北科大 信息工程学院 自动化232022/7/25其幅频特性和相频特性如图2-7所示 图8-7 零阶保持器的频率特性北科大 信息工程学院 自动化242022/7/2

9、5 一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式如图2-8所示。 图8-8 应用一阶保持器恢复信号二、一阶保持器1）一阶保持器北科大 信息工程学院 自动化252022/7/25一阶保持器的脉冲响应函数应该如图8-9所示。 单位阶跃 单位斜坡 2单位阶跃 2单位阶跃单位阶跃单位斜坡 图8-9 一阶保持器的脉冲响应函数2）一阶保持器的传递函数北科大 信息工程学院 自动化262022/7/25根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得其传递函数： 3）一阶保持器的频谱分析实线是一阶保持器幅频特性；虚线为零阶保持器频率特性 。 图8-10 保持器的频率特性北科大 信息工程学院 自动化2720

10、22/7/258.4 z变换理论及线性差分方程求解一、定义二、 z变换的性质三、z变换方法四、z反变换方法五、线性差分方程及其求解北科大 信息工程学院 自动化282022/7/25其中 是连续函数 的采样信号，一、定义 采样函数 对应的Z 变换是唯一的。Z 变换只适用于离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。 Z反变换表示为: 用查表方法可得到函数 的Z变换。北科大 信息工程学院 自动化292022/7/251）线性定理 式中a1,a2,为常数。2) 实平移定理二、 z变换的性质当k0时，有 成立，则有：北科大 信息工程学院 自动化302022/7/254)复平移定理5)复域微分定理

11、6)初值定理设函数 的Z变换为 ，而且 在Z平面上以原点为圆心在单位圆上或圆外没有极点，则3）终值定理北科大 信息工程学院 自动化312022/7/25例8-3三、z变换方法1、级数求和法的z变换。解：北科大 信息工程学院 自动化322022/7/25例8-4的z变换。解：北科大 信息工程学院 自动化332022/7/252、部分分式法 部分分式就是要利用最常见的几种函数的z变换形式，将一般的X(s)分解成这些典型环节，进而求X(z)。常用函数z变换表：北科大 信息工程学院 自动化342022/7/25常用函数z变换表：北科大 信息工程学院 自动化352022/7/25例8-5解：例8-6解：

12、北科大 信息工程学院 自动化362022/7/25幂级数法(长除法)实际的物理系统满足 nm,则用综合除法有： 由Z变换的定义式可知: 即为X(z)的原函数。通常Z变换表达式有如下形式：四、z反变换方法北科大 信息工程学院 自动化372022/7/25已知 ，求x（k）。例8-710z解： 北科大 信息工程学院 自动化382022/7/25（3）部分分式法 部分分式法又称查表法。它的基本思想是将 展开成部分分式 ：然后，查Z变换表，即可求取X（Z）的原函数x(kT)。北科大 信息工程学院 自动化392022/7/25已知 求 X(kT)解 ： 例8-8查Z变换表有： x(kT)=1e-akT北

13、科大 信息工程学院 自动化402022/7/25线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述：y(k) + a1y(k-1) + + any(k-n) = b0r(k) + b1r(k-1) + + r(k-m) 也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统。y(k+n) + a1y(k+n-1) + + an-1y(k+1) + any(k)= b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + + bm-1r(k+1) + bmr(k) 五、线性差分方程及其求解北科大 信息工程学院 自动化412022/7/25 若已知差分方程，并且给定输出序列初值，可利用差分方程的递推关系，(在计算机上)一步一步

14、计算出输出序列。求解差分方程常用的有迭代法和Z变换法。1）迭代法 若已知线性定常离散控制系统的差分方程，对差分方程两边取Z变换，再根据初始条件及给定输入控制信号的Z变换表达式，可求系统输出的Z变换表达式，再求Z反变换，即可求得Y(K)。2）Z变换法北科大 信息工程学院 自动化422022/7/25 已知离散系统的差分方程为Y(0) = -1, 求差分方程的解。解：对差分方程取Z变换，得例8-9又 查Z变换表，有北科大 信息工程学院 自动化432022/7/25用变换解差分方程，已知 例8-10其中 解：北科大 信息工程学院 自动化442022/7/258.5 脉冲传递函数一、基本概念二、采样系

15、统的开环脉冲传递函数三、闭环脉冲传递函数北科大 信息工程学院 自动化452022/7/25一、基本概念定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号Z变换之比，称为系统的脉冲传递函数。G(s) r*( t ) r ( t ) c*( t ) c (t ) 图8-10 开环离散控制系统北科大 信息工程学院 自动化462022/7/25采样脉冲函数的物理意义 采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应 经采样后的采样信号 的Z变换。北科大 信息工程学院 自动化472022/7/25 假定动态环节的单位脉冲过渡函数为h(t)。该环节的输入为r*(t)利用线性环节满足叠加原

16、理，无穷多个脉冲作用在线性环节G(s)上，其输出C(t)为将输出信号离散化，得到北科大 信息工程学院 自动化482022/7/25上式两边用乘以 ，并求和，得到：考虑到前面的给定，当t 0 时 ，故有同理有：北科大 信息工程学院 自动化492022/7/25所以采样周期与所用时间变量文字描述无关，则上式可改写为：即式中 若令式中 , 则可知 又因北科大 信息工程学院 自动化502022/7/25 已知开环离散控制系统如图r*( t ) r ( t ) C*( t )C ( t )求脉冲传递函数。 解 ：由式 可知：例8-11北科大 信息工程学院 自动化512022/7/25二、采样系统的开环脉

17、冲传递函数1、两个串联环节之间有采样开关隔开 将采样开关分隔的二个线性环节串联，脉冲传递函数是两个串联环节脉冲传递函数之积。结论可推广到n个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。北科大 信息工程学院 自动化522022/7/252、两个串联环节之间无采样开关隔开 无采样开关隔开的两个线性环节串联，脉冲传递函数是两个环节经采样后的单位脉冲响应 和 的乘积的Z变换。结论可推广到n个环节直接串联的情况。北科大 信息工程学院 自动化532022/7/25由解：例8-121）北科大 信息工程学院 自动化542022/7/252）解：北科大 信息工程学院 自动化552022/7/253.带零阶保

18、持器的开环系统的脉冲传递函数G1(s) r*(t) r ( t ) y*(t)y(t) 由脉冲传递函数的定义有：即北科大 信息工程学院 自动化562022/7/25三、闭环脉冲传递函数1、有一个采样开关的采样系统2、有数字校正装置的采样系统北科大 信息工程学院 自动化572022/7/253. 有干扰作用的脉冲传递函数 -假定d(t)=0,得到如下的结构图G1(s)G2(s)H(s)r(t) e(t) e*(t) d(t) b(t) c*(t)c(t)+G1(s)G2(s)H(s)r(t) e*(t) c*(t)c(t)北科大 信息工程学院 自动化582022/7/25根据脉冲传递函数的定义可

19、知整理可得到：于是得到： 北科大 信息工程学院 自动化592022/7/25输出的Z变换响应为：于是得到闭环系统的脉冲传递函数GB(z)为: 定义误差脉冲传递函数Ge(z)为北科大 信息工程学院 自动化602022/7/25 已知采样系统结构如下图所示，求系统的输出脉冲响应y(z)。b*(t)G(s)H(s) r(t) c*(t)c(t) 例8-13解：由脉冲传递函数定义及串连环节的连接方式，可列写出如下式子 所以， 将B(z)代入Y(z)中，有北科大 信息工程学院 自动化612022/7/25结论：有时闭环脉冲传递函数是写不出来的，当对输入信号 或偏差处没有采样时；开关个数不同时得到的 不同

20、，位置不同得到的 也不同；推导过程中不能在任意地方取采样的拉氏变换，必须在真正有采样的地方才能做采样信号的拉氏变换。输入和输出地方，加的是虚拟采样，不是真的采样，只有对于单独的输入输出信号（不与其它信号有相乘或叠加关系），虚拟采样才有作用。北科大 信息工程学院 自动化622022/7/258.6 采样系统的稳定性分析一、S域到Z域的映射二、线性采样系统Z平面稳定的充要条件三、 Z 域到W域的映射四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性北科大 信息工程学院 自动化632022/7/25一、S域到Z域的映射在Z平面上，上式表示单位圆可见S平面上的虚轴，映射到Z平面，是以原点为圆心的单位圆，且左半S平面对

21、应单位圆内的区域。当=0，即s平面的虚轴,对应Z平面的单位圆。 当0，即s左半平面对应Z平面的单位圆内。根据Z变换定义，有 ，假定在s平面上任有一点 ，则通过Z变换，映射到Z平面为北科大 信息工程学院 自动化642022/7/25二、线性采样系统Z平面稳定的充要条件设采样系统的闭环脉冲传递函数为系统特征方程为线性采样系统Z平面稳定的充要条件是，闭环系统的全部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足北科大 信息工程学院 自动化652022/7/25已知离散控制系统结构如下图所示，采样周期T=1秒，分析系统的稳定性。 解：闭环特征方程 1+G(z)=0 z2+4.952z+0.368=0 z1=-0.

22、076 z2=-4.876例8-14 系统闭环特征方程的根有一个在单位圆外，该系统不稳定。 r (t) c* (t) c (t) T 北科大 信息工程学院 自动化662022/7/25在离散系统中，引进双线性映射。 令 或 其中z和w可写为 于是有 三、 Z 域到W域的映射北科大 信息工程学院 自动化672022/7/25 当x2 +y2=1即对应Z平面上的单位圆; u=0 即W平面上的虚轴; 当x2 +y21 即Z平面上单位圆内的部分，也即稳定域; u1 即Z平面上单位圆内外的部分，也即不稳定域； u0 即右半W平面对应不稳定域。北科大 信息工程学院 自动化682022/7/25图8-24

23、Z平面到W平面映射 线性离散控制系统稳定的充分必要条件是：线性离散闭环控制系统特征方程的根的模小于1；或者其W变换的特征根全部位于W平面的左半平面。北科大 信息工程学院 自动化692022/7/25四、用劳斯判据判定采样系统的稳定性 如图7-24所示，在W平面中，离散系统的稳定范围已经变为W平面的左半平面，因此可以应用劳斯判据判断稳定性。求使系统稳定的K值范围。例8-15北科大 信息工程学院 自动化702022/7/25解：1、求系统的开环脉冲传递函数查表得：2、特征方程为：3、对特征方程进行双线性变换，代入T=0.25s北科大 信息工程学院 自动化712022/7/25整理得：4、应用劳斯判

24、据，劳斯表为：根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有2.736-0.1580，得使系统稳定的K值范围是0K0。对于二阶线性采样系统，当K大于某一值，系统将不稳定，可见，加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频率，稳定性将得到改善。北科大 信息工程学院 自动化722022/7/258.7 采样系统的稳态误差一、采样系统的类型二、应用终值定理求给定稳态误差终值三、用静态误差系数求给定稳态误差终值北科大 信息工程学院 自动化732022/7/25一、采样系统的类型 设采样系统的开环脉冲函数为G(z)，当G(z)具有0个，1个，2个z1的极点时，系统分别为0型，I型，II型系统。二、应用终值定理

25、求给定稳态误差终值 设采样系统是单位负反馈系统，则给定误差脉冲传递函数为：北科大 信息工程学院 自动化742022/7/25根据终值定理，给定稳态误差终值为：系统的稳态误差取决于G(z)和输入信号R(z)。三、用静态误差系数求给定稳态误差终值1、静态位置误差系数2、静态速度误差系数北科大 信息工程学院 自动化752022/7/253、静态加速度误差系数单位阶跃输入时，采样系统的稳态误差终值为单位斜坡输入时，采样系统的稳态误差终值为T为采样周期单位加速度输入时，采样系统的稳态误差终值为北科大 信息工程学院 自动化762022/7/25采样系统如图，零阶保持器的传递函数为 ，被控对象的传递函数 ，

26、采样周期T=0.25s，确定系统的类型，并求出斜坡输入作用下的稳态误差。例8-16北科大 信息工程学院 自动化772022/7/25查表得与上式对应的Z变换。系统的开环脉冲传递函数解：1、求系统的开环脉冲传递函数根据系统的开环脉冲传递函数，系统有一个Z=1的极点，所以为I型系统。北科大 信息工程学院 自动化782022/7/252、求出斜坡输入作用下的稳态误差由终值定理可得到：北科大 信息工程学院 自动化792022/7/258.8 采样系统的暂态特性分析1.时域的瞬态响应分析方法2.闭环极点对系统瞬态响应的影响 3.Z平面的根轨迹法 北科大 信息工程学院 自动化802022/7/251.时域

27、的瞬态响应分析方法 通常离散控制系统的闭环脉冲传递函数可表示为如下形式 (为简单起见，假设没有重根)：当系统输入为单位阶跃时，其系统输出Y(z)为：北科大 信息工程学院 自动化812022/7/25展开成部分分式，有式中于是可以通过Z反变换得到y(k)，即得到时域解，并以此进行采样系统的时域分析北科大 信息工程学院 自动化822022/7/252.闭环极点对系统瞬态响应的影响 北科大 信息工程学院 自动化832022/7/25振荡周期为： 即经过次采样后输出振荡一个周期，或者说是输出在一个振荡周期内采样了次。 图8-25 闭环实极点分布与瞬态响应复平面上的极点全为共轭： 北科大 信息工程学院

28、自动化842022/7/25北科大 信息工程学院 自动化852022/7/25例8-18采样系统如图，零阶保持器的传递函数为 ，被控对象的传递函数 ，采样周期T=0.25s，确定系统的时域性能指标。北科大 信息工程学院 自动化862022/7/25解：1、求系统的开环脉冲传递函数2、求采样系统的闭环输出响应北科大 信息工程学院 自动化872022/7/25超调量：72.9%上升时间：1.5T 峰值时间：2T调节时间：28Tty(kT)13、长除法或反变换发求时域输出响应y(kT) 北科大 信息工程学院 自动化882022/7/253.Z平面的根轨迹法 设采样系统的闭环脉冲传递函数为则系统特征方

29、程为注意到平面也是一个复平面，则有平面的幅值条件如下：平面的相角条件：平面的幅值条件和相角条件与前面介绍的平面根轨迹毫无两样，因此在规则和画法上是完全一致的。北科大 信息工程学院 自动化892022/7/25 已知采样系统的开环脉冲传递函数为 试绘制该采样系统的根轨迹图。 解：极点Z=0，Z=-1， 分离点：d=-0.5 渐近线：=900 =-0.5 根轨迹图如右图示。例8-19K=0.25K=0K=0KK-1jZ北科大 信息工程学院 自动化902022/7/25连续系统离散化的三个条件采样方式为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间T采样周期T满足香农采样定理保持器为零阶保持器连续系统保持器计

30、算机采样器D/AA/Du(t)u(k)y(t)y(k)8.9 离散系统的状态空间描述8.9.1 连续系统的离散化北科大 信息工程学院 自动化912022/7/25近似离散化 当T很小时，有 整理可得：北科大 信息工程学院 自动化922022/7/25由状态方程的解可知：令 并注意到此时 比较此式与离散化后的离散状态方程不难得到：(令： 当 时，t=T 当 时，t=0) 离散化方法-定常系统北科大 信息工程学院 自动化932022/7/25试将下列状态方程离散化解：(1)用状态方程的解离散化例8-20北科大 信息工程学院 自动化942022/7/25(2)近似离散：T的大小对近似算法精度的影响见P75中的表2-1北科大 信息工程学院 自动化952022/7/25离散时间系统状态方程的两种解法：递推法迭代法Z变换法只能用于求解定常系统一、递推法(迭代法) 线性离散时间系统的状态空间表达式为：8.9.2离散状态方程的解 北科大 信息工程学院 自动化962022/7/25这个一阶差分方程组的解为：证：用迭代法解矩阵差分方程：北科大 信息工程学院 自动化972022/7/25 k=0 ： k=1 ： k=2 ： k=k-1 ： 这就是前面的通式北科大 信息工程学院 自动化982022/7/25整理成矩阵表达式：容易记忆 北科大 信息工程学院 自动化992022/7/25二、Z变换法 北