第三章流体动力学

1、第三章 流体动力学Chapter 3 Hydrodynamics 流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律，即研究作用在流体上的力与流体流动行为之间关系。 在流体静力学中，主要研究作用在静止或相对静止流体体系上的质量力(体积力)与表面力的平衡关系。这种力是外界或通过外力场作用在流体体系上的，所以称之为外力。 当流体体系处于任意的流动状态时，流体除了仍然受到以上提到的力的作用外，根据牛顿粘性定律，处于不均匀流速流动状态的流体内部会产生抵抗流动不均匀性的粘性力。当流动不稳定时，还会产生惯性力。于是，外界作用力、粘性力和惯性力等力的平衡关系共同决定了特定流体体系的流动行为。 流体动力学就是基于有关

2、的物理定律，通过建立相应的平衡数学方程，来定量描述流体的流动行为，如：流动方式，速度的方 向、大小和分布等。流体动力学所涉及到的三个基本物理定律：n1、3定律在传热、传质篇中要用到，如：流动传质方程和流动传 热方程；描述流体及流动还涉及到一些辅助的定律，如理想气体定律等。3.1流体动力学有关基本概念 一、流场(flow field)流速流速：流动体系中某一质点m在单位时间内迁移的 距离及方向，称为该质点处的速度矢量 ；流场流场：在某一充满运动流体空间 中，所有质点的 速度矢量总集称为该域的流场。表示为：mv( , , , ),( , ,)v x y z tx y z 流场符合数学场论中有关场量

3、的定义，且是矢量场。 可分解在空间坐标上的分量形式，如在三维直角坐标系（x, y, z）中， 可以表示为：式中：Vx, Vy, Vz为 在坐标（x, y, z）上的投影，也是个场量； 分别为x, y, z坐标方向上的单位矢量vv( , , ,( , , ,( , , ,xyzv v x yzt i v x yzt j v x yzt k）v, ,i j k 二、稳定流动和非稳定流动 Steady flow and unsteady flow 一般情况下，流场不仅随空间位置变化，而且还随时间变化，根据流场是否为时间t的函数，将流体流动分为稳定流动和非稳定流动。定义：流场与时间t无关的流体运动状态

4、，称为稳定流动；否则，为非稳定流动.n稳定流动：n非稳定流动： 由定义可知，无论是稳定流动还是非稳定流动，其流速在空间中的分布通常是不均匀的，即，都是 的 函数。( , , , )vv x y z t( , , ,)vv x y z( , , )x y z 三、迹线与流线 Trace and Streamline迹线迹线：流场中某一位置处的流体质点在一段时间内运动的轨迹线称为该质点运动的迹线。流线流线：在某一时刻流场中从某质点A起流速方向上的相邻质点的依次连线称为流场中在该时刻通过该质点A的流线。流线的性质：流线的性质：在任意时刻下，流场中的任何流线均不相交； 在非稳定流场中，通过质点A的流线

5、的形状是随时间t变化的，只有在稳定流场中，A质点流线的形状才不会发生改变，且与A质点的轨迹线重合。四、流管、流束与流量流管流管：在流场中作一本身不是流线又与流线相交 的封闭曲线，通过这一封闭曲线上各点的 流线所构成的管状表面；流束流束：流管内部的流体；有效截面有效截面：处处与流线相垂直的流束的截面积；流量流量：单位时间内流过某一有效截面的流体量称 为流过该表面的流量 Q m3/s数学上流量的表达式为：式中： v 为流速，dA有效截面微元面积流量有体积流量和质量流量之分，(3-3)为体积流量,质量流量为：平均流速平均流速：流过某一有效截面A的体积流量Q与有效截面积A的比值称为通过该面积的平均流速

6、 ，表示为：(33)vAQvdA()mvAQvdAQ为常数时v1/AvQAvdAAvI 五、动量率及动量通量 Rate of Momentum and Momentum Flux 流体本身具有质量，当处于流动状态 时，流体就具有动量 ，为表示动量强度的大小，要定义动量率和动量通量的概念。动量率动量率：单位时间内流动流体通过面积A传递的动量值;动量通量动量通量：流体在单位时间内，通过单位面积所传递的动量，其值为： 单位： 动量率和动量通量均为矢量。vmv/Imv At22221/()kg mkgmskgsmss mm对流动量通量对流动量通量 Convectional Momentum Flux

7、流体的流动及粘性均会产生流体动量的传递，所以相应地，动量通量又分为对流动量通量和粘性动量通量。 由质点m以 速度迁移起对流动量通量： vIv/vImv At例流体沿x轴方向流动，速度为Vx，流过的面积Ax=dydz，单位时间内流过Ax面积的质量为：单位时间内流过Ax面的动量率为: 在x方向的动量通量为：/xxm tv Akg2/()/xxxxmvtv A vkgm s2()/()xvxxxmvIv vkgsmt A粘性动量通量 ：Viscous Momentum Flux I./0/xxxadvdyvdvdy在速度梯度下()，由流体的粘性引起；特点：b.与速度方向垂直，与方向相反；由于 ， 沿

8、y正方向增加，则根据牛顿粘性定律，粘性引起的动量传输方向为-y方向。y方向的单位时间内通过面积Ay=dxdz的粘性动量率为：y方向的粘性动量通量为：xxvv/0 xdvdy xyxydvAdxdzdy ()()xxxyxdvdvdvIdydydy 2/()Kgs m单位： 流体不论是处于静止或流动状态，均处于力和能的两种平衡状态。前者就是静力平衡，后者称为动量平衡。若只用作用力的形式来表示这种平衡关系时，则在能量平衡时作用在流动系统上的合力为零；若用动量的形式表示，则在能量平衡时，系统的动量输出和输入的净差值，以及其他形式的作用力之和必然等于系统的动量累积量。3.2 流体动量平衡方程及其应用M

9、omentum Balance and its application动量平衡方程（文字） 流体的动量平衡时能量守恒定律在动量传输中的体现，对于非稳定流动系统来说，其动量平衡关系式可用 文字表示为： 动量率输入量-动量率输出量+系统作用力总和 =动量率的积累量 对于稳定流动系统，由于系统内的动量不随时间变化，没有动量积累量，其动量平衡关系式可以表示为： 动量率输入量-动量率输出量+系统作用力总和=0一、层流状态下流体在两平行板间的流动 Flow Between Parallel Plates 设板宽为W，在完全发展的区域内(x=0 l)，薄层的对流量收入：薄层的对流量支出： 薄层粘性动量率收入

10、：薄层粘性动量率支出： 作用在薄层上的力：0 xxxW yvvxxx lW yvvyxyLWyxyyLW0lyW PP220000000101000lim0,00 xxxx lyxyyxyyLyxyyxyyLyxyyyxyLyyxLLyxLyxyxWyVWyVLWLWWy PPLWLWWy PPPPyLdPPPPyCdyLLPPyCyL 薄层的动量率收支差薄层上的作用力0002221200222max320001()11,02211(),222133LxxyxLLxxLLxLLxxPPdVdVydyLdyPPPPVyCyVCLLPPPPVyVLLPPPPWQVV dyLL 如图所示有一垂直半径

11、为R，长度为L的直圆管，假定：圆管内为层流流动；流体的密度和粘度分别为 圆管上、下两端流体所受压力分别为P1和P2 。求：圆管内的速度分布？二、圆管中的层流流动 Flow Through a Circular Tube和 以下将结合垂直圆管内的稳定层流问题，阐述流动流体动量平衡原理的应用并定量分析流体的流动行为。分析：在稳定层流流动状态下，粘性流体中的速度只沿径向r变化；取图示方向的柱面坐标系统，即：Vz=Vz(r)；为能描述圆管内沿r向变化的速度分布Vz(r)，应取图示的微元体，厚 ，长L，半径为r的薄筒，并建立该微元题的动量平衡关系式。Z方向上的动量率输入(A端，Z=0): Z方向上的动量

12、率输出(B端，Z=L): R方向上的动量率输入(内侧，r):R方向上的动量率输出(外侧， ): 表面力为Z=0和Z=L端的压力差： 体积力为微元体的质量力：rrr20222zzzz LrrVrrV 2()2 ()zrrzrrdVr LdrrrL 122()rrPP 2 rr Lg 根据动量平衡方程得到薄筒微元体具体方程式：整理并取极限得：边界条件：220122()2()2()20zzzz LrzrrzrrrrVVL rrrrr PPrr L g 120()()lim()rzrzrzrrrrd rPPg rrdrL 00(0)10(0)2rzzzdVrdrrrVV处，中心处处，静止管壁第一次积分

13、：利用边界条件(1)得：第二次积分：利用边界条件(2)得：121211()22zzrzrzPPdVdVPPgrgrLdrdrL 2212( )()1(330)4zPPRrV rgLR 结果讨论 Results and Discussions 由(3-30)可见，稳定层流的圆管内速度为r向的抛物线函数特征：1.最大速度(r=0处)：2.平均流速：3.通过圆管的体积流量：212max(0)(331)4zz rPPRVVgL2122012(332)8RzzPPRVVrdrgRL4212()(333)8zPPRQRVgL例3-2 设温度为16C的水流过直径为0.16cm的水平圆管，管中单位长度的压差为

14、 (压力梯度)求通过该管的质量流量。29.0252 10/Pa m 上节中，应用流体流动动量平衡方程关系式(3-20)定量分析了垂直圆管内流动速度分布，其基本步骤如下： 根据流动特点取相应的坐标系和控制微元体； 建立微元体上作用的所有力及各种动量输入/输出的动量 平衡关系式的数学表达式，经整理取极限，便可得到该 问题的动量平衡关系式的微分方程； 找出相应的边界条件(初始条件，如果是非稳定流动); 积分求解 。3.3流体流动的质量守恒方程 Conservation of Mass in Fluid Flow以上步骤对定量分析其他流体流动问题也是一样的,只是坐标系与微元体的形式不同。实际上，前两个

15、步骤可以省略，可通过应用于个对任何层流流动情况都适用的通用的流动平衡微分方程关系式来取代。 在建立这样的一种普遍适用的动量平衡描述方程之前，需要特别指出：唯一确定一流体体系的流动状态,需要两个基本物理量：( , , , )( , , , )V t x y zP t x y z流场：压力场：即，描述流体层流流动是双变量参数的，通常在一般流动体系中，这两个参量都是未知的，需要求解。由于描述一个双因变量的问题，需要两个线性无关的微分方程才能构成封闭的微分描述方程组，所以由流场和压力场决定的双变量流体层流流动一般性问题，同样需要两个不同的微分描述方程。这两个方程就是分别基于流动流体质量守恒和动量守恒原

16、理导出的：1.()NavierStokes NS流体质量守恒方程也称连续方程2.流体动量守恒方程方程 如图所示，变截面管道中的流动，对于稳定流动，根据上述质量平衡方程式，流入A1面和流出A2面的流体质量应该相等。即:当流体不可压缩有： 1 11222vAvA= 在流体流动过程中，必然会伴随着流体质量的传递和转移，但是根据质量守恒定律，无论流体如何流动，其流动过程中的质量传递必须满足如下质量守衡方程式:流体质量流入量-流体质量流出量=体系质量积累量12Const21122121AvAvAvvA或在任意的流场中取一图示的六面体微元体dxdydz，设流体的密度为 。由于流动是任意的，则在一般情况下，

17、在所取微元体的六个面上均有流动速度，取坐标正方向为各面的流动速度方向，如图示。 v质量时间 面积先考察x方向上的质量流入流出情况：左面(x处)流入：右面(x+x处)流出：流入流出：xv dydzdydzdxxvvxx)(dxdydzxvx)( 同理，y轴和z轴上流动的速度分量所产生的流体质量净增值分别为：y方向： z方向： 对于非稳定流动，微元体的质量积累表现为微元体重流体密度随时间变化，即微元体在单位时间内的质量积累量为:()zvdxdydzz()yvdxdydzydxdydzt流体质量守恒方程连续性方程Mass Conservation Equation of Continuity 将以上

18、各项代入质量守衡文字方程中，整理后得到流动流体连续性方程的一般表达式：对于不可压缩流体，密度为常数，则上式变为：表明密度为常数的流动流体中，任意一点流速的散度为零。0(344)yxzvvvxyz()()()0yxzvvvtxyz 在流场中任取一微元体dxdydz，由于所需推导的是广义动量平衡方程，故通过微元体六个面上都有三个坐标轴方向上的流体流动，并在三个方向上都可能出现速度梯度。这种广义的三方向流动和速度梯度都会共同影响一个方向上的动量平衡。3.4 Navier-Stokes Equation广义的不可压缩粘性流体动量平衡方程 x轴方向上的对流动量传输 通过左、右dydz面输入和输出微元体质

19、量流率差值在x轴方向上引起的对流动量率差值应为： 通过前、后dxdz面输入和输出微元体质量流率差值在x轴方向上引起的对流动量率差值应为： 通过上、下dxdy面输入和输出微元体质量流率差值在x轴方向上引起的对流动量率差值应为：()xxxxxxxx dxv vdydzv vv vdydzdxx ()yyyxyyxy dyv vdxdzv vv vdxdzdyy ()zyzxzzxz dzv vdxdyv vv vdxdydzz x轴方向上粘性动量传输 在x轴方向上通过流体流速Vx在在x轴方向上出现的速度梯度经左、右dydz面输入和输出微元体的粘性动量率差： 在x轴方向上通过流体流速Vx在在y轴方向

20、上出现的速度梯度经左、右dxdz面输入和输出微元体的粘性动量率差： 在x轴方向上通过流体流速Vx在在z轴方向上出现的速度梯度经左、右dxdy面输入和输出微元体的粘性动量率差：22()xxxxxvvxdydzxdydzdxdxdydzxx 22()xxxyxy dyvvydxdzdxdzdydxdydzyy 22()xxxzxz dzvvzdxdydxdydzdxdydzzz x轴方向上作用力 在x轴方向上作用在左、右dydz面上的压力差： 在x轴方向上作用在微元体上由重力引起的质力：考虑到流场为非稳定流场，则x方向上积蓄在微元体上的动量率：将上述四种动量率和力代入动量平衡方程式，并整理得:xx

21、Pdydz PPdxdydzx xg dxdydzxvdxdydzt222222()()()()()(346)yxxxxzxxxxxv vvv vv vvvvPgtxyzxyzx 如果流体不可压缩，利用流体质量平衡方程(3-44)，对上式运算得：同理可得在y和z轴方向上的动量平衡方程：联立的式(3-47) (3-48) (3-49)即为直角坐标系中不可压缩 牛顿流体的广义动量平衡方程Navier-Stokes方程222222()()(347)xxxxxxxxyzxvvvvvvvPvvvgtxyzxyzx222222()()(348)yyyyyyyxyzyvvvvvvvPvvvgtxyzxyzy

22、222222()()(349)zzzzzzzxyzzvvvvvvvPvvvgtxyzxyzz 上述三式中任一式可见：式中左边括号内的各项和为全加速度，右边第一项为粘性力。故这些式子的物理意义为： 惯性力=粘性力+压力+重力 Navier-Stokes方程的限制条件为：重力场下的层流流动(严格地说，也适用于脉动空间尺度下的紊流)；流体不可压缩； 粘度为常数。 在柱面坐标系和球面坐标系下，流体动量传输方程具体数学表达式的形式差别很大，但基本物理意义是相同的，分别适用于轴对称流体流动和中心对称的流体流场合。222222222222222221121112rrrrrrrrzrrrrrzvvvvvvvv

23、vPvvtrrrzrrrrrvvvgrrzvvvvv vvvvvPvvtrrrzrrrrrvrr 2222222223501rzzzzzzzzzrzzvvgzvvvvvvvvvvPvvgtrrzzrrrrz 不可压缩液体的连续性方程为：10(351)rrzvvvvrrrzNavier-StokesEquation in Cylindrical Coordinates：3.5 流体流动时的欧拉方程 理想流体动量平衡方程 通过前面几个流体动力学例子及粘性流体动量传输的推导可知，流体的粘性动量传输的作用对于流体流动行为的影响是很大的。特别是当粘性或速度梯度很大时。同时也使得流动的定量分析问题变得复杂

24、。因为从N-S方程知,粘性动量传输使动量方程中出现有关流动速度的二阶偏微分项。 工程中的很多问题的处理中，常常忽略流体的粘性作用(一方面一些流体的粘性很小，另一方面是为简化问题的一种近似的做法)，即将流体视为理想流体(设粘度为0) 。 描述理想流体的动量平衡传输方程可以从粘性流体动量方程经简化得到(令0) ：对于稳定流动：()()(352)()xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzvvvvPvvvgtxyzxvvvvPvvvgtxyzyvvvvPvvvgtxyzz ()()(353)()xxxxyzxyyyxyzyzzzxyzzvvvPvvvgxyzxvvvPvvvgxyzyvvvP

25、vvvgxyzz 3.6 两平行板间的层流流动Laminar Flow Between Parallel Plates 设有两块平行平板构成的流道，有粘性为的流体在X轴方向上的压力dp/dx的作用下和上面平板沿X轴方向以速度V0的带动下，作X轴方向流动：积分两次得：利用边界条件：得：讨论 如果只有上平板的 带动平行板间的流体流动，则 得： 在y=h处，平均流速： 如果上平板不动 ，只靠x方向的压力差 ，则：21212xdPVyC yCdx00,0;,xxyVyh VV01()2xdPyVy yhVdxh0v/0dP dx 0 xyVVhmax0 xVV00011122hxVV dyVQVWhV

26、 Whh00v /dP dxx LxPPdPPdxLL 得： 将 代入，得： 即在 处： 与(3-18)式完全相同；平均速度： 与(3-19)式完全相同； 与(3-20)式完全相同；在既有平板带动，又有压力驱动的平板间的流量为：1()2xPVy hyL012yyh00111222xPVyhhyL220122xPhVyL22max282xhhPPVLL00y 20112hxxhPVV dyhL3212WhPQL3121212WhPQQQWhL3.7 平板边界层中的流动Boundary Layer of Flow Parallel to a Flat Plate 一、边界层的概念 当一粘性的流体以

27、某一均匀速度V0平行平板流过时，由于流体的粘性作用，接触静止平板的一薄层流体速度为零，并随离开平板的距离逐渐增大到流速Vx如图所示。 在流体刚接触静止平板时，这种速度变化区(平板通过流体粘性的速度影响区)较小，随流体进一步向前流动。由于流体的粘性动量向上传输，这种速度变化层厚度不断增大。0v 在速度 的变化层内越靠近平板，速度变化率越大；越远离平板， 的变化越小，并缓慢地趋近于来流速度 。 将靠近平板附近的速度变化层定义为速度边界层。 并将 的对应高度 定义为速度边界层厚度 由图可见 随x逐渐增加。( )x yv( )x yv0v( )00.99x yvv( )x( )x 流体边界层对流体与平板壁之间的动量传输(表现为粘性力)及热量传输、质量传输有很大的影响：在边界层以上 ，对流作用很强，传热传质以对流为主；在边界层之内 ，特别接近平板处以扩散为主。 因而在定量计算流体与容器壁之间的对流传热和传质时，需要确定其流动边界层的特性，特别是厚度 。yy( )x