【学习课件】第9讲(必修1)函数模型及其应用

1、 第9讲函数模型及其应用 (必修1) 第三章 函数的应用 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06(0.50m+1)给出，其中m0,m是大于或等于m的最小整数(如4=4,2.7=3,3.8=4).若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电话费为( )CA.3.71元 B.3.97元C.4.24元 D.4.77元 由题设知,f(5.5)=1.06(0.505.5+1)=1,06(0.56+1)=4.24.故选C.2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下

2、一组数据： 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01BA.y=2x-2 B.y= (x2-1)C.y=log2x D.y=( )x将各组数据代入验证，选B.3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）AA.10元 B.20元C.30元 D. 元两种话费相差为y，根据几何关系可得y=y, =12,y=10，所以y=10.4.某汽车运输公司，

3、购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x (xN*)的关系为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为（ ） CA.2 B.4 C.5 D.6 平均利润 = 12-10=2,当且仅当x= ,即x=5时,等号成立,故选C. 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种

4、函数模型：一次函数模型:f(x)= +b(k、b为常数,k0);反比例函数模型：f(x)= +b(k、b为常数,k0);二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常数，k0,a0且a1);对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数,m0,a0且a1);幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a0,n0);“勾”函数模型：f(x)=x+ (k为常数,k0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它

5、称之为“勾”函数模型,分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.题型一 函数模型的选择例1 扇形的周长为c(c0)，当圆心角为多少弧度时，扇形面积最大？当r= 时， Smax= ,此时|= = = =2.所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 . (方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r0,所以0r .面积S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0r ),当且仅当= ，即=2时，等号成立.所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .(方法二)因为c=l+2r=r+2r,所以r= .所以S= r2=( )2= = = . (1)虽然问“为

6、多少时”，但若以为自变量，运算较大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半径为自变量，是一个简单的二次函数模型.同样，若以弧长l为自变量，也是一个二次函数模型.所以在构造函数过程中，要合理选择自变量.(2)一般的，当线绕点旋转时，常以旋转角为变量.(3)合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题.当图易于作出时，常用图象解决；当易分离参数且所得函数的最值易于求解时，可用分离参数法.题型二 已知函数模型求参数值例2 如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对数的底数）.假

7、设在经过5分钟时，木桶1和木桶2的水恰 好相等,求： (1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.(2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m， 解得2e-5m=1 m= ln2.所以y1=ae . 当y1= 时,有 =ae t=15(分钟). 所以经过15分钟木桶1的水是 .（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系；（2）经过多少分钟，木桶1中的水是 升? 已知函数模型求参数值，关键是根据题设条件建立方程求解.题型三 给出函数模型的应用题例3 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件

8、)与价格（元）均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件）,价格近似满足f(t)=20- |t-10|（元）. (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. (1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20- |t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0t10) (40-t)(50-t)(10t20).(2)当0t10时,y的取值范围是1200,1225.在t=5时,y取得最大值为1225；当10t20时,y的取值范围是600,1200,在t=20时，y取得最小值为600.答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元,第20天,y取得最小值600元. 阅读题目、理解题意是解决应用题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的理解.选择数学模型和方法解决实际应用问题是核心步骤，因此解应用题时要根据题目中的数量关系，选择适当的数学模型和方法加以解决.1.理解题意，找出数量关系是解应用题的前提，因此解题时应认真阅读题目，深刻理解题意.2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关系，选择适当的方法加以解决.3.函数的应用问题