第4章测试信号的频谱分析

1、第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析本章学习要求：本章学习要求：1.1.掌握信号频谱的概念掌握信号频谱的概念2.2.掌握频谱分析的作用与频谱求取方法掌握频谱分析的作用与频谱求取方法3.3.理解信号频谱的数字计算理解信号频谱的数字计算4.4.了解快速傅里叶变换（了解快速傅里叶变换（FFTFFT）的应用）的应用5.5.掌握随机信号的功率谱估计掌握随机信号的功率谱估计6.6.了解信号的倒频谱分析了解信号的倒频谱分析第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 复杂信号是由众多频率不同的谐波信号叠加而成复杂信号是由众多频率不同的谐波信号叠加而成的，各谐波的强弱比例的改变以及相位

2、的改变，都的，各谐波的强弱比例的改变以及相位的改变，都会使信号总体特性产生变化。会使信号总体特性产生变化。 谐波的幅值和相位的构成被称为信号的谐波的幅值和相位的构成被称为信号的频谱频谱。 分析信号的频谱有重要的意义，特别在振动工程、分析信号的频谱有重要的意义，特别在振动工程、噪声、语音识别、语音合成、故障诊断等领域。噪声、语音识别、语音合成、故障诊断等领域。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号在代表了信号在不同频率分量成分的大小，不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。直观，丰富的信息。

3、 时域时域(time domain)分析与分析与频域频域(frequency domain)分析的关系分析的关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 信号频域分析是采用傅立叶（级数）变换将时信号频域分析是采用傅立叶（级数）变换将时域信号域信号x(t)x(t)变换为频域信号变换为频域信号X(f)X(f)，从而帮助人们从，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。另一个角度来了解信号的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)= Asin(2ft)0 t0

4、 f第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。信号的频率组成和各频率分量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 在许多场合，用信号的频率来描述事物的特征也更简洁和明确。在许多场合，用信号的频率来描述事物的特征也更简洁和明确。下表是不同音阶的时域波形和频谱，频率值的大小直观地反映了音阶下表是不同音阶的时域波形

5、和频谱，频率值的大小直观地反映了音阶的高低。的高低。 131Hz147Hz165Hz175Hz频域参数对频域参数对应于设备转应于设备转速、固有频速、固有频率等参数，率等参数，物理意义更物理意义更明确。明确。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析频谱图的概念频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以f fn n ( ( n n) )为横坐标，为横坐标，b bn n 、a an n为纵坐标画图，称为为纵坐标画图，称为实实频或虚频谱图频或虚频谱图。图例图例第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 以以f fn n为横坐标，为横

6、坐标，A An n、 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为幅值或幅值或相位谱；相位谱；n 以以f fn n为横坐标，为横坐标， 为为纵坐标画图，则称为纵坐标画图，则称为功率谱功率谱。 2nA第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析周期信号周期信号的频域分析的频域分析：傅立叶级数傅立叶级数非周期信号非周期信号的频域分析的频域分析：傅立叶变换傅立叶变换对对随机信号随机信号而言，不能直接用傅立叶积分进行频谱分析。而言，不能直接用傅立叶积分进行频谱分析。原因是：不符合绝对可积的条件（狄里赫利条件）原因是：不符合绝对可积的条件（狄里赫利条件）一般采用一般采用自相关函数或互相关函数自相关函

7、数或互相关函数的傅立叶变换（的傅立叶变换（功率谱密度功率谱密度函数）。函数）。自功率谱密度函数自功率谱密度函数( (自谱自谱):):自相关函数自相关函数的傅立叶变换的傅立叶变换互功率互功率谱谱密度函数密度函数( (互谱互谱):):互相关函数互相关函数的的FTFT dteRfSfjxx2)()(dteRfSfjxyxy2)()(第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析仿真实验：典型信号的频谱分析仿真实验：典型信号的频谱分析第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析第第4

8、4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析白噪声信号对信号的波形干扰很大，但对信号的频谱影响很小。白噪声信号对信号的波形干扰很大，但对信号的频谱影响很小。 第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 谐波信号具有优异的数学性质和深厚的物理背景，谐波信号具有优异的数学性质和深厚的物理背景，通常作为基本信号之一。谐波信号在数学上是一个无通常作为基本信号之一。谐波信号在数学上是一个无起点的简谐震荡周期信号，数学表达式如下：起点的简谐震荡周期信号，数学表达式如下：4.1信号频谱的形式与物

9、理意义信号频谱的形式与物理意义tjtjeccetAtAtbtatx)cos()sin(sincos)(jeAcAbAa2sin)cos(2式中ftje2C 上式中的复指数上式中的复指数 通常称为复指数谐波，它同通常称为复指数谐波，它同一个与其共轭的复指数谐波一个与其共轭的复指数谐波 构成一个实际谐波。构成一个实际谐波。ftjeC2*第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 谐波信号谐波信号(harmonic signal)的波形总可由三个特征的波形总可由三个特征参数完全描述。其中频率参数完全描述。其中频率f f是一个重要参数，它描述是一个重要参数，它描述了信号变化的快慢。也经常用到

10、角频率了信号变化的快慢。也经常用到角频率w w。 谐波信号的重要性质包括两方面：谐波信号的重要性质包括两方面： 微分不变性微分不变性 大部分工程实用信号都可以分解成一系列不同频率大部分工程实用信号都可以分解成一系列不同频率谐波的线性组合。谐波的线性组合。 如何分解正是谐波分析的重要任务之一。4.1信号频谱的形式与物理意义信号频谱的形式与物理意义 工程实践中有大量谐波信号。例如工程实践中有大量谐波信号。例如第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 谐波信号往往对应信号源的一种单纯、谐和运谐波信号往往对应信号源的一种单纯、谐和运动状态。动状态。 谐波成分的分布情况能很好说明信号的复杂程

11、谐波成分的分布情况能很好说明信号的复杂程度，是信号传输、处理中需要了解的重要特性。度，是信号传输、处理中需要了解的重要特性。 周期信号、瞬态信号、各态历经的平稳随机信周期信号、瞬态信号、各态历经的平稳随机信号都可以通过相应的途径进行谐波分解。号都可以通过相应的途径进行谐波分解。4.1信号频谱的形式与物理意义信号频谱的形式与物理意义第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析4.1.1周期信号的信号频谱周期信号的信号频谱 借助于借助于傅里叶级数傅里叶级数(Fourier series)，一般周期信号一般周期信号可利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频可利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷

12、多个不同频率的谐波信号的线性叠加。前提是需满足率的谐波信号的线性叠加。前提是需满足Dirichlet条件（在周期内只有有限个间断点且绝对可积）。条件（在周期内只有有限个间断点且绝对可积）。a)a)傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式：)sincos()(0100tnbtnaatxnnn,.)3 , , 2 , 1( n100)cos()(nnntnAatx可变形为：可变形为：,.)3 , ,2, 1(n第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析;sin)(;cos)(;)(222/2/022/2/022/2/10nnabnnnnTTTnTTTnTTTarctgbaAt

13、dtntxbtdtntxadttxa式中：a0、an、bn为傅里叶系数 0为信号的基频 T为信号基波成分的周期 n称为谐波阶数 An为各谐波分量的幅值 n为各谐波分量的初相角Tf2200第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析b)傅里叶级数的复指数展开式：傅里叶级数的复指数展开式： .2, 1, 0;)(2/2/10ndtetxCTTtjnwTn00aC x tC ennjntn( ),(,.) 001 2nnnnnnjbaCjbaC2121第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析按三角傅里叶级数展开式（按三角傅里叶级数展开式（4.1-64.1-6）或（）或（4.1-1

14、1,124.1-11,12），），已将已将x(t)x(t)分解成了一系列由序号分解成了一系列由序号n n标记的实谐波之和。标记的实谐波之和。n=0n=0: :直流分量直流分量特殊谐波（最简单的谐波），即特殊谐波（最简单的谐波），即n=1:基波分量基波分量-频率为频率为f1(x(t)的基本频率）的谐波分量，的基本频率）的谐波分量，即即n1:n此谐波分量此谐波分量-频率为频率为fn=nf1(基波频率的基波频率的n倍）的谐倍）的谐波分量，即波分量，即 000000sincos)(AAatx)2sin()2cos()2sin()2cos()(11111111111tfAtfAtfbtfatx)2sin

15、()2cos()2sin()2cos()(1111nnnnnnntnfAtnfAtnfbtnfatx第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 ntfjneCtx1200)(Ctx按指数傅里叶级数展开式按指数傅里叶级数展开式4.1-8，便将，便将x(t)分解成了一分解成了一系列由序号系列由序号n标记的标记的复（指数）谐波复（指数）谐波之和，则之和，则tfjtfjeCtxeCtx11211211)()( n=0:直流分量直流分量-对于实信号对于实信号x(t)，每个非直流谐波分量，每个非直流谐波分量x+n(t)都将同一都将同一个与其共轭的复谐波个与其共轭的复谐波x-n(t)合成一个实谐波

16、分量。合成一个实谐波分量。 n=1:基波分量基波分量- n1:n此谐波分量此谐波分量-tnfjnntnfjnneCtxeCtx1122)()(第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 将信号分解成谐波分量时，若将每个谐波分量的将信号分解成谐波分量时，若将每个谐波分量的特征参数特征参数按序排列成图，便能形象地表达信号分解的按序排列成图，便能形象地表达信号分解的情况。情况。 由于各个谐波分量可由其频率明确区分，故通常由于各个谐波分量可由其频率明确区分，故通常以谐波频率为序（不同频率对应不同谐波分量）来刻以谐波频率为序（不同频率对应不同谐波分量）来刻画谐波分量的幅度及相位等特征参数的分布

17、情况，形画谐波分量的幅度及相位等特征参数的分布情况，形成所谓的频谱。成所谓的频谱。 对应周期信号分解的四种表达形式，其对应周期信号分解的四种表达形式，其频谱频谱(spectrum)有五种不同的刻画方法：有五种不同的刻画方法：第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析对应式对应式4.1-114.1-11分解，用（单边）幅值谱分解，用（单边）幅值谱An-fAn-f和（余弦）和（余弦）相位谱相位谱n-fn-f表示表示幅频谱幅频谱-以圆频率以圆频率0（或频率（或频率f f）为横坐标）为横坐标, ,幅值幅值An为纵坐标为纵坐标( (amplitude spectrumamplitude spe

18、ctrum) ) 相频谱相频谱-以圆频率以圆频率0（或频率（或频率f f）为横坐标）为横坐标, ,相位相位n为纵坐标为纵坐标( (phase spectrumphase spectrum) )An1(f)20123(f)(n)第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析对应式对应式4.1-124.1-12分解，用（单边）幅值谱分解，用（单边）幅值谱An-fAn-f和（正弦）和（正弦）相位谱相位谱n-fn-f表示表示对应式对应式4.1-64.1-6分解，用余弦谱分解，用余弦谱an-fan-f和正弦谱和正弦谱bn-fbn-f表示。表示。对应式对应式4.1-84.1-8分解，用双边幅值谱、双

19、边相位谱，或实分解，用双边幅值谱、双边相位谱，或实谱、虚谱表示。谱、虚谱表示。常见单边频谱图常见单边频谱图4-54-5与双边频谱图与双边频谱图4-64-6的关系为的关系为00,21arg0 nnnnACACnCn第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析例例1：复杂周期信号：复杂周期信号通过求通过求傅里叶级数，傅里叶级数，可得可得.5/ )5sin(3/ )3sin()sin(4)(1tAtAtAtxn第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析例例2 如图所示的周期方波，以复指数展开形式求频如图所示的周期方波，以复指数展开形式求频谱，并作频谱图。谱，并作频谱图。 ,.)4,

20、 2, 0(0,.)5, 3, 1(2)sin)(cos()(2/2/0012/2/10nnnAjdttnjtntxdtetxCTTTTTtjnwTn,.)3, 1( ,12)(0nenAjtxntjn第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析例例3 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列函数（又称采样函数）表达式为周期单位脉冲序列函数（又称采样函数）表达式为其频谱为：其频谱为： )()(nsnTttg)(1)(1)(nssnssTnfTnffTfG第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 不同形式

21、的频谱的功效完全等价，之间有明确的不同形式的频谱的功效完全等价，之间有明确的对应关系（对应关系（4.1-10、13、14），可任选其一。），可任选其一。 常用的频谱有图常用的频谱有图4-5、4-6两种。前者由于其两种。前者由于其描述描述的谐波参数有直观意义（有实际的物理意义）的谐波参数有直观意义（有实际的物理意义）而受重而受重用，后着则由于用，后着则由于数学运算相对简单数学运算相对简单而受欢迎。而受欢迎。 三角函数展开形式的频谱是单边谱（三角函数展开形式的频谱是单边谱（从从0 0到到）复指数展开形式的频谱是双边谱（复指数展开形式的频谱是双边谱（ 从从- - 到到）双边幅频谱为偶函数，双边相频谱

22、为奇函数。双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。离散性、谐波性、收敛性。谱线间隔为：谱线间隔为：nw0=n2/T0 信号的能量主要集中在信号的能量主要集中在低频段低频段选仪器时要注意频带宽度。选仪器时要注意频带宽度。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 dttxTPTtt0021tnfAtxnn12cos)( 对任意周期信号对任意周期信号x(t)，定义其平均功率，定义其平均功率 ) 1(2)0(1220200nAnadttxTGnTttnnnn 上式可表达信号

23、上式可表达信号x(t)的总体强弱。当的总体强弱。当x(t)分解成三角分解成三角谐波分量组合时，其谐波分量谐波分量组合时，其谐波分量 的平均功的平均功率为率为4.1.2周期信号的功率谱周期信号的功率谱第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析0nnnSGPtnfjnnAeCtx12)( nCdttxtxTSnnATttnAnnn2*001 当当x(t)分解成指数谐波分量组合时，其谐波分量分解成指数谐波分量组合时，其谐波分量 的的 的平均功率可定义为的平均功率可定义为4.1.2周期信号的功率谱周期信号的功率谱 来表达其总体强弱。不难证明有下列来表达其总体强弱。不难证明有下列Parserv

24、al关系：关系： 即即周期信号无论分解成三角谐波之和还是指数谐周期信号无论分解成三角谐波之和还是指数谐波之和，其平均功率都等于所有各个谐波的平均功率波之和，其平均功率都等于所有各个谐波的平均功率之和之和。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析nnSGSG200 由此可知，各谐波分量的功率也是重要参数，可以由此可知，各谐波分量的功率也是重要参数，可以比较直接地表达它对合成总信号的贡献。于是将谐波分比较直接地表达它对合成总信号的贡献。于是将谐波分量的功率按频率顺序排列，构成量的功率按频率顺序排列，构成功率谱功率谱（单边和双边）。（单边和双边）。4.1.2周期信号的功率谱周期信号的功率

25、谱 双边功率谱对称于纵轴。双边功率谱双边功率谱对称于纵轴。双边功率谱Sn与单边与单边Gn有有下列关系：下列关系：第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 对于非周期连续时间信号对于非周期连续时间信号x(t),若满足若满足Dirichlet条条件，在数学上不难证明下列件，在数学上不难证明下列傅里叶变换傅里叶变换关系关系 与周期信号不同的是：与周期信号不同的是：1.每个谐波分量每个谐波分量xf(t)的幅度的幅度X(f)df都是无穷小量都是无穷小量2.各谐波分量在频率各谐波分量在频率f轴上连续排列，而周期信号各谐轴上连续排列，而周期信号各谐波分量之间间隔频率波分量之间间隔频率f1=1/T

26、 由上式可知，它将时限信号由上式可知，它将时限信号x(t)分解成了一系列分解成了一系列复指数谐波分量复指数谐波分量 的和。的和。4.1.3非周期信号的频谱密度非周期信号的频谱密度x tX f edfX fx t edtjftjft( )( )( )( )22 ftjfedffXtx2第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 虽然各谐波分量的幅度都是无穷小量，但可通过虽然各谐波分量的幅度都是无穷小量，但可通过X(f)表达各自的特性：模表达各自的特性：模X(f)可表达可表达xf(t)幅度的相对大幅度的相对大小，辐角小，辐角argX(f)正是正是xf(t)的零时相位。的零时相位。 可见：

27、任意频率可见：任意频率f附近单位频带内的谐波分量合成附近单位频带内的谐波分量合成近似为频率近似为频率f、幅度为、幅度为 、零时相位为、零时相位为argX(f)的的（复）指数谐波。由此，（复）指数谐波。由此，X(f)被称为信号被称为信号x(t)的（双边）的（双边）频谱密度函数频谱密度函数。相应地也分为幅度谱、相位谱、实谱、。相应地也分为幅度谱、相位谱、实谱、虚谱。虚谱。 进一步考察在任意频率进一步考察在任意频率f=f0附近单位频带附近单位频带f属于属于f0-1/2,f0+1/2内谐波分量的合成结果有内谐波分量的合成结果有4.1.3非周期信号的频谱密度非周期信号的频谱密度)( fX tfjfftf

28、jffftjefXdfefXdfefXtx00000020212120212121第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 非周期信号非周期信号x(t)也可以分解为物理意义更加明确也可以分解为物理意义更加明确的实三角谐波之和。的实三角谐波之和。 非周期信号的单边谱通常由双边谱的结果导出：非周期信号的单边谱通常由双边谱的结果导出：4.1.3非周期信号的频谱密度非周期信号的频谱密度）0()(arg)()0()(2)(,)0()0(ffXfffXfAXA -0)(2cosdffftfAtx 实际应用中大都采用双边谱以求数学上的简便。实际应用中大都采用双边谱以求数学上的简便。双边幅值谱、实

29、谱对称与纵轴，相位谱、虚谱为奇函双边幅值谱、实谱对称与纵轴，相位谱、虚谱为奇函数。数。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 对于能量有限的非周期信号，可定义能量对于能量有限的非周期信号，可定义能量W表示表示其总体强弱。其总体强弱。 考虑考虑4.1-21可导出可导出4.1.4非周期信号的能量谱非周期信号的能量谱(密度）密度）dffXW2)( dttxW2 这就是能量信号的这就是能量信号的Parserval公式。结论：公式。结论：时限信时限信号的总能量等于其所有（无限小）谐波分量的能量之号的总能量等于其所有（无限小）谐波分量的能量之和。和。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号

30、的频谱分析 各谐波分量的能量各谐波分量的能量 也是无穷小量，但可定也是无穷小量，但可定义双边能量谱密度义双边能量谱密度Ex(f)表达谐波分量能量的相对大小。表达谐波分量能量的相对大小。 Ex(f)显然是偶函数。见图显然是偶函数。见图4-13.4.1.4非周期信号的能量谱密度非周期信号的能量谱密度dffX2)( 2)(fXfEx 对实信号对实信号x(t)进行实三角谐波分解，有单边能量谱进行实三角谐波分解，有单边能量谱（密度）：（密度）： 0)(210)0(22ffAfAfNx第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 不难导出双边能量谱（密度）不难导出双边能量谱（密度）Ex(f)与单边

31、能量谱与单边能量谱（密度）（密度）Nx(f)有如下关系：有如下关系：4.1.4非周期信号的能量谱非周期信号的能量谱)0()0(xxEN 且有：且有：dffNWx-0)( 0)(2ffEfNxx第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 随机信号随机信号 的随机性表现在：的随机性表现在： 4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）)(),(),(21txtxtxXn 对与测试而言，随机信号和确定信号没有本质区对与测试而言，随机信号和确定信号没有本质区别，都是对某个物理量的时间历程进行的，并不在乎别，都是对某个物理量的时间历程进行的，并不在乎被测信

32、号是否有规律。被测信号是否有规律。)()()(21txtxtxn :S1-Sn的结构及参数的结构及参数“完全一样完全一样”，但发出的信号不一样但发出的信号不一样-每个每个Si在各行其是，随机发在各行其是，随机发出信号。出信号。xi(t)随时间随时间t的变化规律不受的变化规律不受Si结构参数的控制结构参数的控制它它在随机变化。在随机变化。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 对对xi(t)的测试分析是为了了解总体的测试分析是为了了解总体X(t)的统计规的统计规律。律。 由于实际的测试分析都只能对有限的信号且在有由于实际的测试分析都只能对有限的信号且在有限的时间范围内进行，因此，只

33、有对各态历经的平稳限的时间范围内进行，因此，只有对各态历经的平稳随机总体的样本信号进行测试、分析才是有意义的。随机总体的样本信号进行测试、分析才是有意义的。 4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）各态历经平稳随机信号的功率谱（密度） 由于由于X(t)是各态历经的，可以通过单个样本信号是各态历经的，可以通过单个样本信号xi(t)的测试分析，了解的测试分析，了解X(t)的统计规律（信息），因的统计规律（信息），因为各态历经性保证由任一样本都可以统计出总体的规为各态历经性保证由任一样本都可以统计出总体的规律。律。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 由于由于X(t)是平稳的，

34、便可通过对样本信号是平稳的，便可通过对样本信号xi(t)在在有限的时间范围内的测试分析，了解整个有限的时间范围内的测试分析，了解整个xi(t)的统计的统计特性。特性。 对于各态历经平稳随机信号，可以由其任一样本对于各态历经平稳随机信号，可以由其任一样本xi(t)指代。指代。 4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）各态历经平稳随机信号的功率谱（密度） x(t)的平均功率是有限的，定义为：的平均功率是有限的，定义为：22200)(1limTtTtTdttxTP 平均功率表达总体平均功率表达总体X(t)及其样本及其样本x(t)的总体强弱。的总体强弱。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号

35、的频谱分析 如图如图4-15，截取样本信号，截取样本信号x(t)的一段，构成时限信号。的一段，构成时限信号。4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）各态历经平稳随机信号的功率谱（密度） 可得：可得：其他0)2,2()()(00TtTtttxtxT dtetxfXftjTT2-2T)(1limdttxTPT 时限信号时限信号xT(t)可分解为可分解为 dfefXtxftjTT2 式中式中第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 4.1-33代入代入4.1-32可得可得4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）各态历经平稳随机信号的功率谱（密度） 定义：定义：dfTfXPTT

36、)(lim2 TfXfSTTx2lim 相应有：相应有： dffSPx Sx(f)df是频率为是频率为f的复指数谐波分量的平均功率。的复指数谐波分量的平均功率。Sx(f)称为随机信号称为随机信号x(t)的的双边功率谱（密度）函数双边功率谱（密度）函数，是，是表达随机信号统计规律的一个重要函数。表达随机信号统计规律的一个重要函数。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 单边功率谱密度函数单边功率谱密度函数Gx(f)定义为：定义为：4.1.5各态历经平稳随机信号的功率谱（密度）各态历经平稳随机信号的功率谱（密度） 0200ffSfGSGxxxx， 相应有：相应有： dffGPx0 G

37、x(f)df是随机信号是随机信号x(t)中频率为中频率为f的三角谐波分量的的三角谐波分量的平均功率。平均功率。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 从从x(t)的频谱中找出信号源的某些特征。如发动机，的频谱中找出信号源的某些特征。如发动机，发电机。发电机。通过对输入、输出信号频谱的比较分析，辨识信号通过对输入、输出信号频谱的比较分析，辨识信号测试系统的传递特性（如测试系统的传递特性（如频响函数频响函数frequence response function等）。等）。评估待测量信号的复杂程度，以便为其配置合适的评估待测量信号的复杂程度，以便为其配置合适的测量系统。（如估计信号的有

38、效频带）测量系统。（如估计信号的有效频带）4.2频谱分析的作用与频谱求取方法频谱分析的作用与频谱求取方法4.2.1频谱分析的作用频谱分析的作用第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析功率谱在设备诊断功率谱在设备诊断中的应用中的应用 汽车变速箱上加速汽车变速箱上加速度信号的功率谱图度信号的功率谱图 正常正常异常异常故障频率故障频率（a）（b）第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析向系统输入周期为向系统输入周期为T的信号的信号x(t),系统将输出同周期的系统将输出同周期的信号信号y(t) 输入：输入： TftnfAtxxnnxn1,2cos1100)(arg/)(11nn

39、fHAAnfHxnynxnyn输出：输出：1.线性时不变系统的频响函数辨识线性时不变系统的频响函数辨识 TftnfAtyynnyn1,2cos110 幅频特性：幅频特性： 相频特性：相频特性：第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析向系统输入时限信号向系统输入时限信号x(t),系统将输出时限信号系统将输出时限信号y(t) 输入：输入： -2)(dfefXtxftj)(/ )()(fXfYfH输出：输出：1.线性时不变系统的频响函数辨识线性时不变系统的频响函数辨识 dfefYtyftj-2)( 可得：可得：第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析向系统输入各态历经平稳随机

40、信号向系统输入各态历经平稳随机信号x(t),系统将输出各系统将输出各态历经平稳随机信号态历经平稳随机信号y(t)。记。记x(t),y(t)的双边功率谱密的双边功率谱密度为度为Sx(f),Sy(f),则有则有)(/ )()(fSfSfHxy)()()(fSfSfHxyx输出：输出：1.线性时不变系统的频响函数辨识线性时不变系统的频响函数辨识如果仿照如果仿照Sx(f)定义定义y(t)与与x(t)的的互功率谱密度函数互功率谱密度函数Syx(f),则有则有第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析周期信号的有效频带估计周期信号的有效频带估计 若已知周期信号若已知周期信号x(t)的单边功率谱，

41、则可由频谱图的单边功率谱，则可由频谱图分布试选有效频带下限为分布试选有效频带下限为 ，上限为，上限为 ，将功率较大的谐波分量保留在初选的有效频带内（图将功率较大的谐波分量保留在初选的有效频带内（图4-17）。此时，）。此时， 内谐波分量的合成信号为内谐波分量的合成信号为 hlfff, )2cos(1*nNNnntnfAtxhl2.信号的有效频带估计信号的有效频带估计 计算计算x*(t)的平均功率：的平均功率：1fNfllhlNNnnGP*1fNfhh第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析hlfff,2.信号的有效频带估计信号的有效频带估计 计算计算x(t)的平均功率：的平均功率：

42、dttxTPT02)(1 验算验算P*/P: 如果如果P*/P略大于略大于（常取（常取0.90.990.90.99），则可认为），则可认为x(t)x(t)的有效频带为的有效频带为 ，即在工程上可由，即在工程上可由x x* *(t)(t)代替代替x(t).x(t). 如果如果P P* */P,/P2fhfs2fh时，有时，有 2,2ssffffXfX第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 将式将式4.3-74.3-7和式和式4.3-104.3-10代入上式，有代入上式，有 22NNknxDFSkXCk 比较此式两边，并注意到比较此式两边，并注意到fs=Nf1,fs=Nf1,便可得便

43、可得2,211sskkkfffkffkXkffC 因为因为fs2fhfs2fh时，时，N/2Nh,N/2Nh,所以上式已给出了所以上式已给出了x(t)x(t)的的所有非零频谱。所有非零频谱。 可见，对于周期信号可见，对于周期信号x(t),如果采样间隔如果采样间隔Ts=T/N,并且并且满足香农采样条件，则可以由满足香农采样条件，则可以由DFSxn得到得到x(t)频谱的频谱的精确结果。精确结果。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析2.2.频谱混叠状况下的近似计算频谱混叠状况下的近似计算2,21ssffkf 只有在满足采样定理的条件下，在只有在满足采样定理的条件下，在 的范的范围内围

44、内C Ck k=C=Ckk=Xk=DFSxn=Xk=DFSxn。 2,2ssfff 实际上严格满足采样条件是很困难的，如果实际上严格满足采样条件是很困难的，如果fsfs足够足够高，高， 时时CkCk非常小，频谱混叠不严重，仍然可非常小，频谱混叠不严重，仍然可以由以由XkXk比较精确地逼近比较精确地逼近Ck.Ck. 如果频谱混叠严重，则可以利用如果频谱混叠严重，则可以利用xn,xn,通过线性插通过线性插值或抛物线插值构造一个逼近值或抛物线插值构造一个逼近x(t)x(t)的连续时间信号的连续时间信号x x* *(t),(t),则则x x* *(t)(t)的复频谱的复频谱C C* *k k通常能较好

45、地逼近通常能较好地逼近Ck,Ck,不受不受频谱混叠的制约。频谱混叠的制约。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析4.3.2非周期信号频谱的数字计算非周期信号频谱的数字计算 1. 1.理想状态下的结果与离散傅里叶变换（理想状态下的结果与离散傅里叶变换（DFTDFT） ssfnTjNnsfnTjnsenxTenxTnxFfX2102 对时限信号对时限信号x(t)x(t)（t t属于属于0 0，Ta)Ta)以以TsTs为间隔离散采为间隔离散采样，得到延续区间为样，得到延续区间为n n属于属于0,N-10,N-1的有限长度离散信号的有限长度离散信号xn.xn.由式（由式（4.3-44.3

46、-4）可得）可得knNjNnsenxTkfX210)( 用计算机计算频谱时，只能计算它在有限个频率点用计算机计算频谱时，只能计算它在有限个频率点上的离散采样值。于是，考虑以上的离散采样值。于是，考虑以f=fs/N=1/NTs=1/Taf=fs/N=1/NTs=1/Ta为频率间隔，对频谱进行离散采样，得为频率间隔，对频谱进行离散采样，得第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 1. 1.理想状态下的结果与离散傅里叶变换（理想状态下的结果与离散傅里叶变换（DFTDFT） kXIDFTNnekXNnxdefknNjNn10,1210knNjNnenx210 上式中的运算上式中的运算 通常

47、称为对通常称为对n n属于属于0,N-10,N-1有限时常信号有限时常信号xnxn的离散傅里叶变换，用的离散傅里叶变换，用DFTDFT表示，结表示，结果记为果记为Xk,Xk,即即 不难验证，不难验证，XkXk是是k k的周期函数，周期为的周期函数，周期为N N，并可导出，并可导出 kXenxnxDFTknNjNn210 其中定义的其中定义的IDFTIDFT称为为称为为XkXk的离散傅里叶逆变换的离散傅里叶逆变换第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 1. 1.理想状态下的结果与离散傅里叶变换（理想状态下的结果与离散傅里叶变换（DFTDFT）hhffffX,0)( 22,ssfff

48、fXfX 于是有于是有 假定假定x(t)x(t)是最高谐波频率为是最高谐波频率为fhfh的带限信号，即的带限信号，即 kXTkfXs 如果如果fs2fh,fs2fh,则由则由 22102kXTkfXfffenxTfXsNnssfnTjss 有有第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 2. 2.频谱混叠状况下的近似计算（同上节）频谱混叠状况下的近似计算（同上节） 频谱的取样间隔为时域取样长度的导数频谱的取样间隔为时域取样长度的导数 ，TaTa不能随意取大，因此不能随意取大，因此f f不能随意取小。不能随意取小。aTf1 3. 3.栅栏效应栅栏效应问题问题 于是对某些频谱变化比较剧烈

49、的信号，于是对某些频谱变化比较剧烈的信号， f f会显得过会显得过宽。（如图所示）没能有效描述原信号频谱的波动规律。宽。（如图所示）没能有效描述原信号频谱的波动规律。这种由于频率取样间隔过大而不能有效表达频谱特征的这种由于频率取样间隔过大而不能有效表达频谱特征的情况，称为情况，称为栅栏效应栅栏效应。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。无穷大。分析时应注意怎样获得准确的频谱。分析时应注意怎样获得准确的频谱。第第4 4

50、章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 对于延续时间对于延续时间有限的信号，首先要使取样时段要有限的信号，首先要使取样时段要包含信号的延续区域包含信号的延续区域Ta ,Ta ,否则会引起频谱泄露。否则会引起频谱泄露。 3. 3.栅栏效应栅栏效应问题问题 将信号延续区间以后的零值取样进去而增大将信号延续区间以后的零值取样进去而增大TaTa，而，而使频谱细化。（使频谱细化。（补零细化补零细化） 减小栅栏效应的办法就是增加减小栅栏效应的办法就是增加TaTa长度，但加大计算长度，但加大计算负担。负担。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟

51、的无限长信号。为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。 用计算机进行测试信号处理时，不可能对无用计算机进行测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析，这个过程称间片段进行分析，这个过程称信号截断信号截断。 4.3.4频谱泄露与合理取样频谱泄露与合理取样第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏能量泄漏第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面周期延拓后的信号与真

52、实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。况。 设有余弦信号设有余弦信号x(t), x(t), 用矩形窗函数用矩形窗函数w(t)w(t)与其相乘，与其相乘，得到截断信号得到截断信号: y: y(t) =x(t)w(t) (t) =x(t)w(t) 将截断信号谱将截断信号谱 X XT T()()与原始信号谱与原始信号谱X()X()相相比较可知，它已不是原比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱段振荡的连续谱. . 原来原来集中在集中在f0f0处的能量被分处的能量被分散到两个较宽的频带中散到两个较宽

53、的频带中去了，这种现象称之为去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。频谱能量泄漏。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 1. 1.加窗取样加窗取样其余02/2/1,1wcwccwtttttttt对信号对信号x(t)x(t)进行有限长截取相当于将其与一个在截取区进行有限长截取相当于将其与一个在截取区间以外恒为间以外恒为0 0的窗函数的窗函数w(t,tw,tc)w(t,tw,tc)相乘，形成另一个信相乘，形成另一个信号。即号。即 cwwttttxtx,)(相应计算结果实际是此相应计算结果实际是此xw(t)xw(t)的频谱。的频谱。图图4-39(a)4-39(a)直接截取的窗函数波形呈矩形

54、，称为矩形窗直接截取的窗函数波形呈矩形，称为矩形窗图图4-39(a)4-39(a)第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析常用的常用的窗函数窗函数(window function)(window function) 1 1）矩形窗）矩形窗 矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。 这种窗的优点是这种窗的优点是主瓣比较集中主瓣比较集中，缺点是，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。 第第4 4章章 测试信号的频

55、谱分析测试信号的频谱分析2 2）三角窗）三角窗 三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣但旁瓣小，而且无负旁瓣 第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析3 3）汉宁窗）汉宁窗从减小泄漏观点出发，汉宁窗优从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。力下降。第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析常用窗函数常用窗函数 对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而

56、不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。 第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 2. 2.截尾取样截尾取样其余01),(1bbttttc其余0/cos46. 054. 01,4wbwbbwbtttttttttttc 对于初始变化幅度较大的有始信号，一般应采用半对于初始变化幅度较大的有始信号，一般应采用半边窗截尾，即原样保持起始的信号波形，以尽量减小泄边窗截尾，即原样保持起始的信号波形，以尽量减小泄

57、露效应。露效应。矩形截尾函数矩形截尾函数三角形截尾函数三角形截尾函数升余弦形截尾函数升余弦形截尾函数其余0/cos5 . 05 . 01,3wbbwbbwbttttttttttttc其余0/ )(11,2wbbwbbwbttttttttttttc改进升余弦改进升余弦形截尾函数形截尾函数第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析 3. 3.补尾取样补尾取样bttcwtxtx,)()(11 fCfXfX1 对于延续时间较长的有始信号对于延续时间较长的有始信号x(t),x(t),一种有效抑制频一种有效抑制频谱泄露的取样办法是，以合适的取样长度矩形截尾，得谱泄露的取样办法是，以合适的取样长度

58、矩形截尾，得 然后根据截尾前信号的变化趋势，选择合适的函数然后根据截尾前信号的变化趋势，选择合适的函数形式，通过对截尾前一段信号的形式，通过对截尾前一段信号的回归分析回归分析，估计出截，估计出截尾点后信号变化的一个可解析求取频谱的近似表达式尾点后信号变化的一个可解析求取频谱的近似表达式c(t),c(t),得到得到 式中，式中，X1(f)X1(f)由数字计算得到，而由数字计算得到，而C(f)C(f)由解析求取。由解析求取。 tctxtx1 从而可以得到信号的频谱为从而可以得到信号的频谱为第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析12)()(ftjefYfX1.1.信号时移预处理信号时移

59、预处理对图对图4-464-46所示起点为所示起点为t1t1的的x(t)x(t)信号，可令信号，可令y(t)=x(t+t1),y(t)=x(t+t1),使使y(t)y(t)符合符合DFTDFT计算频谱的要求（起点在计算频谱的要求（起点在0 0时刻）。时刻）。 由由Y(f)Y(f)换算出换算出X(f).X(f). 12)(argarg,ftfYfXfYfX 即即4.3.5数字计算频谱的预处理数字计算频谱的预处理 然后，根据然后，根据第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析2.2.防混叠滤波处理防混叠滤波处理 若若x(t)x(t)所含谐波频率所含谐波频率fhfh很高，直接离散采样很难满很

60、高，直接离散采样很难满足足fs2fhfs2fh的要求。在只需分析了解其低频谐波情况（低的要求。在只需分析了解其低频谐波情况（低频率段频谱）时，可用低通滤波器将不需了解的高频成频率段频谱）时，可用低通滤波器将不需了解的高频成分滤掉，使剩余成分的最高谐波频率减小到分滤掉，使剩余成分的最高谐波频率减小到fhfh* *, ,可在满可在满足足fs2fhfs2fh* *的条件下离散采样，保证得到精确的低频段的条件下离散采样，保证得到精确的低频段频谱。这就是频谱。这就是防混叠滤波防混叠滤波。4.3.5数字计算频谱的预处理数字计算频谱的预处理第第4 4章章 测试信号的频谱分析测试信号的频谱分析A/DA/D采样