一道习题的演变

1、精彩的生成 能力的绽放 一节习题课的教学片段习题课不仅可以让学生巩固前面所学的知识，提高学生的运算能力和应用知识解决问题的能力，更重要的是我们可以在习题课上以题目为载体，培养学生的逻辑思维能力和创造性的思维能力请看下面一个教学片段：师：下面请大家来完成一组题目(教师用幻灯片出示第一题)(1)如图，C是线段AB上一点，M、N分别是AC、BC的中点，AC10，BC4，求MN生1： 由中点的性质可得MCAC=5，NC=BC=2，MN=MC+NC=7(教师板书过程)师：如果此题中AC、BC没有具体的长度,只知道AB14,其他条件不变,还能求出MN吗?生2：能 师：请你先说说变换条件后的题目 生2： 如

2、图，点C是线段AB上一点，M、N分别是AC、BC的中点，AB14，求MN(教师用幻灯片出示变式1) 师：在此题中还有MC5，NC =2吗？生3：不一定有师：回答得非常好!那如何求MN呢?生3： 由中点的性质可得MCAC，NC=BC，所以MN=MC+NC=AC+ BC=（AC+BC）=AB =7师：很好!请一位同学到黑板上写一下过程,其余的人在自己的本子上写(教师对小部分学生进行个别指导)师：通过这两题的练习大家有什么发现?（学生思考）生4：第一题由AC10，BC4，可得AB14，与第二题中的AB一样长第一题是第二题的特殊情况生5：只要AB14，C是线段AB上任意一点，M、N分别是AC、BC的中

3、点，都能求出MN =7生6：如果没有线段AB的长，只要有C是线段AB上任意一点，M、N分别是AC、BC的中点，总有MN=AB师：同学们回答得都非常好! 生6都说出了老师要出的题目（教师用幻灯片出示变式2：如图，点C是线段AB上一点，M、N分别是AC、BC的中点，MN与AB之间有什么大小关系？）（由学生说一下理由）师：如果将第一题中的点C的位置改成在线段AB的延长线上，其余的条件不变，MN的长度是多少呢？（教师用幻灯片出示题目） （2）如图，点C是线段AB延长线上一点，M、N分别是AC、BC的中点，AC10，BC4，求MN（学生思考后）生7：MN=MB+BN=MB+ BC，但MB没办法求生8：我

4、把AC画成10，BC画成4，然后量出MN为3，但我不会说理由师：你非常聪明,度量法是我们学习几何常用的一种方法与第一题相比，由于图形比较复杂难度增加了我给大家几点提示：1、两题相比，它们有许多相同的条件，能不能在第一题的基础上得到启发？2、我们也可以将复杂的图形进行分解3、 MN可以表示成两条线段的和，还可以怎样表示呢？ (学生思考讨论后到前面边讲解边写过程)生9：图中的MNMCNC，再由M、N分别是AC、BC的中点，从而求出MC=AC=5, NC=BC=2 ，进一步得出 MN3 生7：老师我用刚才的方法也求到了 MN=MB+BN=MB+ BC= MC-BC+BC =AC-BC=3师：很好!

5、生8有一股持之以恒的精神值得大家学习解决这个问题还有其他的方法，但生10的方法要简单一些,大家在解题的过程中尽可能选择比较简洁的方法师：通过这一题的练习,大家在解题思路和解题方法上有什么收获？（学生畅所欲言）生10：遇到复杂的图形就进行分解，按照开始的思路不能继续时，换个角度继续思考生11：遇到的新问题如果感觉困难，可以和已经会做的一些简单的题目做对比，看看有没有相同的条件，能不能用类似的方法解决师：同学们说的非常好！我们现在能不能将第二题也像第一题一样进行变化并给予理由说明呢？（由学生到黑板上写出变化后的题目并给出解题过程）变式1：点C在线段AB的延长线上，M、N分别是AC、BC的中点，AB

6、6，求MN变式2：点C在线段AB的延长线上，M、N分别是AC、BC的中点，MN与AB之间有什么大小关系 师：同学们完成的不错通过这些练习，我们已经有了一些收获，还能得到其他的结论吗？生12：老师，我发现点C在线段AB上与C在线段AB延长线上时都有MN=AB 点C在线段AB上时点C也在线段MN上，MN=MC+NC；C在线段AB延长线上时C也在线段MN的延长线上，MNMCNC生13： 老师，我发现点C在线段AB的反向延长线上时也有MN=AB这样我就得到了点C只要在线段AB所在的直线上，M、N分别是AC、BC的中点，总有MN=AB师: 生13总结得很到位大家掌声鼓励！ 生14：可以先有MN的长度，然

7、后求AB生15：:老师，由这些题目我还想到了点C在 直线AB外，有没有MN=AB呢？我经过度量好像也有MN=AB，对吗？师：你提的问题非常好！ MN=AB，至于成立的理由我们在八年级会继续学习 同学们为生14的钻研精神鼓掌生16：我由线段的中点想到了线段的三等分点，点C只要在线段AB所在的直线上，M、N分别是AC、BC的三等分点，是否有MN=AB呢？师： 生16由线段的中点想到了线段的三等分点给大家提出了一个非常好的问题，请大家先思考然后一起来解决这个问题生17：我觉得线段的中点只有一个，但线段的三等分点有两个，结合第一题的图形，好像不一定成立师：同学们再看一下有没有可能成立，如果成立的话需要

8、什么条件？生18：只要 MC=AC, NC=BC，就有MN=AB师：如果MC=AC, NC=BC，那MN与 AB之间应是什么关系？生19： MN=AB 师：由 生16所引出的问题大家应该得到了启发，四等分点、五等分点的情况生20： 点C在线段AB所在的直线上，M、N分别是AC、BC的一个n等分点，只要 MC=AC, NC=BC，就有MN=AB师：同学们都很棒，老师真为你们高兴！同样点C在线段AB所在的直线外，只要 MC=AC, NC=BC，就有MN=AB这个内容大家将在九年级学习生21：老师，我想到了 角的平分线和线段的中点有许多类似的性质，借助于刚才的研究方法，我们也可以解决和角的平分线有关的一类题目 OABCMN 如图，1）OC是AOB