第三章抽样与抽样分布

1、第 3 章 抽样与抽样分布 3.1 常用的抽样方法常用的抽样方法 3.2 抽样分布抽样分布 3.3 中心极限定理的应用中心极限定理的应用3.1 常用的抽样方法一、简单随机抽样一、简单随机抽样二、分层抽样二、分层抽样三、系统抽样三、系统抽样四、整群抽样四、整群抽样抽样方法简单随机抽样简单随机抽样分层抽样分层抽样整群抽样整群抽样系统抽样系统抽样多阶段抽样多阶段抽样概率抽样概率抽样方便抽样方便抽样判断抽样判断抽样自愿样本自愿样本滚雪球抽样滚雪球抽样配额抽样配额抽样非概率抽样非概率抽样抽样方式抽样方式概率抽样(probability sampling)根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样特点

2、按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simple random sampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量的样本都有相同的机会(概率)被抽中 抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其他辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratified

3、 sampling)将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematic sampling)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(cluster sampling)

4、将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差4.2 抽样分布与中心极限定理一、抽样分布的概念一、抽样分布的概念二、样本均值抽样分布的形式二、样本均值抽样分布的形式三、样本比例抽样分布的形式三、样本比例抽样分布的形式四、中心极限定理四、中心极限定理抽样分布的概念样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 样本统计量样本统计量是随机变量样本均值, 样本比例，样本方差等结果来自容量相同容

5、量相同的所有所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布 (sampling distribution)抽样分布的形成过程 (sampling distribution) 每个随机变量都有其概率分布。样本统计量是一种随机变量，它有若干可能取值（即可能样本指标数值），每个可能取值都有一定的可能性（即概率），从而形成它的概率分布，统计上称为抽样分布。简言之，抽样分布就是指样本统计量的概率分布。样本统计量是由n个随机变量构成的样本的函数，故抽样分布属于随机变量函数的分布。 将样本平均数的全部可能取值及其出现的概率依次排列，就得到样本平均数

6、的抽样分布。同理，可得到样本比例的概率分布和样本标准差的概率分布，对于抽样分布，同样可计算其均值和方差等数字特征来反映该分布的中心和离散趋势。 当总体的分布类型已知时，对于任一自然数n都能导出统计量 的分布的明显表达式，这种方法称为精确方法，所得分布称为精确抽样分布。它对样本容量n较小的统计推断问题特别有用，故又称小样本方法。目前，精确抽样分布大多是在正态总体条件下得到的。 在大多数场合，精确抽样分布不易求出或其表达式过于复杂而难以应用，这时人们借助于极限定理，寻求在样本容量n无限增大时统计量的极限分布。假如此种分布能求得，那么当n较大时，可用此极限分布当作所求的抽样分布的一种近似，这种方法称

7、为大样本方法，这种极限分布常常称为渐近分布。n，21 在抽样推断中，许多场合下统计量服从正态分布或以正态分布为渐近分布，所以正态分布是最常用的。此外， 分布、t分布、F分布等精确抽样分布也起着重要作用。 1、 分布：设 是独立同分布的随机变量，且每个随机变量都服从标准正态分布，即 ,则随机变量 的分布称作自由度为n的 分布，记为 。 22n,211 , 0 Ninii1222 n2分布密度为：分布密度为：2 分位数分布的上侧为通常称或 使,分布表，得可查,10对于给定的0 0 0 22122222221222nnpdxfnenfnnn分布密度为：分布密度为：2 分位数分布的上侧为通常称或 使,

8、分布表，得可查,10对于给定的0 0 0 22122222221222nnpdxfnenfnnn分布的性质分布的性质2 nnNnnnnn、nnnY2 , 于正态分布,n当 , 3则 , 相互独立，分布具有可加性。若 , 22YV方差,YE则均值, , 122212212221212122分布趋分布的性质分布的性质2 nnNnnnnn、nnnY2 , 于正态分布,n当 , 3则 , 相互独立，分布具有可加性。若 , 22YV方差,YE则均值, , 122212212221212122分布趋t分布分布 设随机变量X与Y相互独立，而且XN(0,1),YX2(n)，则称随机变量 服从自由度为n的t分布

9、，记作t(n)， 其分布密度为：XYXt 分位数分布的上侧t称为或 使分布表，得t，可 查10对于给定的t- 1221)(212ntnttpdttfntntnnntfntnt分布的性质 t分布具有如下性质： 。分布可用t时，30n当布，所以，准于分布t时，n当. 3)()(故有 对称的，0t分布密度是关布2.t2)(n,2YV方差0tE分布的均值 . 11标准正态分布近似正态分标趋近ntntnn，tF分布 设随机变量X与Y相互独立，而且分别服从自由度为n1,n2的X2分布，则 服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记作：FF（n1,n2）分布密度为：21nYnXF 0 0 0 )1

10、()()2()2()21()(22112221212111xxxnnxnnnnnxfnnnn样本均值的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析)5 .21NxNii25. 1)(122NxNii样本均值的抽样分布 (例题分析)3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共16个）个）样本均值的抽样分布 (例题分

11、析)3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）样本均值的抽样分布(数学期望与方差)为样本数目MnMxnixix222122625. 016)5 . 20 . 4()5 . 20 . 1 ()(5 . 2160 . 45 . 10 . 11Mxniix样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析)5 . 2x625. 02x样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布 比例是一个常用的统计指标，如产品的合格率、市场占有

12、率、电视节目的收视率等等，总体中具有某种特征的单位占全部单位的比例称作总体比例，记作P，样本中具有此种特征的单位占全部样本单位的比例，记为p。 根据中心极限定理，当n，二项分布趋近于正态分布。所以在大样本下，若np和n（1p）皆大于5，样本比例近似服从正态分布： nPPPNP1,由抽样平均误差的定义可知，重复抽样由抽样平均误差的定义可知，重复抽样和不重复抽样条件下比例的抽样平均误和不重复抽样条件下比例的抽样平均误差为：差为： 111NnNnpppnPPPVP方差的抽样分布方差的抽样分布 要用样本方差推断总体方差，也必须知道方差的抽样分布。 在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形

13、成的相对频数分布，称为样本方差的抽样分布。 统计证明，对于来自正态总体的简单随机样本， 比值 221sn2x112222nxsnx中心极限定理样本均值的抽样分布与中心极限定理x5x50 x5 . 2x中心极限定理(central limit theorem)nxx中心极限定理 (central limit theorem)样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布(数学期望与方差)(xEnx22122NnNnx抽样分布与总体分布的关系正态分布正态分布非正态分布非正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布样本均值的抽样分布 总体方差已知时，不论是大样本还是小