第四章.空间力系

1、xyz本章研究的是空间力系的简化和平衡的条件本章研究的是空间力系的简化和平衡的条件.空间力系从实际上空间力系从实际上 讲是最具有普遍意义的力系讲是最具有普遍意义的力系, 因为任何物体的受力都是空间分布因为任何物体的受力都是空间分布的的. 平面力系只不过是空间力系的特殊情况平面力系只不过是空间力系的特殊情况.与平面力系类似与平面力系类似, , 我们将空间力系也分为汇交力系我们将空间力系也分为汇交力系, , 力偶系和任力偶系和任意力系来研究意力系来研究. .4 1 空间汇交力系空间汇交力系1. 力在正交坐标轴的投影和力沿直角坐标轴的分解力在正交坐标轴的投影和力沿直角坐标轴的分解a. 一次投影一次投

2、影OFxFyFzF cosFXFx cosFYFy cosFZFz OFxyzxFyFzFb.二次投影二次投影xyF cossinFXFx sinsinFYFy cosFZFz2.空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和, 合力的作用线通过汇交点合力的作用线通过汇交点. niiRFF1投影定理投影定理 XFRx YFRy ZFRz 222 ZYX RFRFX cosRFY cosRFZ cosxyz01 niiRFF汇交力系平衡汇交力系平衡 000ZYX例一例一. ( 书上例书上例 4 3 p75 ) 起重杆的起重

3、杆的A 端用球铰链固定在地面上端用球铰链固定在地面上, 而而B 端用绳子端用绳子CB 和和 DB 拉住拉住, 二绳分别系在墙壁的二绳分别系在墙壁的 C 和和 D 点点. C D 连线水平连线水平.已知已知 CE = EB = DE , = 30, CBD 平面与水平面间的夹角平面与水平面间的夹角EBF = 30, 物重物重 P = 10 kN. 起重杆的自起重杆的自重不计重不计, 求求 起重杆的起重杆的A 端及绳子所受的力端及绳子所受的力.PABCEDF3030BPA3030AF1F2FEFCD45454530取取AB 杆分析杆分析, :0 Z030cos0 PFA kNFA66. 835 :

4、0 X045cos45cos0201 FF21FF :0 Y030sin45cos45cos00201 PFF kNFF54. 32521 选坐标轴如图选坐标轴如图. FM0 xyz4 2 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩1. 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢定义式定义式: FrFM 0 面面积积ABOFrFM 2sin0ABrF ZYXzyxkjiFrFM 0 kyXxYjxZzXizYyZ O FM0力矩矢力矩矢在三个坐标轴上投影为在三个坐标轴上投影为: yzxzFyFzYyZFM 0 zxyxFzFxZzXFM 0 xyzyFxFyXxYFM 0 kyF

5、xFjxFzFizFyFxyzxyz 2. 力对轴的矩力对轴的矩定义式定义式: xyFMFMz0 力力F 对对 z 轴的矩轴的矩, 等于此力在垂直于等于此力在垂直于 z 轴平面上的投影对轴平面上的投影对 z 轴与平面交点的矩轴与平面交点的矩.zxy面面EOxyFzFFd力矩为零的情况力矩为零的情况:( 1 ) 力平行于轴无矩力平行于轴无矩. ( 投影为零投影为零)( 2 ) 力过轴无矩力过轴无矩. ( 力臂为零力臂为零)力对轴矩的解析表达力对轴矩的解析表达:从从 z 轴轴 往下看往下看, 有有:xyO(z)ExyF xy xyzFyFxFyFxFMFMxy cossin0力对轴力对轴( 有向直

6、线有向直线 ) 的矩是一代数量的矩是一代数量. 其正负规其正负规定为定为 : 从轴的正端看下去从轴的正端看下去, 力的投影绕轴逆时力的投影绕轴逆时针转为正针转为正, 顺时针转为负顺时针转为负. 或或, 可用右手螺旋法则确定力矩的正负可用右手螺旋法则确定力矩的正负.xFFyFzFxyzr FM0OAExyFyxz xyzFyFxFMFMxy 0 yzxFzFyFMFMyz 0 zxzxyFxFzFMFM 03. 力对点的矩与对过此点的三正交轴之矩的关系力对点的矩与对过此点的三正交轴之矩的关系根据前面力对轴的矩的根据前面力对轴的矩的 定义定义, 我们不难得到如下的力对轴之矩的表达式我们不难得到如下

7、的力对轴之矩的表达式. yzxzFyFzYyZFM 0 zxyxFzFxZzXFM 0 xyzyFxFyXxYFM 0对比力对点的矩在三个正交坐标轴的投影对比力对点的矩在三个正交坐标轴的投影力对点的矩在通过该点的轴上的投影力对点的矩在通过该点的轴上的投影, 等于此力对该轴的矩等于此力对该轴的矩.: ( 1 ) 上面表达式中力和位矢的投影分量都是代数量上面表达式中力和位矢的投影分量都是代数量, 本身含正负号本身含正负号. ( 2 ) 所选的坐标系必须是右手坐标系所选的坐标系必须是右手坐标系. FzF例一例一. ( 书上书上 例例4 4 ) 手柄手柄 ABCE 在水平面内在水平面内. 在在D处作用

8、一力处作用一力 F . 它在垂直它在垂直 于于 y 轴的平面内轴的平面内, 偏离铅垂线的角度为偏离铅垂线的角度为 . CD = a . BC x 轴轴, CE y 轴轴, AB = BC = l . 试求力试求力 F 对对 x , y , z 轴的矩轴的矩.xyzABCDEl l axF解解: laFFMx cos lFFMy cos alFFMz sin: 计算力对轴的矩时计算力对轴的矩时, 一般不要死套一般不要死套 公式公式. 根据受力图与坐标轴的取向根据受力图与坐标轴的取向, 直接计算力的投影直接计算力的投影, 找出力臂及判找出力臂及判 断力矩的断力矩的 方向方向, 乃是最常用的方法乃是

9、最常用的方法.例二例二. ( 参见参见 p 101 思考题思考题 4 1 ) 在棱长为在棱长为 a 的正方体的顶角的正方体的顶角 A 处作用一力处作用一力F . 求求 此力对此力对x , y ,z 轴的矩轴的矩.xyzOAF解解: 力力F 在图示在图示 x 轴轴, y 轴轴 , z 轴轴 上的投影分别为上的投影分别为:.3,3,3FFF 3FaFMx 3FaFMy 0 FMz 在上题的思维过程中也寓含着合力矩定理在上题的思维过程中也寓含着合力矩定理: 合力对某一轴的矩合力对某一轴的矩, 等等 于其各分力对同一轴之矩的代数和于其各分力对同一轴之矩的代数和.4 3 空间力偶空间力偶1. 力偶矩以矢

10、量表示力偶矩以矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢xyzO 平面力系中各力偶是共面的平面力系中各力偶是共面的, 所以力偶用所以力偶用代数量描述代数量描述. 空间力系中力偶的分布一般空间力系中力偶的分布一般是异面的是异面的, 所以空所以空 间力偶需用矢量来描述间力偶需用矢量来描述.FF BA FrFrMFFMABBA ,力偶矩矢三要素力偶矩矢三要素:( 1 ) 大小大小 2面积面积( 2 ) 方向方向 力偶矢的方向服从右手螺旋法则力偶矢的方向服从右手螺旋法则.( 3 )作用面作用面 与力偶矢方向垂直的与力偶矢方向垂直的平面平面 . (如图示如图示)MArBr空间力偶中的二力对空间中的任意一点的力矩矢之和都

11、等于力偶矩矢本身空间力偶中的二力对空间中的任意一点的力矩矢之和都等于力偶矩矢本身, 与任与任 意点的位置无关意点的位置无关.FF BAO空间上任取一点空间上任取一点 O , 作作 A , B 点的位置矢量点的位置矢量. ,00FFMFrFrrFrFrFrFrFMFMBABABABA 二二. 空间力偶等效定理空间力偶等效定理空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不会改变它对刚体的效应空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不会改变它对刚体的效应.这就是说这就是说 , 一力偶矢对三维刚体的作用只需考虑它的大小和方向一力偶矢对三维刚体的作用只需考虑它的大小和方向, 不必考虑其不必考虑其

12、 作用面的位置作用面的位置. 或者还可以这样说或者还可以这样说:作用在同一刚体上的两个空间力偶作用在同一刚体上的两个空间力偶, 如果其力偶矩矢相等如果其力偶矩矢相等, 则它们彼此等效则它们彼此等效.证明如下证明如下:P2PEDC2PPPPBA，点的点的为为合成合成点的点的与与点的点的2PDPEPB，点的点的为为合成合成点的点的与与点的点的PCPEPA2即是即是, A , B , E 处的四个力与处的四个力与D , C 处的两个力等效处的两个力等效.E 处的二力为一对平衡力处的二力为一对平衡力, 可可 以以 减去减去. 所以所以 , A , B 处的二力构成的力处的二力构成的力偶偶 与与C ,

13、D 处二力构成的力偶处二力构成的力偶等效等效.ACRBPQAB刚体上两反向平行力的合成刚体上两反向平行力的合成图示二反向平行力图示二反向平行力 P Q , 试将其简化为一合力试将其简化为一合力.R = R = P Q coscosBCRABQMBCRABQ BCQPABQ BCPACQ BCACQP ABMR3 . 空间力偶系的合成与平衡条件空间力偶系的合成与平衡条件任意个空间分布的力偶可以合为一个合力偶任意个空间分布的力偶可以合为一个合力偶, 合力偶矩矢等于各力偶矩矢的合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和矢量和. niimM1若用直角坐标轴若用直角坐标轴的投影表达则为的投影表达则为: niixx

14、mM1 niiyymM1 niizzmM1空间力偶系平衡的充分和必要条件是空间力偶系平衡的充分和必要条件是: 该力偶系的合力偶矩矢等于零该力偶系的合力偶矩矢等于零.01 niimM若用直角坐标轴若用直角坐标轴的投影表达则为的投影表达则为:01 niixxmM01 niiyymM01 niizzmM( 书上例书上例 4 6 ) 两圆盘于水平轴两圆盘于水平轴 AB 固连固连, I 盘面垂直于盘面垂直于 z 轴轴 , II 盘面垂直于盘面垂直于 x 轴轴. 盘面上分别作用有力偶盘面上分别作用有力偶 ( F1 , F1 ) 和和 ( F2 , F2 ) . 两盘的半径皆为两盘的半径皆为 200 mm

15、. F1 = 3 N , F2 = 5N . AB = 800 mm . 不计构件的自重不计构件的自重. 求求: 轴承轴承 A , B 处的约束反力处的约束反力. yxzAB1F 1F2F 2FIOIIyxzAB1F1F 2F2F IIIO解解: 主动力为力偶系主动力为力偶系, 由于力偶只由于力偶只能用力偶平衡能用力偶平衡, 故轴承故轴承A , B 处的约处的约束反力形成两对力偶与之平衡束反力形成两对力偶与之平衡. 取整体分析取整体分析, A , B 处受力如图示处受力如图示.AzFBzFBxFAxF:0 ixm02 ABFdFBz NFFAzBz5 .28 .04 .05 :0 izm01

16、ABFdFBx NFFAxBx5 .18 .04 .03 A , B 处处 x 方向的受力与图示相反方向的受力与图示相反.4 4 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩主矢和主矩 1. 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 和平面任意力系类似和平面任意力系类似, 利用力的平移定理利用力的平移定理, 可将空间任意力系向一点简化可将空间任意力系向一点简化 , 从从 而得到一力和一力偶而得到一力和一力偶. 不过不过, 这里的力偶是一矢量这里的力偶是一矢量.xyzO1F2FnFxyzO1m1F 2F nF 2mnm诸力向诸力向O 点平移点平移汇交力系和力偶系的合成汇交

17、力系和力偶系的合成xyzRF OOM niiniiRFFF11 iniOniiOFmmM 11 空间任意力系向任意一点空间任意力系向任意一点 O 简化简化, 可得一力和一力偶可得一力和一力偶, 这个力的大小和方向等于这个力的大小和方向等于原力系的主矢原力系的主矢,( 即力系各力的矢量和即力系各力的矢量和) 作用线过简化中心作用线过简化中心 O . 这个力偶的力偶矩这个力偶的力偶矩矢等于原力系对矢等于原力系对 O 点的主矩点的主矩 ( 即力系各力对即力系各力对 O 点的力矩的矢量和点的力矩的矢量和). niiniiRFFF11 iniOniiOFmmM 11:二二重重意意义义的的说说明明和和关关

18、于于ORMF 鉴于书上对力系简化理论的叙述方式鉴于书上对力系简化理论的叙述方式, 为消除某些模糊概念为消除某些模糊概念, 有必要对有必要对RF 和和OM含意的二重性予以说明含意的二重性予以说明.就一次具体的向就一次具体的向 O 点简化的结果而言点简化的结果而言: RF 为过为过 O 点的力点的力.OM为向为向 O 点点简化而得到的附加力偶简化而得到的附加力偶.就力系向任意就力系向任意 一一 点点O 简化结果的度量而言简化结果的度量而言: RF 代表力系的主矢代表力系的主矢.OM代表力系对任意一点代表力系对任意一点 O 的主矩的主矩.: 运动的飞机上力运动的飞机上力 的简化的简化 ( 见见 书上

19、书上 p84 ) 2. 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系的简化结果分析00. 1 ORMF若若任何空间力系都有两个基本的特征量任何空间力系都有两个基本的特征量, 这就是力系的主矢量和力系对某一点这就是力系的主矢量和力系对某一点O 的主矩的主矩 这两个特征量可完整地描述此力系对刚体的作用这两个特征量可完整地描述此力系对刚体的作用.,ORMF 和和原力系是一力偶系原力系是一力偶系, 可简化为一力偶可简化为一力偶 niiOFmMM1000. 20 MFR若若原力系可简化为原力系可简化为O 点的合力点的合力. niiRFF100. 30 MFR若若原力系最终的结果有两种可能原力系最终的结果有两种

20、可能: niiRFF1( 1 ) 合力合力( 2 ) 力螺旋力螺旋ORMFa .OMoRF RF RF oodRFRFo力偶的性质力偶的性质减一对平衡力减一对平衡力ROFMd 原力系可简化为一合力原力系可简化为一合力.ORMFb/. OMoRF 原力系可简化为一力螺旋原力系可简化为一力螺旋 .成成任任意意角角度度与与ORMFc .RF OMooRF M M M RFoodM RFo将力偶矢正交分解将力偶矢正交分解MMMO RRFMFRFMd 最终仍可简化为力螺旋最终仍可简化为力螺旋.00. 4 ORMF若若原力系是一空间平衡力系原力系是一空间平衡力系 由此由此, 我们可以得到这样的结论我们可以

21、得到这样的结论: 一空间任意力系一空间任意力系, 无论其复杂和简单与否无论其复杂和简单与否, 它都可等效简化成如下的最简它都可等效简化成如下的最简 单单 的力系的力系: 或是一合力或是一合力, 或是一力偶矢或是一力偶矢, 或是一力螺旋或是一力螺旋; 否则就是平衡力系否则就是平衡力系.5. 力系的两个不变量力系的两个不变量一个确定的力系一个确定的力系, 无论如何简化无论如何简化, 无论向哪一点简化无论向哪一点简化, 都有两个不变的特征量都有两个不变的特征量, 这就是这就是: 力系的主矢量不变力系的主矢量不变, 主矢与对任意一点的主矩矢的内积值不变主矢与对任意一点的主矩矢的内积值不变.一个力系的主

22、矢是不变量是十分明显的一个力系的主矢是不变量是十分明显的, 下面来证明第二个不变量下面来证明第二个不变量.xyz设有一空间任意分布的力系设有一空间任意分布的力系iF( i = 1 、2 、3 、4n )( 图中只画了个力作为代表图中只画了个力作为代表 )ooirir orir为力的作用点为力的作用点 A 对对o 点的矢径点的矢径.or为为o 点点 对对o 点的矢径点的矢径.ir 为力的作用点为力的作用点 A 对对o 点的矢径点的矢径.o 、o 为空间中的任意两点为空间中的任意两点.任何情况下都有任何情况下都有:ioirrr 力系的主矢力系的主矢: niiRFF1力系对力系对 o 点的主矩点的主

23、矩:iniiOFrM 1力系对力系对 o 点的主矩点的主矩:iniiOFrM 1AiFxyzoir orAiFiro ORoOniioiniiinioiniioiniiOMFrMFrFrFrFrrFrM 11111等式两边同乘主矢等式两边同乘主矢: ORRoRORMFFrFMF RoRFrF 0 RoRFrF所以有所以有: ORORMFMF 证毕证毕4 5 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程1. 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程00 ORMF若若原力系是一空间平衡力系原力系是一空间平衡力系从前面空间任意力系的简化结果从前面空间任意力系的简化结果, 我们已得到我们已得到:如

24、果用三维坐标轴的投影来表述这个条件如果用三维坐标轴的投影来表述这个条件, 那就是那就是:000 ZYX 000 FmFmFmzyx空间任意力系平衡的充要条件是空间任意力系平衡的充要条件是: 所有的力在不共面的三个坐标轴上的投所有的力在不共面的三个坐标轴上的投 影的代数和分别为零影的代数和分别为零; 所有的力对此三轴的力矩的代数和也分别为零所有的力对此三轴的力矩的代数和也分别为零.这一组平衡方程为三投影三矩式方程这一组平衡方程为三投影三矩式方程, 是空间力系平衡方程的基本形式是空间力系平衡方程的基本形式. 为为使用上的方便使用上的方便, 方程组还可有如下的三种形式方程组还可有如下的三种形式: 四

25、矩二投影式四矩二投影式, 五矩三投影式五矩三投影式和六矩式方程和六矩式方程. 总之总之, 空间任意力系独立的平衡方程式有六个空间任意力系独立的平衡方程式有六个, 可以解可以解 6 个未知数个未知数.例一例一. 车床的主轴如图示车床的主轴如图示. 已知车刀对工件的切削力为已知车刀对工件的切削力为: 径向切削力径向切削力F1 = 4.25kN, 纵向切削纵向切削 力力F2 = 6.8 kN, 主切削力主切削力(切向切向) F3 = 17kN. 方向如图示方向如图示.在传动齿轮在传动齿轮C 的底部作用有齿的底部作用有齿 轮的啮合力轮的啮合力Ft ( 切向切向 ) 和和 Fr ( 径向径向) . 且知

26、且知 Fr = 0.36 Ft .齿轮齿轮C 的节圆半径的节圆半径R = 50mm , 被切削工件的半径为被切削工件的半径为r = 30mm. 卡盘及工件等自重不计卡盘及工件等自重不计, 其余尺寸如图示其余尺寸如图示. 求求: 当主轴匀速转动时当主轴匀速转动时 ( 1 ) 齿轮齿轮 C 处的啮合力处的啮合力Ft 和和 Fr . ( 2 ) 径向轴承径向轴承 A 和和 止推轴承止推轴承 B处的约束反力处的约束反力. ( 3 ) 三爪卡盘三爪卡盘 E 对被切削工件的约束力对被切削工件的约束力.200100400BACEDDtFrF3F1F3F1F2FxzyAxFAzFBzFBxFByF解解: 取主

27、轴为研究对象取主轴为研究对象建立坐标轴如图建立坐标轴如图 :0 Fmy03 rFRFt kNFt2 .105317 kNFr672. 336. 02 .10 :0 Y02 FFBy kNFFBy8 . 62 :0 Fmz:03040010030021 FFFFtBx kNFBx87.1530025. 44008 . 6302 .10100 :0 X:01 FFFFAxtBx kNFFFFBxtAx32.3087.1525. 42 .101 :0 Fmx200100400BACEDDtFrF3F1F3F1F2FAxFAzFBzFBxFByFxzy:04001003003 FFFrBz kNFBz

28、44.21 :0 Z:03 FFFFAzrBz kNFAz11.41 200100400BACEDDtFrF3F1F3F1F2FAxFAzFBzFBxFByFxzyzxyoD150r1F2F3FOxFOyFOzFxMyMzM取工件为研究对象取工件为研究对象左下图所示左下图所示( 已放大已放大)爪盘对工件构成固定端爪盘对工件构成固定端约束约束, 约束反力为过工件约束反力为过工件的端部中心的端部中心O 的一个力的一个力和一力偶和一力偶.将约束反力和约束将约束反力和约束反力偶矢正交分解反力偶矢正交分解:0 X01 FFOx kNFOx25. 4 :0 Y02 FFOy kNFOy8 . 6 :0 Z

29、03 FFOz kNFOz17 :0 Fmx015. 03 FMx mkNMx.55. 2 :0 Fmy003. 03 FMy mkNMy.51. 0 :0 Fmz003. 015. 021 FFMz mkNMz.43.0 例二例二. 一均质长方板由一均质长方板由 6 根直杆支承于水平位置根直杆支承于水平位置, 直杆的两端以球铰与板及地面连接直杆的两端以球铰与板及地面连接. 已知板重为已知板重为P , 在在 A 处的水平力为处的水平力为 F , 且且 F = 2P . 求各杆的内力求各杆的内力. abbABCDEFGH123456FPabbABCDEFGHF2F3F4F5F6FP1F解解: 取

30、长方板分析取长方板分析 :0 FmAE05 F :0 FmBF01 F :0 FmCG045cos03 aFaFPFF2223 :0 FmAC04 F :0 FmAB026 aFaP26PF :0 FmFG022 bFbPbF232PF 答答: 1 、4 、5 号杆是零杆号杆是零杆.2 号杆受拉号杆受拉, 大小为大小为3 号和号和6号杆受压号杆受压 , 分别为分别为.23 P.222PP 和和 空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程设以空间平行力系设以空间平行力系iF( i = 1 、2 、3n )1F2F3FiFnFxyz选坐标系如图选坐标系如图, 诸力与诸力与 z 轴平行轴平行于是于

31、是0 X0 Y 0 Fmz为自然满足方程为自然满足方程如果此力系平衡如果此力系平衡, 则应有则应有:0 Z 0 Fmx 0 Fmy一组空间平行力系的平衡方程有三个独一组空间平行力系的平衡方程有三个独 立方程立方程, 可以解三个未知数可以解三个未知数. xyzAFDFBF例三例三. 图示三轮小车图示三轮小车, 自重自重 P = 8kN , 作用于作用于 E 点点, 载荷载荷 P1 = 10kN , 作用于作用于 C 点点. 求小车静止时地面对车轮的约束力求小车静止时地面对车轮的约束力.1.2m2m0.2m0.2m0.6m0.6mP1PABDCE解解: 取小车为研究对象取小车为研究对象, 建立坐标

32、如建立坐标如 图示图示. :0 Fmx02 . 02 . 121 PPFD kNFD8 . 522 . 0102 . 18 :0 Fmy06 . 06 . 08 . 02 . 11 DBFPPF kNFB767. 72 . 16 . 08 . 56 . 088 . 010 :0 Z01 FFPPFDBA kNFA433. 48 . 5767. 7810 4 6 重心重心1. 重心的概念及坐标公式重心的概念及坐标公式 空间平行力系的简化结果必是一合力空间平行力系的简化结果必是一合力, 合力通过的某一点称为合力通过的某一点称为 此平行力系的作用中心此平行力系的作用中心. 平行力系的作用中心有这样一

33、个性质平行力系的作用中心有这样一个性质: 同时以同一个角度改变此力系每一个力的方向同时以同一个角度改变此力系每一个力的方向, 平行力系的中平行力系的中心的位置不变心的位置不变. 作用在物体上的作用在物体上的 重力是一种同向平行力系重力是一种同向平行力系, 重力的作用中心就重力的作用中心就称为称为 重心重心. 重心是力学中重要的基本概念重心是力学中重要的基本概念, 而与之相关的质心更是力学中而与之相关的质心更是力学中的基本概念之一的基本概念之一.建立坐标系如图示建立坐标系如图示:将物体分成将物体分成n 个小块个小块, 每个小块重每个小块重 Pi . ( i = 1, 2, 3, 4 n .) 其

34、空间的坐标为其空间的坐标为 ( xi , yi , zi ) , ( i = 1, 2, 3, 4n .)设设C 点为物体的重心点为物体的重心, 其空间的坐标为其空间的坐标为( xc , yc , zc ) . 由合力矩定理由合力矩定理: iiiCiiCniixxPyPyPyyPPmPm1zyxOiV iP CCCzyxC, iiiizyxM,PiyixCxCy iiiCiiCniiyyPxPxPxxPPmPm1 iiiCiiCniixxPzPzPzzPPmPm1zxOCxCz CCCzyxC,yiV iPPizix iiiizyxM,zyxOiV iP CCCzyxC, iiiizyxM,P

35、iyixCxCy现将坐标系及该物体绕现将坐标系及该物体绕Ox 轴顺时轴顺时针旋转针旋转90. ( 坐标系与物体是固结坐标系与物体是固结在一起的在一起的. )对对x 轴用合力矩定理可得到质心的轴用合力矩定理可得到质心的z 坐标公式坐标公式 niiiniiCPyPy11 niiiniiCPxPx11 niiiniiCPzPz11于是于是, 我们得到计算重心的坐标公式我们得到计算重心的坐标公式:zyxOiV iP CCCzyxC, iiiizyxM,PiyixCxCy又又, Pi = mi g. g 是常量是常量, 上式可变成上式可变成: niiiniiCmymy11 niiiniiCmxmx11

36、niiiniiCmzmz11这就是质心的坐标计算公式这就是质心的坐标计算公式. 显然显然, 对于任何物体对于任何物体, 重心和质心是同一点重心和质心是同一点.上面两组公式可用上面两组公式可用位置矢量表示成位置矢量表示成: niiiniiCPrPr11 niiiniiCmrmr11Crir如果是均质的物体如果是均质的物体, 则密度则密度 = 常量常量, mi = Vi , 于是前面的两组公式又变成于是前面的两组公式又变成: niiiniiCVxVx11 niiiniiCVyVy11 niiiniiCVzVz11zyxOiV iP CCCzyxC, iiiizyxM,PiyixCxCy这是物体的几

37、何形心的坐标公式这是物体的几何形心的坐标公式.对于任何均质物体对于任何均质物体, 重心重心 , 质心质心, 形心是同一点形心是同一点. 实际上实际上,对于连续介质的物体对于连续介质的物体, 上面的数学公式表示并不精确上面的数学公式表示并不精确, 而应该用定积分来而应该用定积分来表达表达. 但是但是, 如果一个物体可分成有限个部分如果一个物体可分成有限个部分, 而每一个部分的重心是已知的而每一个部分的重心是已知的, 则整则整体的重心便可用上面的公式求得体的重心便可用上面的公式求得.如果是均质的平面图形如果是均质的平面图形, 则上面的公式变成则上面的公式变成 niiiniiCAxAx11 niii

38、niiCAyAy11R2. 确定物体重心的方法确定物体重心的方法 ( 1 ) 积分法积分法 解解: 选坐标如图选坐标如图, RRRRdRRydsdsydsylllC 22sin20例二例二. 求均质半圆板的形心求均质半圆板的形心. 已知半圆板的半径为已知半圆板的半径为R . RyxOyxO解解: 选坐标如图选坐标如图, 345 . 0sin5 . 0sin20022RRdrrdRrdrdrdydyRDDDC 例一例一. 求均质半圆弧的形心求均质半圆弧的形心. 已知圆弧的半径为已知圆弧的半径为R .CC0 Cx由对称性由对称性, 0 Cx 由对称性由对称性, ( 2 ) 组合法组合法 a. 分割

39、法分割法 例三例三. 求求z 形截面图形的形心的位置形截面图形的形心的位置. 其尺寸如图示其尺寸如图示. ( 单位单位: mm )解解: 建立坐标轴如图示建立坐标轴如图示, 将该图分割成三个矩形将该图分割成三个矩形.xy303030101010A1A2A3 mmAAAxAxAxAAxAxiiiC210301040103015103051040151030321332211 mmAAAyAyAyAAyAyiiiC2710301040103051030301040451030321332211 b. 负面积法负面积法 ( 为分割计算的方便为分割计算的方便, 组合某些负面积的图形组合某些负面积的图形

40、 )例四例四. 偏心块可简化成如示图形偏心块可简化成如示图形, 其中的小圆是被挖去的部分其中的小圆是被挖去的部分. 已知已知 R = 100mm, r = 17mm , b = 13mm . 求求: 此图形的形心的位置此图形的形心的位置.Rrbxyo解解: 取坐标轴如图取坐标轴如图, 由对称性由对称性, xC = 0 mmrrbRrrbrbRRAAAyAyAyAAyAyiiiC1 .402)(203)(42)(342222222321332211 相应地相应地 , 对于三维图形对于三维图形 , 可有负体积法可有负体积法( 3 ). 实验法实验法 a . 悬挂法悬挂法 C b. 称重法称重法PFBBCAlh若已知部件的重量若已知部件的重量P 及长度及长度l , 称得称得FB 后后, 可得重心的位置可得重心的位置lPFhB 汽车重心的测定汽车重心的测定( 设汽车左右对称设汽车左右对称, 则重心必在对称面内则重心必在对称面