弯曲变形例题

1、1例例1 1 求如图示等截面直梁的挠曲线方程、用积分法求最大挠度及求如图示等截面直梁的挠曲线方程、用积分法求最大挠度及最大转角。最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程系统总的弯矩的求解)()(xLPxM写出写出微分方程并积分微分方程并积分)()(xLPxMfEI 解：解：x12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIfPLfRABAM以以x x为自变量的积分为自变量的积分以以(L-x)(L-x)为自变量的积分为自变量的积分转角的定义为在某一点转角的定义为在某一点出的倾斜度；转角的真出的倾斜度；转角的真正含义。正含义。)()(xLPxMfEI 1221CPLxPx

2、fEI2123261CxCxPLxEIf2应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数322161 ; 21PLCPLC061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI以以x x为自变量的积分为自变量的积分以以(L-x)(L-x)为自变量的积分为自变量的积分0 ; 021CC0)0(2CEIf0)0()0(1CfEIEI其结果为积分常数的不同其结果为积分常数的不同1221CPLxPxfEI2123261CxCxPLxEIf3写出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxf以以x x为自变量的积分为自变量的积分以以(L-x)(L

3、-x)为自变量的积分为自变量的积分弹性曲线的求解2336)(LxxEIPxfxfPLMRA4EIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角 B的符号为负，表示截面的转角是顺时针方向的；的符号为负，表示截面的转角是顺时针方向的； 而挠度而挠度fB是负的，表示是负的，表示B点的挠度是向下。点的挠度是向下。xfPLMRAEIPLLLEIPLf336)(333EIPLLLf2)()(25解：解：建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程系统杆的弯矩求解。段)( )(ABPaPxxM写出写出微分方程的积分并积分微分方程的积分并积分的倾斜转角的意义，即直线处

4、1221CPaxPxfEI挠度的利用21232161CxCPaxPxEIf PaPxfEI xfPLaMRAACB例例2 2：用积分法求图示悬臂梁的挠曲线方程，自由端的挠度：用积分法求图示悬臂梁的挠曲线方程，自由端的挠度和转角。设和转角。设EIEI为常量，为常量，BC BC 段内无载荷。段内无载荷。6用边界条件用边界条件求积分常数求积分常数0)0(2CEIf在支架处的转角的利用0)0(1CEIxPLafMRAACB写出写出ABAB段的挠曲线方程和转角方程段的挠曲线方程和转角方程并画出曲线图并画出曲线图)3(6)(23axxEIPxfPaxPxEIf221xPLafACBf1f27最大挠度最大挠

5、度(x=L)及最大转角及最大转角(*BC为直线，故为直线，故B=C)EIPaCB22特殊结构转角的求解)3(6)(221aLEIPaaLffffBBCPLafACBf1f2因为因为B很小，故很小，故f2= B(L-a)8外力都作用在纵向对称面内的弯曲叫平面弯曲外力都作用在纵向对称面内的弯曲叫平面弯曲受外力作用的梁其横截面上受外力作用的梁其横截面上-弯曲内力弯曲内力(剪力，弯矩剪力，弯矩)横截面上剪力和弯矩的求法横截面上剪力和弯矩的求法均布载荷，均布载荷，剪力，弯矩剪力，弯矩三者之间的关系三者之间的关系梁的纯弯曲和横力弯曲；弯曲正应力的求法和分布梁的纯弯曲和横力弯曲；弯曲正应力的求法和分布中性轴

6、的曲率半径的计算中性轴的曲率半径的计算zEIM1梁横截面上任意一点正应力的计算梁横截面上任意一点正应力的计算zIMy某一横截面上最大正应力的计算某一横截面上最大正应力的计算zWMmax梁的最大正应力的计算梁的最大正应力的计算zWMmaxmax横力弯曲时，矩形，圆形，工字钢等截面上剪应力的横力弯曲时，矩形，圆形，工字钢等截面上剪应力的分布和计算。一般情况下，由正应力强度条件得出结分布和计算。一般情况下，由正应力强度条件得出结构尺寸，由剪应力强度条件对构件进行校核构尺寸，由剪应力强度条件对构件进行校核9 度量梁变形的两个基本位移量度量梁变形的两个基本位移量:挠度挠度 转角转角 挠曲线及其近似微分方

7、程求法挠曲线及其近似微分方程求法 弯矩方程，转角，挠度之间的关系弯矩方程，转角，挠度之间的关系 怎样怎样用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形：注意式中的积分常数：注意式中的积分常数C，D 利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：在铰支座上，挠度在铰支座上，挠度v等于零等于零在固定端，挠度在固定端，挠度v和转角和转角均为零均为零在弯曲变形的对称点上，转角在弯曲变形的对称点上，转角等于零等于零挠曲线是一条光滑和连续的曲线挠曲线是一条光滑和连续的曲线)()(22xMdxdEIxfEI CMdxEIdxdvEIDCxdxMdxEIv10求弯曲变形的二个方法求弯曲变形的二个方法： 1.用直接

8、积分法求梁的弯曲变形用直接积分法求梁的弯曲变形（积分常数，分段）（积分常数，分段） EIxMdxdiiii)(22 CdxEIxMdxdviiiii)(DCxdxdxEIxMviiiii)(挠曲线方程：挠曲线方程：挠曲线方程一次积分：挠曲线方程一次积分：挠曲线方程二次积分：挠曲线方程二次积分：2.用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 载荷叠加、结构固化载荷叠加、结构固化 是否需要结构固化，要视情况而定；是否需要结构固化，要视情况而定； 目的就是把复杂的简单化，并且挠度和转角可目的就是把复杂的简单化，并且挠度和转角可 以在表中直接查取。以在表中直接查取。11 叠加法可分为叠加法可分为载荷叠加载荷

9、叠加 结构形式叠加（逐段刚化法）结构形式叠加（逐段刚化法） 无论用那种方法叠加，目的就是要把原来复无论用那种方法叠加，目的就是要把原来复杂的变成简单的，并且使其挠度和转角都可以杂的变成简单的，并且使其挠度和转角都可以在表在表7.1中直接查取的载荷形式。中直接查取的载荷形式。12用叠加法求梁变形时的几个注意点用叠加法求梁变形时的几个注意点CCBBAAffBBAAfCbffBCBCBafBCBC13例例3 按叠加原理求按叠加原理求A点转角和点转角和C点挠度。点挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33 P=ABq+ABqPABCa

10、a由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表(7.1)(7.1)序号序号5 5，7 7查得：查得：14EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBBCaa叠加叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafffqCPCC62453415例例4：若图示梁：若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶矩等于，则力偶矩等于多少？多少？16解：解：maEI20mPa4BPaEI 22表表7.17.1中序号中序号2 2表表7.17.1中序号中序号1 117例例5-15-1：用叠加法求图示梁：用叠加法求图示梁B B端的挠度和转角。端的挠度和转角。18解

11、：解：EIaqEIaqfBB6)2(;8)2(3141EIqaaEIqafCBCB6832422121;BBBBBBfff表表7.1中序号中序号3表表7.1中序号中序号319解：解： 0Pqa56表表7.17.1中没有中没有vqaEIC 523844()表表7.17.1中序号中序号7 7PaaEI()2162表表7.17.1中序号中序号4 4，挠度向上为正挠度向上为正例例5-2：欲使：欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P与与q的关系。的关系。20例例6-16-1 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中点点C的挠度。的挠度。ACq0 /2(c)解

12、：图解：图(a)分解为图分解为图(b)和图和图(c)之和之和 图图(b)中点中点C的挠度为的挠度为:q0ACE(a)=C(b)q0 /2+)7.1.7(7685401表EIlqfC图图(c)中点中点C的挠度为零；的挠度为零；因为载荷关于因为载荷关于C反对称。反对称。02Cf叠加叠加:EIlqfffCCC76854021第七章第七章21C(b)q2C(a)q1q2C(c)q1-q2例例6-26-2 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中点点C的挠度。的挠度。解：图解：图(a)分解为图分解为图(b)和图和图(c)之和之和 图图(b)中点中点C的挠度为的挠度

13、为:图图(c)中点中点C的挠度为：的挠度为：叠加叠加:)7.1.7(3845421表EIlqfC)(768)(54212上題的結果EIlqqfCEIlqqEIlqqEIlqfffCCC768)(5768)(538454214214221+=第七章第七章22例例7：求图示梁：求图示梁B、D两处的挠度两处的挠度 vB、 vD 。23解：解： vqaEIqaaEIqaEIB()()2823143434 vvqaaEIqaEIDB222488334()解除解除B点约束点约束以反力以反力qa代替代替24例例8：求图示梁：求图示梁 C、D两点的挠度两点的挠度 vC、 vD。25解：解：vvqaEIqaEI

14、CD 05238452444,()26结构形式叠加（逐段刚化法结构形式叠加（逐段刚化法) ) 原理说明。原理说明。=+PL1L2 AB CB CPL2f1f2等价等价xfxf转角与挠度的关系2221;LffffCBfPL1L2AB C 刚化刚化AC段段PL1L2 AB C刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxf刚化刚化AC段后段后,BC段就成悬臂梁了。同时，段就成悬臂梁了。同时，AC段无外载荷，对段无外载荷，对BC段无影响。段无影响。刚化刚化BC段后段后,AC段就成简支梁了。段就成简支梁了。BC段上外载荷需移到段上外载荷需移到C截面上，其对截面上，其对AC段段有影响如图。外载荷的大小及方向可用有

15、影响如图。外载荷的大小及方向可用外载荷等效法判定。外载荷等效法判定。27=外伸梁刚化原理说明外伸梁刚化原理说明BC外伸梁上作用均布载荷，外伸梁上作用均布载荷， 刚化刚化AB段，段，BC为悬臂梁。为悬臂梁。这种形式可以在表这种形式可以在表7.1中查取。被刚化的中查取。被刚化的 AB段上由于无段上由于无任何载荷作用，故对任何载荷作用，故对BC段的变形无任何影响。段的变形无任何影响。刚化刚化BC段，段，BC为自由端。为自由端。?取而代之均布载荷的等效取而代之均布载荷的等效载荷为作用在载荷为作用在B截面上的弯矩和集中载荷；由表截面上的弯矩和集中载荷；由表7.1查取。查取。平面系内力的迁移。平面系内力的

16、迁移。判断钢化结果的正误判断钢化结果的正误:两者载荷之和是否为原来的载荷两者载荷之和是否为原来的载荷?28习题习题7.8c EI为常量，用为常量，用叠加法叠加法求图示求图示外伸梁外伸梁B端的端的和和。解解:1)把复合载荷分解成二个把复合载荷分解成二个简单简单载载荷的作用；如图荷的作用；如图(b)、 (c)。图图(b)固化固化DB段；图段；图(c)固化固化AD段。段。 图图(b)的载荷形式可以在表的载荷形式可以在表7.1中中直接查取，图直接查取，图 (c)载荷形式无法直载荷形式无法直接获得；故需对结构进行固化成接获得；故需对结构进行固化成图图(d)和和(e)的形式，可直接查表。的形式，可直接查表

17、。 在图在图(d)、 (e)中，中，截面截面D上作用上作用的载荷是两对的载荷是两对作用力与反作用力作用力与反作用力。其大小和方向如何求？其大小和方向如何求？(a)(b)ACqDB(c)(d)(e)+=29EIqaEIaqaBPDP416)2(32EIqafBq84均布载荷均布载荷q引起引起B截面的挠度和转角截面的挠度和转角载荷载荷P引起引起D截面的转角截面的转角弯矩引起弯矩引起D截面的转截面的转角角?EIqaBq63EIqaEIaqaDM3322322) 分别求出简单载荷作用时外伸端分别求出简单载荷作用时外伸端B的变形：的变形： (b)(d)(e)固定端虽有载荷，但对固定端虽有载荷，但对DB段

18、的转角和挠度均无影响段的转角和挠度均无影响集中载荷对集中载荷对DB段的转角和段的转角和挠度均无影响挠度均无影响表表7.1-5表表7.1-3表表7.1-430EIqaEIqaEIqaEIqaBqDMDPB463433333) 叠加叠加 EIqaEIqaaEIqaEIqafaafBqDMDPB2458344433B点的转角为：点的转角为：B点的挠度为：点的挠度为：(a)(b)(d)(e)+=+31CABl/4l/4l/4l/4DII1=2IP(a)BC CfB(b)p/2pl/8p/2fB1DB(c) 若把若把CB段作为悬臂梁，段作为悬臂梁，自由端自由端B的挠度大小等于原来梁的挠度大小等于原来梁C

19、点的点的挠度挠度图图(b)。1)由于是变截面，故要分段计算。由于是变截面，故要分段计算。 首先把首先把DB段段作为悬臂梁作为悬臂梁 图图(c)；自由端自由端B的挠度大小可由表的挠度大小可由表7.1-2求得。固求得。固定端定端D的载荷大小和方向很容易求得，且的载荷大小和方向很容易求得，且对对DB段的变形不产生任何影响。段的变形不产生任何影响。EIPlEIlPfB3843)4(2331解：由变形的对称性可看出：解：由变形的对称性可看出： 跨度跨度中点截面中点截面C的转角为零的转角为零，挠曲线在挠曲线在C点的切线是水平的。点的切线是水平的。p/2p/2习题习题7.6b 变截面梁如图所示；变截面梁如图

20、所示；试求跨度中点试求跨度中点C的挠度。的挠度。32BC CfBp/2pl/8p/2fB1DBCABl/4l/4l/4l/4DII1=2IP(a)(b)(c)2)其次，其次，D截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩如图如图(d)所示。这两个载荷将在所示。这两个载荷将在D截面上产生挠度和转角，其大小截面上产生挠度和转角，其大小可由表可由表7.1-1，7.1-2求得求得图图(d)。pl/8p/2fDDCfB2(d)可由载荷等效法求得弯可由载荷等效法求得弯矩和剪力的大小及方向矩和剪力的大小及方向EIplEIlplEIlpD643482)4(22112的受力分析。注意界面（相交面）处EIplEIlplE

21、IlpfD76852)4(83)4(23121333BC CfBp/2pl/8p/2fB1DBpl/8p/2fDDCfB2CABl/4l/4l/4l/4DII1=2IP(a)(b)(d)(c)3)如图如图(d)所示，所示，B端由于端由于 ， 而引起的挠度为：而引起的挠度为：DDfEIpllEIPlEIpllffDDB7681346437685432324)叠加叠加 和和 ，可求出作为，可求出作为自由端自由端B B处的挠度为：处的挠度为：2Bf1BfEIplEIplEIplfffBBB2563768338433321EIplffBC2563334习题习题7.15. 图中两根梁由铰链相图中两根梁由

22、铰链相互联接，互联接，EI相同，且相同，且EI=常量。常量。试求试求P力作用点力作用点D的位移。的位移。 解：解：(1)(1)对两根梁受力分析对两根梁受力分析 中间铰链不传递力偶，中间铰链不传递力偶，所以可用外力所以可用外力RE来取代铰来取代铰链约束，并求出链约束，并求出RE=P/2。35=+(2) (2) 求出梁求出梁AEAE上上E E点的位移点的位移 把把AEAE梁的结构简化成图梁的结构简化成图(c)(c)的悬臂梁及图的悬臂梁及图(d)(d)的简支梁的简支梁ARE=P/2CE(b)ACEP/2Pa/2(d)AP/2CE(c)EIPaEIaPfE63)2(33)1(EIPaaEIaPaafC

23、E6323)2(图图(c)悬臂梁：表悬臂梁：表7.1-2图图(d)简支梁：弯矩的作用简支梁：弯矩的作用使得使得CE段转动。表段转动。表7.1-4受力分析的求解利用！受力分析的求解利用！36(2)(2)分析分析EBEB梁：梁：图图(e)(e)由于由于E E点的位移而引起点的位移而引起D D的位移为的位移为: : EIPafffEEE3321BREDE(e)PfEEIPaffED62131EIPaEIaPfD648)2(332图图(e)简支梁：载荷简支梁：载荷P的作用使的作用使D点产点产生的位移为生的位移为(表表7.1-5)：D D的位移为的位移为：EIPafffDDD3321377 7-6 -6

24、 简单超静定梁简单超静定梁 超静定梁：未知力的数目超静定梁：未知力的数目多于静力平衡方程多于静力平衡方程的数目的数目 求解方法：求解方法：1.1.根据静不定次数选取静不定梁的基本结构根据静不定次数选取静不定梁的基本结构( (静定基静定基) ) 解除多余约束解除多余约束( (个数与静不定次数相同个数与静不定次数相同) )，用多余约束力代，用多余约束力代替，得到静不定梁的基本结构；替，得到静不定梁的基本结构；* *解除多余约束的方法不同，解除多余约束的方法不同，则基本结构也不同；则基本结构也不同；2.2.找变形几何关系找变形几何关系( (变形协调关系变形协调关系) ) 即多余约束处梁的变形应满足的

25、条件；即多余约束处梁的变形应满足的条件；比如支座处的位移为比如支座处的位移为零等；零等；3.3.求出多余约束处的变形，由此得到补充方程求出多余约束处的变形，由此得到补充方程4.4.联立求解补充方程和平衡方程，得出约束力联立求解补充方程和平衡方程，得出约束力 5.5.求解梁的其它问题求解梁的其它问题( (强度、刚度等强度、刚度等) )38例例1111： ：列出如图示列出如图示超静定超静定梁的求解步骤梁的求解步骤=EIq0LABxf解：解：建立静定基建立静定基 确定超静定次数，用反力确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结代替多余约束所得到的结构构静定基。静定基。图图(1)把固定端变成铰支座后

26、把固定端变成铰支座后增加约束反力增加约束反力MA;图图(2)把铰支座把铰支座B去掉后增加去掉后增加约束反力约束反力RB;Lq0MABA(1)q0LRBAB(2)39几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题求解其它问题( (反力、应力、反力、应力、 变形等变形等) )40几何方程：变形协调方程几何方程：变形协调方程解：解：建立静定基建立静定基BCBRBqBLfffB=例例1 12 2 结构如

27、图，求结构如图，求B B点反力。点反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB41=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系补充方程补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3; 834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBC公式公式(2.10)42例例13：图示杆系中，图示杆系中，AB和和CD梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI，BD杆的拉压刚度是杆的拉压刚度是EA，不计剪切变形的影响，求，不计剪切变形的影响，求BD杆的杆的内力。内力。 解：解：(1)确定静不定

28、梁的基本结构：确定静不定梁的基本结构： 取取D为多余约束，以外力代之为多余约束，以外力代之)2()1(DD(2)求变形几何关系求变形几何关系 (3)求物理关系求物理关系 EAlEIlREAlREIlRDDDD232333)1(AB杆杆 表表7.1-2BD杆杆43EIqlEIlRDD8343)2(4)补充方程补充方程 EIqlEIlREAlEIlRDDDD8323433)2()1(5)求求BD杆的内力杆的内力 DBDDDRNEAlEIlEIqlRR232834447 7-7 -7 如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力 强度：强度：正应力：正应力：剪应力：剪应力： zzbIQS* 刚度：刚度：

29、稳定性：稳定性：与内力和截面性质有关。与内力和截面性质有关。 maxzWM maxmaxff一般来说可采取以下的方法一般来说可采取以下的方法1）合理安排梁的载荷和支座，以降低）合理安排梁的载荷和支座，以降低Mmax的数值的数值2）采用合理的截面形状，以提到）采用合理的截面形状，以提到Wz的数值的数值457.7.17.7.1 合理布置外力（包括支座），使合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。PL/2L/2Mx+PL/4PL/43L/4Mx3PL/16P/2L/4L/4P/2MxPL/846Mx82qLqL402qL502qL MxP=qLL/54L/5对称MxqL2/10

30、可以求得：当可以求得：当x为为0.207L时，时，弯矩最小为弯矩最小为0.0214ql2L/5qL/5x477.7.27.7.2 合理选择截面的形状，使合理选择截面的形状，使 Wmax 尽可能大尽可能大若把梁的弯却正应力强度条件写成：若把梁的弯却正应力强度条件写成：MmaxW，则梁可以承受的最大弯矩与抗弯截面模量则梁可以承受的最大弯矩与抗弯截面模量W成正比；成正比；同时，使用材料的多少和自重又与截面面积同时，使用材料的多少和自重又与截面面积A成正比。成正比。即，合理的经济的截面形状应该是即，合理的经济的截面形状应该是W越大，越大，A越小。越小。引入引入W/A的比值来评价和衡量截面形状的合理性。

31、的比值来评价和衡量截面形状的合理性。bhzbhz(2)(1)12221bhhbbhWWzz故，竖放比平放的抗弯强度大，故，竖放比平放的抗弯强度大，(1)(1)比比(2)(2)更更合理。合理。48* *矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于北宋李诫于11001100年著年著 营造法式营造法式 一书中指出一书中指出: :矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比 ( ( h h/ /b b = ) 1.5= ) 1.5英英(T.Young)(T.Young)于于18071807年著年著 自然哲学与机械技术讲义自然哲学与机械技术讲义 一书中指出一书中指出: :矩形木梁的合理高宽比为矩形木梁

32、的合理高宽比为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhRbh49在面积相等的情况下在面积相等的情况下 一般截面形状的抗弯截面模量大小为：一般截面形状的抗弯截面模量大小为：W框框W环环W矩矩W方方W园园有了这个概念以后，我们选择截面形状有了这个概念以后，我们选择截面形状时，尽可能选中间空洞的截面，即可省时，尽可能选中间空洞的截面，即可省材料又可减轻重量；尽量避免采用实心材料又可减轻重量；尽量避免采用实心和圆形的截面。和圆形的截面。507.7.3 7.7.3 根据材料特性选择截面形状根据材料特性选择截面形状 Gz 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用

33、好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方。即：若抗拉能力弱，而变形能力弱的一方。即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面又处上侧受拉，则令中性轴靠梁的危险截面又处上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：近上端。如下图：517.7.4 7.7.4 采用等强度梁采用等强度梁 等强度梁的概念，就是在最大弯矩处的抗弯截面模量达等强度梁的概念，就是在最大弯矩处的抗弯截面模量达到最大值；而在弯矩沿轴线逐渐减少的地方，其相应的抗到最大值；而在弯矩沿轴线逐渐减少的地方，其相应的抗弯截面模量也减少；从而达到缩小截面尺寸，节约材料和弯截面模量也减少；从而达到缩小截面尺寸，节约材料

34、和减少自重的目的。减少自重的目的。 设计时，可设想截面的尺寸沿梁的轴线改变，即设计时，可设想截面的尺寸沿梁的轴线改变，即M(x)和和W(x)都表示为轴线都表示为轴线x的函数，引入变截面等强度梁的概念，的函数，引入变截面等强度梁的概念，使得各截面都能满足强度条件。一般均以正应力为校核指使得各截面都能满足强度条件。一般均以正应力为校核指标，即：标，即：)()()(maxxWxMx有时，在固定端的有时，在固定端的M(x)=0，这并不意味着该处的截面尺，这并不意味着该处的截面尺寸可以为零。故需用剪应力来确定最小截面尺寸：寸可以为零。故需用剪应力来确定最小截面尺寸：)(5 . 1maxxbhQ527.7

35、.5 7.7.5 选用高强度材料，提高许用应力值选用高强度材料，提高许用应力值 同类同类材料材料，“E”值相差不多值相差不多，“ jx”相差较大相差较大，故故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，不同类材料，E和和G都相差很多（钢都相差很多（钢E= =200GPa , , 铜铜E= =100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其定性的目的。但是，改换材料，其原料费用原料费用也会随之发生也会随之发生很大的改变！很大的改变！53* *例例1414：为了

36、提高悬臂梁：为了提高悬臂梁ABAB的强度和刚度，用短梁的强度和刚度，用短梁CDCD加固。设二梁加固。设二梁EIEI相同，试求相同，试求 (1) (1) 二梁接触处的压力；二梁接触处的压力； (2) (2) 加固前后加固前后ABAB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值； (3) (3) 加固前后加固前后B B点挠度的比值。点挠度的比值。54解：解：(1)(1)变形协调条件为变形协调条件为：DCDDABvv即5633333PaEIR aEIR aEIDDRPD54(2)P产生产生的挠度的挠度RD产生产生的挠度的挠度2PaM加固前加固前M3Pa/4Pa加固后加固后55(3)加固前加固前EIPaEIaP

37、fB383)2(33加固后加固后EIPaaEIPaEIPaEIPafB61123383233由由RD引起引起由由D D引起引起RDRDPP567.17 7.17 图示等截面梁的抗弯刚度为图示等截面梁的抗弯刚度为EIEI。梁下有柱形曲面。梁下有柱形曲面y=-Axy=-Ax3 3，欲使梁变形后恰好与该曲面密合，且曲面不受压力，试问在梁的欲使梁变形后恰好与该曲面密合，且曲面不受压力，试问在梁的自由端应作用什么载荷？并确定载荷的大小和方向。自由端应作用什么载荷？并确定载荷的大小和方向。MePRAMA解：根据题意，要使得梁的挠曲线解：根据题意，要使得梁的挠曲线方程为方程为y=Ax3, 在自由端在自由端B

38、加上弯矩加上弯矩Me和集中载荷和集中载荷P；(1)(1)用剪力图弯矩图求解用剪力图弯矩图求解y=-Ax3yxlABAEIxxMEIxMAxxfAxxfAxxyxf6)()(6)(3)()()(23 AEIxQxM6)()(由弯矩和剪力的关系可得：由弯矩和剪力的关系可得：画出画出剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图后，就可得到后，就可得到B端端的的Me和和P；固定端的固定端的MA=0。)(6xLAEILMeAEIP6QM57y=-Ax3yxlAB+PBAMeBAMeP=AB(2)(2)用叠加法求解用叠加法求解3)(ALLyfffBPBMB) 1 (32332ALEIPLEIML23)(ALLyBPBMB)2(3222ALEIPLEIML由由(1)(1)和和(2)(2)可得：可得：AEIP6AEILMe658(3)(3)用挠曲线方程求解用挠曲线方程求解求出固定端求出固定端A A的反力为：的反力为：PLMMPReAA写出弯矩写出弯矩方程为：方程为：)()(xLPMxRMxMeAA) 1 ()()()(xLPMxMxfEIe )2(2)(2CxPPLxxMxfEIe弯矩弯矩方程和挠曲线的关系为：方程和挠曲线的关系为：AxxfAxxfAxyxf6)(3)()(23 MePRAMAy=-Ax3yxlAB59MePRAMAy=-A