第三章三维波动方程的定解问题-2

1、深圳大学电子科学与技术学院第三章：行波法与积分变换法第三章：行波法与积分变换法3.2 三维波动方程的定解问题三维波动方程的定解问题深圳大学电子科学与技术学院深圳大学电子科学与技术学院 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式 三维波动方程的定解问题三维波动方程的定解问题 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 傅立叶变换法傅立叶变换法 积分变换法举例积分变换法举例本章内容提要本章内容提要: :参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院),(),(,- ,00222222222zyxtuzyxuzyxzuyuxuatutt3.2 三维波动方程的定解问题三维波动方程的定解问题深圳

2、大学电子科学与技术学院xyzrcossinsincossinrzryrx球坐标下的三维波动方程222222222zuyuxuatu22222222221sin1sinsin11tuaururrurrr深圳大学电子科学与技术学院球对称：球对称： 无关，则波动方程可化简为无关，则波动方程可化简为,与u)()(21atrfatrfruratrfatrftru)()(),(21rururrurrururrurururru2)()(22222222222222222)(121rrurarurruarurrratu22222)(rruatru以以 ru 为函为函数的一维数的一维波动方程波动方程一、球对称情

3、况定的初始条件来确定。函数，它们可以通过给是两个二阶连续可微的、21ff深圳大学电子科学与技术学院ratrf/)(2ratrfratrftru)()(),(21ratrf)(2以速度以速度 a 沿沿 r 增加的方向增加的方向传播的波形传播的波形 与以与以相同速度沿相同速度沿r减小的方向减小的方向传播的波形传播的波形 的叠的叠加加ratrf/)(1ratrf)(1球对称解的物理意义深圳大学电子科学与技术学院目的：目的：求任意求任意 t 时刻在任意点时刻在任意点 的波函数的波函数 步骤：步骤：1.以以M点为中心，以点为中心，以r为半径作一为半径作一 个球面个球面2.求出波函数在球面上的平均值：求出

4、波函数在球面上的平均值： 表示球面上的动点表示球面上的动点StMurrtzyxuMrSd ), (41),(2),(zyxMxyz),(),(tMutzyxuMrSM3.在在 情况下求极限：情况下求极限： 给出最后结果给出最后结果0r),(),(lim0tzyxurtzyxurMrM二、一般情况：泊松球面平均法深圳大学电子科学与技术学院上的平均值。为半径的球面为中心，在以它是MrSrMtMu),(dtMudStMurtruMrMrSS),(41),(41),(2)32 . 3(球球面面上上的的面面积积元元 ddrdSsin2球球立立体体角角元元 ddrdSdsin2是是它它们们的的函函数数；是

5、是两两个个独独立立变变量量，和和时时间间显显然然：球球半半径径),(trutr则是一个参变量；M 的的自自变变量量个个数数少少，的的自自变变量量个个数数，比比起起),(),(tzyxutru。所所以以研研究究起起来来比比较较方方便便和和我我们们所所求求的的出出，另另外外一一方方面面：很很容容易易看看),(tru，取取有有很很密密切切的的联联系系：如如果果0),( rtMu).,(tMuSMr上上的的平平均均值值，也也就就是是那那么么在在).,(), 0(tMutu 即即)42 . 3(。出出因因此此，以以下下我我们们将将先先求求),(tru。方方便便得得多多了了）（这这比比求求解解),(tMu

6、 r ),( M xyz0),(zyxMMrS ),()1tru引入球面平均值函数引入球面平均值函数深圳大学电子科学与技术学院的通解的通解求出求出),()2tru 22222),(),(rtrurattrur 能够证明（ ）满足一维波动方程ur)()(),(tarGtarFtrur其通解为：证明从略，可参考王元明书P65-67深圳大学电子科学与技术学院 r ),( M xyz0),(zyxMMrS 球球面面上上的的面面积积元元 ddrdSsin2球球立立体体角角元元 ddrdSdsin2球球的的体体积积元元 dddrrdrdSdVsin2.cos.20,0,sinsin,cossin rzry

7、rx 球球的的体体积积元元 dddrrdSdrdVsin2球球的的体体积积元元 ddrr2深圳大学电子科学与技术学院泊泊松松公公式式。，定定解解、依依据据初初始始条条件件确确定定GF)3分别求导，得式两边对 r)28. 3()()(),()(tarGtarFrurtruurr )29. 3(，得得上上式式中中令令0r分分别别求求导导，得得）式式两两边边对对（t3.28，得得上上式式中中令令0r)()(), 0(taGtaFtu )30. 3(）式式，得得上上式式的的结结果果代代入入（3.30)()(tarGatarFatur )31. 3()()(taGtaF )32. 3()(2), 0(t

8、aFtu )33. 3()()(),(tarGtarFtrur（3.28）深圳大学电子科学与技术学院)()(),()(tarGtarFrurtruurr )29. 3()()(tarGatarFatur )31. 3(，得得）式式相相加加，并并令令）与与（更更进进一一步步地地，将将（03.343.29t，得得）式式两两边边同同除除以以（a3.31)()(tarGtarFtuar )34. 3(00)(2)(tttarFtuarrur即即为为）：，得得到到了了（：令令考考虑虑到到先先前前有有一一个个动动作作3.330r), 0(),(lim),(0tutrutMur )63 . 3(0)()(2

9、ttuarrurrF)35. 3()(2), 0(taFtu ，正正是是另另一一方方面面，令令0r深圳大学电子科学与技术学院0)()(2), 0(),(ttuarrurrFtutMu)73 . 3( ).,(0zyxMMr）收收缩缩到到点点，时时，球球面面上上点点即即，当当 r ),( M xyz0),(zyxMMrS 将r=at和dStMurtruMrS),(41),(2代入MrSMrSMrStMrStdStaMadStaMtadSturardSurrrtMuMrMrMrMr)(41)(414141),(0202taratr1深圳大学电子科学与技术学院dtMudStMurtruMrMrSS)

10、,(41),(41),(2MrSMrSdStaMadStaMtatMuMrMr)(41)(41),(三维波动方程初值问题的泊松公式三维波动方程初值问题的泊松公式上上的的值值所所决决定定。在在球球面面、，转转化化为为由由初初值值函函数数的的值值、时时刻刻在在点点MrStMutMu ),(中中的的坐坐标标转转换换到到球球坐坐标标系系，计计算算时时，一一定定要要将将 ddrdrdSsin22.20,0,cos,sinsin,cossin rzryrx r ),( M xyz0),(zyxMMrS 深圳大学电子科学与技术学院SMtaSMttatzyxuMatMatSSd ) (41d ) (141),

11、(22xyzMat* * 表示以表示以 M 为中心，为中心，at 为半径的球面上的动点为半径的球面上的动点* * 积分遍及整个球面积分遍及整个球面 * * 球面上的初始条件球面上的初始条件 决定波函数决定波函数MMtaS),(tzyxu) () (MM，MtaS),( M三维波动方程的泊松公式cossinsincossinrzryrx是球面是球面 上的动点上的动点深圳大学电子科学与技术学院T0设初始条件限于区域设初始条件限于区域T0 , d 和和D分别是分别是M点到点到T0的最小的最小和最大距离。和最大距离。 t 时刻时刻 M 点的点的波函数是由以波函数是由以M为中心、为中心、 at 为半径的

12、球面为半径的球面 上的初始条上的初始条件决定的。件决定的。DMdSMtaSMttatMuMatMatSSd ) (41d ) (141),(22),(zyxM立体区域立体区域T0 (x, y, z) 物理意义T0atMMtaSdDMtaS如果如果d at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到)深圳大学电子科学与技术学院MT0atDMMtaSSMtaSMttatMuMatMatSSd ) (41d ) (141),(22d物理意义如果如果D at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到)如果如果D at，u(M,t) = 0 (扰动前锋未到)MtaDMMtad T0 (x, y) 平面区域平面区域

13、物理意义T0atDMMtad只要只要dat，则积分值，则积分值不为零，即在时段不为零，即在时段d/at，有有u(M,t) 0 (扰动发生作用)深圳大学电子科学与技术学院SMtaSMttatyxuMatMatd ) (41d ) (141),(22T0at设初始条件限于区域设初始条件限于区域T0，d和和D分别是分别是M点到点到T0的最小和最大的最小和最大距离。距离。 t 时刻时刻 M 点的波函数是点的波函数是由以由以 M 为中心、为中心、 at 为半径的为半径的圆域圆域 上的初始条件决定的上的初始条件决定的(波函数依赖于整个圆域内的波函数依赖于整个圆域内的初始条件初始条件）。）。MtaDMMta

14、d只要只要 ，则积分值不为零，则积分值不为零，即在时段即在时段有有 (扰动发生作用)0),(tMuatd tadxyz 物理意义深圳大学电子科学与技术学院MSMtaSMttatyxuMatMatd ) (41d ) (141),(22T0at设初始条件限于区域设初始条件限于区域T0，d和和D分别是分别是M点到点到T0的最小和最大距离。的最小和最大距离。 t 时刻时刻 M 点点的波函数是由以的波函数是由以 M 为中心、为中心、 at 为半径为半径的圆域的圆域 上的初始条件决定的（上的初始条件决定的（波函数波函数依赖于整个圆域内的初始条件依赖于整个圆域内的初始条件）。）。 如果如果d at，u(M

15、,t) = 0 (扰动前锋未到)MtaDMMtad只要只要 , ,则积分值不为零则积分值不为零, ,即在时段即在时段 就有就有 (扰动发生作用)0),(tMuatd tadxyz扰动作用有清晰的扰动作用有清晰的“前锋前锋”而而无无“后尾后尾”，称为波的弥散（，称为波的弥散（后效现象）。后效现象）。深圳大学电子科学与技术学院 zyxzyxattaddddatddzyxattaddatatzyxattaddatzatyatxattaddatatzatyatxattaSMattatzyxuMatS4)(41sincossin)sin(cossin)(41sincossinsincossin41sin

16、cossinsincossin41sin )cos,sinsin,cossin(141d ) (141),(020022022002cossinsincossinrzryrxddatdSsin2xyzMatM为零为零例题：zyxzyx),(0),(zyx已知求三维波动方程相应的柯西问题的解深圳大学电子科学与技术学院 空间任意一点空间任意一点M，在任意时刻，在任意时刻t0 的状态，完全由以该点的状态，完全由以该点为心、为心、at 为半径的为半径的球面上球面上初始状态决定。初始状态决定。 当初始扰动限制在空间某局部范围时，扰动有清晰的当初始扰动限制在空间某局部范围时，扰动有清晰的“前锋前锋”与与“阵尾阵尾”，即惠更斯原理成立。，即惠更斯原理成立。 三维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义三维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义：二维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义：二维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义： 二维空间任意一点二维空间任意一点M，在任意时刻，在任意时刻t0 的状态，完全由以的状态，完全由以该点为心、该点为心、at 为半径