初三圆的经典例题知识分享

1、初三圆的经典例题有关圆的经典例题1.在半径为1的OO中，弦AB、AC的长分别为V3和22,求/BAC的度数。AB与AC有不同的位分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意置关系。解：由题意画图，分AB、AC在圆心。的同侧、异侧两种情况讨论,当AB、AC在圆心。的异侧时，如下图所示，A过。作ODXAB于D,过。作OELAC于E. AB E, AC 收,a AD. OA 1,cos/OADADOA旦,AE匹22,3T，cos / OAEAEOA/ OAD=30,/OAE=45,故/BAC=75当AB、AC在圆心 O同侧时,O同理可知/OAD=30,ZOAE=45./BAC=15点拨：

2、本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2.如图：ABC的顶点A、B在O。上，O。的半径为R,。与AC交于D,如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点,(1)求证：ABC是直角三角形;(2)求幽：的值BC分析：(1)由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结OD交AB于F,则AF=FB,ODXAB,可证DF是ABC的中位线；(2)延长DO交。于E,连接AE,由于/DAE=90,DELAB,.ADFs/XDAE,可得AD2DF-DE,而DF1BC,DE2R,故AD-可求2BC解：(1)证明，作直径DE交AB于F,交圆于E.D为AB的中点，ABIDE,AFFB又AD=DC-.DF/BC,D

3、F-BCABBC,.ABC是直角三角形。(2)解：连ZAEDE是。O的直径/DAE=90而AB，DE,.ADFsedaADDEDF2，即AD2DEDFADV DE2R, DF_ 2：ADBC - R,1 BC2AD2故RBC例3.如图,在。中,AB=2CD ,那么(AB 2CDAB 2 CDC. AB2CDD. AB与2CD的大小关系不确定分析：要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：(1)把AB的一半作出来，然后比较1AB与CD的大小。2(2)把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。解：解法(一)，如图，过圆心O作半径OFLAB,垂足为E,则AFFB1AB21AEE

4、B-AB2一一1.AB2CD,AECDAB2AFFB,AFFB在AFB中，有AF+FBABCD, 2 AF 2 CDAB2AFAB,.AF，.AF2AB2CD，选Ao解法（二），如图，作弦DE=CD,连结CE则DECD-CE2在CDE中，有CD+DECE2CDCEAB=2CD,ABCEABCE,AB2CD选Ao-1BC AD 1,4例4.如图，四边形ABCD内接于半径为2的。O,已知AB求CD的长。分析：连结BD,由AB=BC,可得DB平分/ADC,延长AB、DC交于E,易得EBCstEDA,又可判定AD是。O的直径，得/ABD=90,可证得ABDEBD,得DE=AD,利用EBCAEDA,可先

5、求出CE的长。解：延长AB、DC交于E点，连结BD1ABBC-AD14ABBC,AD4,./ADB/EDBOO的半径为2,AD是。O的直径./ABD=/EBD=90,X1.BD=BD收集于网络，如有侵权请联系管理员删除.ABDEBD,AB=BE=1,AD=DE=4四边形ABCD内接于。O,/EBC=/EDA,/ECB=/EAD . EBCs/X EDA,BCADCEAEBC-AEBC(ABBE)CE TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document ADAD一一17.CDDECE4 HYPERLINK l bookmark54 o C

6、urrent Document 22例5.如图，AB、AC分别是。O的直径和弦,D为劣弧 AC上一点，DE，AB于H,交。O于点E,交AC于点F,P为ED的延长线上一点。(1)当PCF满足什么条件时，PC与。相切，为什么?(2)当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2DEDF,为什么？分析：由题意容易想到作辅助线OC,(1)要使PC与。相切，只要使/PCO=90,问题转化为使/OCA+/PCF=/FAH+ZAFH就可以了。(2)要使AD2DEDF,即使-AD-DF,也就是使DAFADEADEAD解：(1)当PC=PF,(或/PCF=/PFC)时，PC与。相切，下面对满足条件PC=PF进行证明

7、，连结OC,则/OCA=/FAH,PC=PF,.PCF=/PFC=/AFH,.,DE，AB于H,./OCA+/PCF=/FAH+/AFH=90即OCPC,PC与。相切。(2)当点D是劣弧AC的中点时，AD2DEDF,理由如下：连结AE,vADCD,DAFZDEA又:/ADF/EDA,人人ADDF.DAFszDEA,DEAD即AD2=DEDF点拨：本题是一道条件探索问题，第(1)问是要探求PCF满足什么条件时，PC与。O相切，可以反过来，把PC与。相切作为条件，探索PCF的形状，显然有多个答案；第(2)问也可将AD2=DEDF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。一1例6.如图，四边形

8、ABCD是矩形（AB-BC）,以BC为直径作半圆O,过点D作半圆的切线交AB于E,切点为F,若AE:BE=2:1,求tan/ADE的值。AE分析：要求tan/ADE,在RtAAED中，若能求出AE、AD,根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD,而EF=EB,FD=CD,结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE:AD。解：二.四边形ABCD为矩形，BCXAB,BCDCAB、DC切。O于点B和点C,.DE切。于F,DF=DC,EF=EB,即DE=DC+EB,又.AE:EB=2:1,设BE=x,贝UAE=2x,DC=AB=3x,DE=DC+EB=4x,在RtAAED中，AE=2

9、x,DE=4x,AD23xAE2x3贝Man/ADE一一AD23x3点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例7.已知。Oi与。2相交于A、B两点，且点 O2在OOi,（2）如下图，如果 AD是。O2的一条弦，连结 DB并延长交。Oi于C,那么CO2所在直线是否与 AD垂直？证明你的结论。分析：（1）要证CO21AD,只需证/CO2D=90,即需证/D+/C=90,考虑到AD是。2的直径，连结公共弦AB,则/A=/C,/DBA=90,问题就可以得证。(2)问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC,直观上看，AC等于CD,到底AC与CD是否相等呢？考

10、虑到O2在。1上，连结AO2、DO2、BO2,可得/1=Z2,且有AO2CADO2C,故CA=CD,可得结论CO2ADo解：(1)证明，连结AB,AD为直径，则/ABD=90.D+/BAD=90又./BAD=/C,./D+/C=90./CO2D=90,.CO21AD(2)CO2所在直线与AD垂直，证明：连结O2A、O2B、O2D、AC在AO2C与DO2c中.O2AO2B,AO2BO2,./1Z2/O2BD=/O2AC,又/O2BD=/O2DB,/O2AC=/O2DB,.O2C=O2C,AO2CADO2C,CA=CD,.CAD为等腰三角形，CO2为顶角平分线，CO21AD0例8.如下图，已知正三

11、角形以a为半径的圆相切于点2积S。（图中阴影部分）ABC的边长为a,分别为 A、B、C为圆心,Ol、O2、O3,求 O1O2、。2。3、O3O1围成的图形面3个扇形面积。分析：阴影部分面积等于三角形面积减去足33解：Saabca4. QJ12o2 HYPERLINK l bookmark145 o Current Document S 阴a-42，3s扇 3X 6 . HYPERLINK l bookmark150 o Current Document a22.32- aa 2(2)且它们的半径都A+/B+/C=180 ,此题可变式为如下图所示，OA、OB、OC两两不相交,为a,求图中三个扇形

12、2分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为/因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为原题可在上一题基础上进一步变形：OAi、OA2、。A3。An相外离，它们的半径都是1,顺次连结n个圆心得到的n边形AiA2A3-An,求n个扇形的面积之和。解题思路同上。的（n2）解：2一、填空题（10X4=40分）.已知：一个圆的弦切角是50。，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为O.圆内接四边形ABCD中，如果/A:/B:/C=2:3:4,那么/D=度。.若。的半径为3,圆外一点P到圆心。的距离为6,则点P到。的切线长为O.如图所示CD是。O的直径，AB是弦，CDAB于M

13、,则可得出AM=MB,ACBC等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：。5.OOi与。2的半径分别是3和4,圆心距为4J3,那么这两圆的公切线的条数是6.圆柱的高是13cm,底面圆的直径是6cm,则它的侧面展开图的面积是半径是O7.已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的1的度数为.11.已知eO的半径是3,圆心O到直线l的距高第I9,题U直线l与eO的位置关系12.分点,13.如图,阴影部分的面积为.如图，延长线于点.如图，直线上，在如图,已知点BOCE是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等46,贝URtAABC中ABC绕AC所在的直线的

14、侧面积AED的度数为ACB90,AC4,BC3f旋转一周得到一个旋转体，该旋转.（取3.14,结果保留两个有效数字）14.如图8,两个同心圆的半径分别为f.A：第14题AB是eO的直径，AM为弦，喻AB30,过N.若ON12cm，则eO的半径为cmRtAABC是由RtAABC绕B点顺时针旋转而得,00OAOB1200,则BA120ON图8OM点的eO的切线交AB且点A,B,C在同一条RtAABC中，若/C90,BC2,AB4,则斜边AB旋转到AB所扫过的扇形面积为.如图，从圆O外一点P引圆。的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,若PA8cm,C是Ab上的一个动点(点C与A,B两点不重合)，过

15、点C作圆。的切线，分别交PA,PB于点D,E,则APED的周长是.18、在平面内，O。的半径为5cm,点P到圆心。的距离为3cm,则点P与。的位置关系是.如图8,在RtAABC中，C90,AC3.将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA,BC为半径的圆形成一圆环.则该圆环的面积为.如图9,点A,B是eO上两点，AB10,点P是eO上的动点(P与A,B不重合)连结AP,PB,过点O分别作OEAP于点E,OFPB于点F,则EF.三、解答题：.已知：如图所示，OO1和。O2相交于A、B两点，过B点作。O1的切线交。O2于D,连结DA并延长与。O1相交于C点，连结BC。过A点作AE/BC与。O2相交于E

16、点，与BD相交于F点。(1)求证：EFBC=DEAC;(2)若AD=3,AC=1,AF33,求EF的长。.某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。(只画示意图，不写作法)。.已知：ABC是。的内接三角形，BT为。的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F。(1)如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PAPB=PEPF;（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论

17、还成立吗？如果成立,明；如果不成立，请说明理由；请证(3)4.如图,若AB4板,cos/EBA1,求OO的半径。3ABC是eO的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A,合），设OAB,C.（1）当35时，求的度数；（2）猜想间的关系,并给予证明.5、（8分）已知:如图，在ABC,AB=AC以与边AB相交于点D,切线DaAC垂足为点E.求证：（1）ABB等边三角形；（2）AEBC为直径的半圆6、已知：如图,径的圆与AC,（1）判断直线在RtABC中，C90,点AB分别交于点D,E,且CBDBD与eO的位置关系，并证明你的结论;(2)若AD:AO8:5,BC2,求BD的长.OA长为半O在AB

18、上，以O为圆心,A.7、如图,（I）求在梯形ABCDfr,AB/CD。0为内切圆,AOD的度数；（n）若AO8cm,DOE为切点，6cm,求OE的长.8、已知RtABO43,ACB90,CACB,有一个圆心角为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CECF分别与直线AB交于点（I）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，求证：（n）当扇形CE蹴点C旋转至图的位置时，关系式CMN2AM2BN2是否仍然成立？若成立，请证明；立，请说明理由.45,半径的长等于MN.22_2MN2AM2BN2；ME若不成NB攵集干网络,1加有侵权请联系管理员删除NBMF图F图.如图，ABC内接于eO,过点A的直线交eO于点P,交BC的延长线于点D,AB2APgAD.(1)求证：ABAC;(2)如果ABC60,eO的半径为1,且P为Ac的中点，求AD的长.(本题?茜分10分)已知：如图，在半径为4的。O中，ABCD是两条直径，M为OB的中点，CM勺延长线交。O于点E,且EMMC连结DEDE=V15.(1)求证：AMMBEMMC;(2)求EM勺长；(3)求sin/EOB%t.(本题满分10分，第(1)