平面向量应用举例15684学习教案

1、平面向量平面向量(xingling)应用举例应用举例15684第一页，共15页。度、夹角都可以由向量的线性度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。何中的一些问题。第1页/共15页第二页，共15页。ABCD猜想猜想(cixing)：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？第2页/共15页第三页，共15页。例例1、证明、证明(zhngmng)平行四边形四边平方和等于两对角线平方和平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：2

2、22222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,222222BDACDACDBCAB第3页/共15页第四页，共15页。你能总结一下利用向量法解决平面几何你能总结一下利用向量法解决平面几何(pngminjh)问题的基本思路吗？问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元

3、素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角系，如距离、夹角(ji jio)等问题；等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何用向量方法解决平面几何(pngminjh)问题的问题的“三步三步曲曲”：简述：形到向量简述：形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形第4页/共15页第五页，共15页。例例2 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别分别与与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？A

4、BCDEFRT猜想猜想(cixing)：AR=RT=TC第5页/共15页第六页，共15页。,A Ba A Db A Rr A Cab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nR又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12()ERmEBm ab 因为因为 所以所以A RA EE R 1122()rbm ab ABCDEFRT第6页/共15页第七页，共15页。,a b由由于于向向量量不不共共0102nmmn 线线，故故AT=RT=TCABCDEFRT第7页/共15页第八页，共15页。练习练习(linx)、证明直径所对的圆、证明直径所对的圆周角是直角周角是直角A

5、BCO如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。CBAC 0 CBAC解：解：设 则 ，由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC, babaCBAC 2222baba 022 rr即即 ，ACB=900 CBAC思考思考(sko)：能否用向量：能否用向量坐标形式证明？坐标形式证明？第8页/共15页第九页，共15页。（1）建立）建立(jinl)平面几何与向量的联系，用平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问向量表示问题中涉及的几何元素，

6、将平面几何问题转化为向量问题；题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。小结小结(xioji)：用向量方法用向量方法(fngf)解决平面几何问题的解决平面几何问题的“三步三步曲曲”：作业：作业：课本课本P125 1,2第9页/共15页第十页，共15页。情境情境(qngjng)1:一个人静止地双手垂挂在单杠一个人静止地双手垂挂在单杠上时上时,手臂的拉力与手臂握杠的姿势有什手臂的拉力与手臂握杠的姿势有什么关系么关系?情境情境2：两人一起

7、提一个：两人一起提一个(y )重物时重物时,怎怎样提它最省力样提它最省力?实例一：提重物问题（力的合成与分解）实例一：提重物问题（力的合成与分解） 第10页/共15页第十一页，共15页。用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为用两根等长的细绳挂一个物体。绳子的最大拉力为T,物物体重量为体重量为G,分析分析(fnx)绳子受到的拉力大小绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的与两绳子间的夹角夹角的关系？的关系？问题(wnt):F1F2第11页/共15页第十二页，共15页。建立建立(jinl)数学模型数学模型:（1） 逐渐增大时，逐渐增大时， |F1|如何如何(rh)变化？变化？（2） 为何为何(wi

8、h)值时，值时， |F1|最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？（3） |F1|能等于能等于|G|吗？为什么？吗？为什么？（4）如果绳子的最大承受力恰与重物）如果绳子的最大承受力恰与重物G的的重量相等重量相等 ，在什么范围内，绳子才不会断？在什么范围内，绳子才不会断？CBOAD探求探求|F1|与夹角与夹角之间的关系之间的关系（5）如果绳子的最大承受力为）如果绳子的最大承受力为200N，G=200 N ， 在什么范围内，绳子才不会断？在什么范围内，绳子才不会断？ 3第12页/共15页第十三页，共15页。情景1：两人一起提一个重物时,怎样(znyng)提它最省力?夹角夹角(ji jio)越小越省力越小越省力两臂的夹角越小两臂的夹角越小,手臂手臂(shu b)就越省力就越省力回归问题回归问题:情景2:一个人在单杠上做引体向上时, 手臂怎样握杠才省力?第13页/共15页第十四页，共15页。实例实例(shl)(shl)二：轮船过河问题（速度的合成与分解）。二：