第3章__复变函数的积分

1、 复积分是研究解析函数的一个重要工具复积分是研究解析函数的一个重要工具. 解析函数的许解析函数的许多重要性质要利用复积分来证明多重要性质要利用复积分来证明. 例如要证明例如要证明“解析函数解析函数的导函数连续的导函数连续”及及“解析函数的各阶导数存在解析函数的各阶导数存在”这些表面这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分. 本章要建立的柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要，本章要建立的柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要，是复变函数论的基本定理和基本公式，以后各章都直接地是复变函数论的基本定理和基本公式，以后各章都直接地或间接地和它们关联

2、或间接地和它们关联. 1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1积分的定义积分的定义 设设 是以是以 为起点，为起点， 为终点的光滑或分段光滑曲线，为终点的光滑或分段光滑曲线，复变函数复变函数 在在 上有定义，在上有定义，在 上沿着由上沿着由 到到 的方的方向依次取分点，向依次取分点， ，将，将 分成许多小段分成许多小段. C0zZ( )f zCC0zZ011, nnz zzzZC2z1z1kzkz1nz21kn对应于每段作乘积对应于每段作乘积 ，其中，其中 是以是以 及及 为端点为端点的那小段弧上的任意的那小段弧上的任意一点一点 再作出和式再作出和式 ()kkfzk1kzkz1,kkkzzz

3、1()nnkkkSfz0zay0 xZbC图图3.1 令令 为所有小段的弧为所有小段的弧长的最大值，当分点长的最大值，当分点无限增多而无限增多而 时时0如果不论对如果不论对 的分法及的分法及 的取法如何，的取法如何， 有唯一极限，有唯一极限，那么称函数那么称函数 在在 上上可积可积，而称这极限值为函数，而称这极限值为函数 沿沿 曲线曲线 的的积分积分，记作，记作 CknS( )f zC( )f zC1( )lim()limnkknCnnkf z dzfzS2积分的性质积分的性质 由复变函数积分的定义，不难看出，这个积分具有曲由复变函数积分的定义，不难看出，这个积分具有曲线积分的一切基本性质，不

4、待多述线积分的一切基本性质，不待多述. 特别，如果在曲线特别，如果在曲线 上上 连续，连续， ，而，而 的长为的长为 ，则，则 C( )f z( )f zMCL( )( )CCf z dzf z dsML事实上，我们有事实上，我们有111()()()nnnkkkkkkkkkfzfzfs两端取极限，得两端取极限，得( )( )CCf z dzf z ds 这里这里 表示连续函数（非负的）表示连续函数（非负的） 沿沿 所取所取的曲线积分（第一型），因此便得不等式的第一部分的曲线积分（第一型），因此便得不等式的第一部分. 又因又因 ( )Cf z ds( )f zC11()nnkkkkkfsMsML

5、所以所以 ，这是不等式的第二部分，这是不等式的第二部分. ( )Cf z dsML3积分的存在条件与计算积分的存在条件与计算 设按段光滑曲线设按段光滑曲线 由参数方程：由参数方程： 给出给出. C( )( )i ( )zz tx ty t()t 若若 在在 上连续上连续. 则则 及及 在在 上都连续上都连续. ( )( , )i ( , )f zu x yv x yC( , )u x y( , )v x yC 记记 ，由于，由于 ikkk111(i)(i)kkkkkkkzzzxyxy11()i()kkkkxxyyikkxy 11() (,)i (,)(i)nnkkkkkkkkkkfzuvxy

6、1 (,)(,) i (,)(,)nkkkkkkkkkkkkkuxvyuyvx 11 (,)(,) i (,)(,)nnkkkkkkkkkkkkkkuxvyvxuy 根据线积分存在定理，上式取极限时，右端的实部与根据线积分存在定理，上式取极限时，右端的实部与虚部两个和式的极限都存在，因而有虚部两个和式的极限都存在，因而有 ( )iCCCf z dzudxvdyvdxudy 因此，当因此，当 是连续函数，而是连续函数，而 是光滑曲线时，积分是光滑曲线时，积分 是一定存在的是一定存在的. ( )fzC( )Cf z dz 根据线积分的计算方法，我们有根据线积分的计算方法，我们有 ( ) ( ),

7、( ) ( ) ( ), ( ) ( )Cf z dzu x ty t x tv x ty ty t dti ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )v x ty t x tu x ty ty t dt上式右端可以写成上式右端可以写成 ( ), ( )i ( ), ( ) ( )i ( )u x ty tv x ty tx ty t dt ( ) ( )f z t z t dt所以所以 ( ) ( ) ( )Cf z dzf z t z t dt 例例1. 计算积分计算积分 是连接是连接 及及 两点的光滑曲两点的光滑曲线。线。,CzdzC0zZ解解：1111111lim()lim()

8、()22nnkkkkkkkCnnkkzdzzzzzzzz222210111lim()()22nkknkzzZz 例例2. 计算计算 的值，其中的值，其中 为为 1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段： 2）沿从）沿从 到到 的线段的线段 ： 与从与从 到到 的线段的线段 ： 所接成的折线所接成的折线. CzdzC(0,0)(1,1), (01)xt ytt (0,0)(1,0)1C,0, (01)xt yt (1,0)(1,1)2C1, (01)xytt 解：解：1）1100(i )(1 i)21Czdzttdttdt121100(1i )iCcczdzzdzzdztdtt dt11(i) 1

9、i22 2） 例例3. 计算计算 ，其中，其中 为以为以 为中心，为半径的为中心，为半径的0()nCdzzzC0zrn 解：解： 的方程可写作的方程可写作Ci0, 02zzre 所以所以 i2i00i()nnnCdzredzzr e2i(1)10innedr210icos(1)isin(1) nnndr2 i 10 1nn正向圆周，正向圆周， 为整数为整数. （a）上半圆周上半圆周 （b）下半圆周下半圆周其中设其中设 表示平方根的主值表示平方根的主值. 例例4. 沿从沿从 到到 的如下路径求的如下路径求 . 111Cdzz1z 1z zyx02C1C11图图3.2 解：解：（a）在积分路径在积

10、分路径 i1|, 0Cz zezi2,eii,dze d1iiii22200012iii2(i 1)2 2iiCdzee de dez 上，上， 主值主值 （b）在积分路径在积分路径 上，上， 的主的主值值 ，i2|, 0Cz zezi2eiidze d 2iii22001( i)iCeededzdzi202i2( i 1)2 2iie 例例5. 计算计算 ，其中，其中 是单位正方形的周线是单位正方形的周线 CxdzCyx04C3C2C1C图3.3 解：解：10iCt 01t 21(1)iCt 12t 3(3)iCt23t 40(4)iCt34t 11012Cxdztdt2211Cxdzdt3

11、3232251(3)( 1)33222Ctxdztdtt 440 ( 1)0CCxdzdt 因此因此 1234CCCCCxdzxdzxdzxdzxdz111 ()0122 例例6. 计算积分计算积分 ，其中路线，其中路线 是：是：(1) 连接连接C1CReCzdz0 到到 1+i 的直线段；的直线段；(2) 从从0到到1的直线段的直线段 与从与从 1到到 1+i 的直线段的直线段 所连接成的折线；所连接成的折线；(3) 半圆半圆 ，（始点为，（始点为1）。）。2C| 1z 0arg z(1 i) ,( )1 iztz t 解解：(1)参数方程为参数方程为10ReRe(1i) (1i)Czdzt

12、dt12100(1i)1i(1i)22ttdt (2)1101Re2Czdztdt210ReiiCzdzdt121ReReRei2CCCzdzzdzzdz (3) 参数方程为参数方程为 ，于是，于是ie, 0z2ii001Recos iei2Cezdzdd2i00iie22dd 从而从而2 柯西积分定理柯西积分定理 1柯西积分定理柯西积分定理 以上的积分定义是对一般连续函数给出的，我们所以上的积分定义是对一般连续函数给出的，我们所最关心的当然不是一般连续函数的积分，而是解析函数最关心的当然不是一般连续函数的积分，而是解析函数的积分的积分. 下面的定理是解析函数理论中的基本定理，以下面的定理是解

13、析函数理论中的基本定理，以后的许多结果都是建立在这个定理的基础之上的后的许多结果都是建立在这个定理的基础之上的. 为简为简单计，称简单光滑闭曲线为单计，称简单光滑闭曲线为闭路闭路. 沿闭路的积分按逆时沿闭路的积分按逆时针方向取针方向取. 定理定理3.2.1 （Cauchy积分定理）积分定理） 如果函数如果函数 在闭路在闭路上及由上及由 所围成的单连域所围成的单连域 上是解析的，则上是解析的，则C 证：证：这个定理本来不作进一步假设就可证明这个定理本来不作进一步假设就可证明. 但为节省但为节省时间起见，假设时间起见，假设 在在 所围成的域所围成的域 内是连续的，内是连续的，( )f zCD( )

14、0Cf z dz ( )fzCD( )iCCCf z dzudxvdyvdxudy这时可以利用这时可以利用Green公式公式 ()i()DDvuuvdxdydxdyxyxy 但依但依C-R方程方程 0,0vuuvxyxy故得故得( )0Cf z dz 其实其实Cauchy积分定理的条件还可以放宽一些，不必积分定理的条件还可以放宽一些，不必要求要求 在在 上也解析上也解析. 可以证明：只要函数可以证明：只要函数 在在 所所围成的区域上（包含边界围成的区域上（包含边界 在内）连续而在区域的内部在内）连续而在区域的内部解析，仍然有解析，仍然有C( )f zC( )0Cf z dz ( )f zC(

15、)f zC 定理定理3.2.2 如果函数如果函数 在单连域在单连域 内处处解析，那么内处处解析，那么函数函数 沿沿 内的任何一条闭路内的任何一条闭路 的积分的积分. ( )f zDD( )0Cf z dz 21( )fzz这里这里 为复平面上以原点为心的任意圆周。另外注意，为复平面上以原点为心的任意圆周。另外注意， 在区域在区域 内解析是使积分为零的充分条件，例如内解析是使积分为零的充分条件，例如 ( )f zD210Cdzz0z ( )f z( )1/f zz0z 12 i0CdzzD 注：以上结论只有当注：以上结论只有当 是一个单连通区域，且是一个单连通区域，且 在区域内解析时才正确。以函

16、数在区域内解析时才正确。以函数 为例为例 ，它除，它除了在点了在点 外，在整个平面上是解析的。但是外，在整个平面上是解析的。但是 C但但 是是 的奇点。的奇点。2不定积分不定积分 由柯西积分定理出发，还可以推出以下的定理：由柯西积分定理出发，还可以推出以下的定理： 定理定理3.2.3 设设 是单连域是单连域 内的一个解析函数，而内的一个解析函数，而和和 是在是在 内连接内连接 和和 的任意两条按段光滑曲线，则的任意两条按段光滑曲线，则 ( )f zD1C2CD0zz12( )( )CCf z dzf z dzz1C2C0zD图2.3 证：证： 12( )( )CCf z dzf z dz12(

17、 )CCf z dz 本定理说明单连域上的解析函数的积分完全由它的上、本定理说明单连域上的解析函数的积分完全由它的上、下限决定，而与所沿路径无关下限决定，而与所沿路径无关. 0 若若 点固定而点点固定而点 在在 内变动，则积分内变动，则积分 0zzD0( )( )zzF zfd与所沿路径无关，是与所沿路径无关，是 的一个单值函数的一个单值函数. 关于关于 有如下有如下定理：定理： z( )F z 定理定理3.2.4 若函数若函数 在单连域在单连域 内解析，则内解析，则 也在也在 内解析，且内解析，且 ( )fzD0( )( )zzF zfdD( )( )F zf z 证：证：0( )( )zz

18、F zf z dz0000( , )( , )(,)(,)ix yx yxyxyudxvdyvdxudy( , )i ( , )P x yQ x y这里，这里，0000( , )( , )(,)(,)( , ), ( , )x yx yxyxyP x yudxvdyQ x yvdxudy0(, )xy( , )x y00(,)xy图2.4这两个线积分是与路线无关的，因此：这两个线积分是与路线无关的，因此：00000000(, )( , )( ,)( , )(,)(, )(,)( ,)( , )xyx yx yx yxyxyxyx yP x yudxvdy,xyPuPv 同理，同理， ,xyQv

19、 Qu,xyyxPQPQ 于是得于是得 由此可知，函数由此可知，函数 是是 内一个解析函内一个解析函数，而且数，而且( )( , )i ( , )F zP x yQ x yD( )ii( )xxF zPQuvf z 下面，再来讨论解析函数积分的计算下面，再来讨论解析函数积分的计算. 首先，引入原函首先，引入原函数的概念：如果函数数的概念：如果函数 的导数等于的导数等于 即即 那么称那么称 为为 的的原函数原函数. 因此，因此， 为为 的一个的一个原函数原函数. ( ) z( )f z( )( ),zf z( ) z( )f z0( )zzf z dz( )f z 利用原函数的这个关系，可以推得

20、与牛顿利用原函数的这个关系，可以推得与牛顿-莱布尼茨公莱布尼茨公式类似的解析函数的积分计算公式：式类似的解析函数的积分计算公式： 定理定理3.2.5 如果如果 在单连域在单连域 内处处解析，内处处解析， 为为的一个原函数，那么的一个原函数，那么( )f zD( )H z( )f z1010( )( )()zzf z dzH zH z 这里这里 ， 为域为域 内的两点内的两点. 0z1zD 证：证： 也是也是 的原函数，所以的原函数，所以0( )( )zzF zf z dz( )f z0( )( )zzf z dzH zc 当当 时，根据柯西定理，得时，根据柯西定理，得 ，因此，因此0zz0()

21、cH z 1010( )( )()zzf z dzH zH z 例如，由于例如，由于 为为 的一个原函数，所以的一个原函数，所以313z2z32331()33zz dz 例例1. 计算计算 从从 到到 的直线段，利用上的直线段，利用上定理较简单定理较简单. . 2(2i )Czdz:C1i 解解1: i221(2i )(2iz)Czdzdzi21(44i)zzdzi32144i3zzzi111i(4i4i)(44i)3333 解解2: i21i(2i )(2i )Izdz i31(2i )i2 11i11iii33333z 例例2.1111cossiniizdzz3231,:|z| 3, Re

22、 z0iidzzz 2322(2z8z 1)43dzzzz3复合闭路定理复合闭路定理 为了把柯西积分定理推广到多连域为了把柯西积分定理推广到多连域 ，先建立复合，先建立复合闭路：在闭路：在 的内部作闭路的内部作闭路 ，使其把不属于，使其把不属于 的部分包围起来，且它们之间互不相交，互不包含的部分包围起来，且它们之间互不相交，互不包含. 这样以这样以 为边界的区域全含于为边界的区域全含于 . 取取 的方的方向为正向，向为正向， 的方向为负向，组成复合闭路的方向为负向，组成复合闭路DC12,nC CCD12,nC C CCDC12,nC CC1nCCC 定理定理3.2.6 （复合闭路定理）设函数（

23、复合闭路定理）设函数 在以复合闭路在以复合闭路 为边界的区域为边界的区域 内解析，则内解析，则 ( )f zG（1） （2） ( )0f z dz1( )( )knCCkf z dzf z dz图图3.5 1232C1CC1D2D证：证： 如图将区域如图将区域 分成两个单连域分成两个单连域 ，以，以 表其边界，则表其边界，则G12,D D12, 21( )0,( )0f z dzf z dz在相加时，辅助线在相加时，辅助线 上的积分两次且方向相反，所以有上的积分两次且方向相反，所以有123, , 1212( )( )( )( )( )( )0CCCf z dzf z dzf z dzf z d

24、zf z dzf z dz 特别地如果特别地如果 是由内、外两条闭路是由内、外两条闭路 、 所围成的环形所围成的环形域，而域，而 在在 内及其边界上是解析的，则内及其边界上是解析的，则 DC1C( )f zD1( )( )CCf z dzf z dz说明在区域说明在区域 内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域闭曲线在区域 内作连续变形而改变它的值内作连续变形而改变它的值. 这一重要事这一重要事实，称为实，称为闭路变形原理闭路变形原理. DD 例如，当例如，当 为以为以 为中心的正向圆周时，为中心的正向圆周时， . 所以，根据闭路变形原理，对于包含所

25、以，根据闭路变形原理，对于包含 的任何一条闭路的任何一条闭路都有都有C0z02 iCdzzz0z002 iCdzdzzzzz 例例1. 计算计算 的值，的值， 为包含圆周为包含圆周 在内的任在内的任何正向闭路何正向闭路. 2dzzz1z 解：解：设设 与与 是是 内的两个互不包含也互不相交的正向内的两个互不包含也互不相交的正向圆周，而且对被积函数的两个奇点圆周，而且对被积函数的两个奇点 与与 来说，来说， 只只包围原点包围原点 ， 只包围只包围 ，那么，那么1C2C0z 1z 1C0z 2C1z 2C1C01xy图图3.6 21dzzz112211CCCCdzdzdzdzzzzz02 i2 i

26、001222CCdzdzzzzz3 柯西积分公式柯西积分公式 1柯西积分公式柯西积分公式设设 是一个单连域，边界是任意一条逐段光滑闭曲线是一个单连域，边界是任意一条逐段光滑闭曲线(闭路闭路 )，又，又 是闭区域是闭区域 上的一个解析函数上的一个解析函数. 则函数则函数 在在 点不解析，所以积分点不解析，所以积分 一般不为零一般不为零. 又根又根据闭路变形原理，这积分的值，沿任何一围绕据闭路变形原理，这积分的值，沿任何一围绕 的闭路都的闭路都是相同的是相同的. 因此，我们就取以因此，我们就取以 为中心，半径为为中心，半径为 的很小圆的很小圆周周 上的函数值上的函数值 ，它与在圆心，它与在圆心 的

27、函数值的函数值 相差很小，这使我们想到积分相差很小，这使我们想到积分 的值随的值随 的缩的缩小而逐渐接近于小而逐渐接近于DCC( )f zD0( )fzzz0z0( )Cf zdzzz0z0z0:C z z( )fz0z0( )f z0( )Cf zdzzz00000()1()2 i ()CCf zdzf zdzf zzzzz其实两者是相等的，即其实两者是相等的，即 00( )2 i ()Cf zdzf zzz 定理定理3.3.1 （柯西积分公式）设函数（柯西积分公式）设函数 在闭路在闭路 上及上及其内部其内部 内是解析的，而内是解析的，而 是是 内的任意一点，则内的任意一点，则( )f zC

28、D0zD001( )()2 iCf zf zdzzzr0zKCD图图3.7 证：证： 在在 内解析内解析. 在在连续，由连续的定义，连续，由连续的定义， 使当使当 时，时， 成立，在成立，在 内以内以 为中心，为中心， 为半为半径作圆径作圆 ： . 则则( )f zC( )f z0z0,0, 0zz0( )()f zf zC0zrK0()zzr r 00( )( )CKf zf zdzdzzzzz0000()( )()KKf zf zf zdzdzzzzz000( )()2 i ()Kf zf zf zdzzz由积分性质有由积分性质有0000( )()|( )()|KKf zf zf zf z

29、dzdszzzz2.Kdsr 因此，因此，00( )2 i ().Cf zdzf zzz称为称为柯西积分公式柯西积分公式. 它反映了解析函数值之间很强的内它反映了解析函数值之间很强的内在联系，在联系， 在内点在内点 的值的值 可以由可以由 在边界在边界 上的上的值通过积分来表示，它不但提供了计算某些复变函数沿值通过积分来表示，它不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式 ( )f z0z0()f z( )f zC1( )( )2 iCff zdz它也是研究解析函数的有力工具它也是研究解析函数的有力工具

30、. 如果如果 是圆周是圆周 ，则，则 Ci0Rezz2i0001( )(Re )2f zf zd这就是说，一个解析函数在圆心的值等于它在圆周上的平这就是说，一个解析函数在圆心的值等于它在圆周上的平均值，叫做均值，叫做平均值公式平均值公式. 柯西积分公式扩充到复合闭路的情况：在前段中我们假柯西积分公式扩充到复合闭路的情况：在前段中我们假定区域定区域 是单连的，不难证明，在前段中所建立的柯西是单连的，不难证明，在前段中所建立的柯西公公式可以扩充到多连域式可以扩充到多连域 . 现在就来考虑一个多连域现在就来考虑一个多连域 ，它的，它的边界是一条复合闭路边界是一条复合闭路 ，由有限条逐段光滑的闭曲线所

31、组，由有限条逐段光滑的闭曲线所组成成. DDD 假定假定 是闭区域是闭区域 上的一个解析函数，我们来建立柯上的一个解析函数，我们来建立柯西积分公式西积分公式( )f zD1( )( )2 iff zdz这里这里 是区域是区域 的任一点，而积分是沿复合闭路的任一点，而积分是沿复合闭路 的正的正方向取的方向取的. 为了证明这个公式，我们环绕点为了证明这个公式，我们环绕点 取这样小的取这样小的一条闭路一条闭路 . zDz1CC2CzD图图3.8 使得在这条闭路使得在这条闭路 上与它内部的上与它内部的一切点都在区域一切点都在区域 内，考虑复合闭内，考虑复合闭路路 ，这条复合闭路是在原，这条复合闭路是在

32、原来的闭路来的闭路 上添上取反方向的曲线上添上取反方向的曲线 构成的构成的. 用用 表示以表示以 为边界的为边界的区域区域. 于是很明显，函数于是很明显，函数 在闭区在闭区域域 上是解析的，因而根据柯西定上是解析的，因而根据柯西定理，有：理，有： D D( )fzD 或即或即 ( )0fdz( )( )0ffddzz于是于是 ，这里积分是沿闭路这里积分是沿闭路 与与 的正方向取的的正方向取的. 因为函数因为函数 在闭路在闭路 的内部与的内部与 上的每上的每一点都是解析的，所以根据前段中的结果，一点都是解析的，所以根据前段中的结果， ( )( )ffddzz( )f z( )2 i ( )fdf

33、 zz即即 1( )( )2 iff zdz 思考题：若思考题：若 ，则柯西积分公式，则柯西积分公式 之之值为何？值为何？ zD1()2ifdz 例例1. 22zCedzzz:C114z 21124z 3114z 42z 解：解：被积函数有两个奇点被积函数有两个奇点 和和 奇点为奇点为 0z 1z 10z 112222012 i2 i1zzzCCzeeezdzdzzzzz 无奇点，故无奇点，故22220zCedzzz 奇点奇点31z 332222212 i2 i1zzzCCzeeezdzdzezzzz 奇点奇点 ， ，用复合闭路定理，用复合闭路定理40z 1z 41222222222 i(1)

34、zzzCCCeeedzdzdzezzzzzz 课堂练习课堂练习 1 2(9)(i)Czdzzz:2Cz 22i92( i)95czzzzdzizz 2 中心为中心为 半径为半径为 的圆周的圆周(2i)zCedzz z :C3i22i2 i(cos2isin2)2i2izCeezdzz 3 2sin41Czdzz1112z 2112z 32z 111sin4sin2142 ii112Czzzzdzzz 221sin4sin2142 ii112Czzzzdzzz3122 iCC 例例2. 沿下列各点为中心，半径为沿下列各点为中心，半径为1的正向圆周求的正向圆周求 积积分分. 2211zz （1）

35、（2） （3） （4）1z 13z 1z iz 解：解：（1）设）设21|1| 1 ,( ),1zCz zf zz则因为则因为 在边界在边界 上及其内部解析，所以上及其内部解析，所以( )f zC221( )2 i (1)3 i11CCzf zdzdzfzz （2） ， 是是 的内部的点，因的内部的点，因 在边界在边界 上及其内部解析，所以上及其内部解析，所以1| 13Cz z1z C( )f zC2212 i (1)3 i1Czdzfz （3） ， 是是 的内部的点，的内部的点，在边界在边界 上及其内部解析故上及其内部解析故 |1| 1Cz z1z C21( )1zg zzC221( )2

36、i ( 1)i11CCzg zdzdzgzz （4） ， 在边界在边界 上及其内部上及其内部解析，故解析，故|i| 1Cz z 221( )1zh zzC22101Czdzz 例例3. 求积分求积分 22(1)(4)CdzIzz3:2Cz 1C2C32iixyC图2.9 解：解： 121(i)(4)iCzzIdzz2i12 i(i)(4)zzz0221(i)(4)iCzzdzz2i1)(i)(4)zzz222371( )2 i(371)|2 i(371)zCf zdzzz | 3z | 3z 2371( )0Cf zdz| |1i|23z ( )2 i(67)fzz(1i)2 i(136i)f

37、 解解：被积函数在复平面上的奇点为：被积函数在复平面上的奇点为 ，故可知，故可知z当当 时，由柯西积分公式时，由柯西积分公式当当 时，被积函数在积分圆周内解析，由柯西积分时，被积函数在积分圆周内解析，由柯西积分定理知定理知因因 ，从而，从而 ，故，故C2371( )Cf zdz 例例4. 设函数设函数 ，其中，其中 是圆是圆周周 . 求求 的值的值.|3z (1 i)f 2|z| 21zdzz12()(z i)iCzzdziizizi22()(z i)iCzzdziizizi 例例5. 求积分求积分 解解： 分别是包含分别是包含 和和 的单位圆，由柯西积分的单位圆，由柯西积分公式得公式得12,

38、C Cii 故原积分故原积分2Ii2解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 直到目前为止，我们说复变数直到目前为止，我们说复变数 的一个单值函数在一个的一个单值函数在一个区域内是解析的，是指它在这个区域的每一点都有有限导区域内是解析的，是指它在这个区域的每一点都有有限导数数. 在实变函数的情形，从有限导函数的存在性推不出这在实变函数的情形，从有限导函数的存在性推不出这个导函数的连续性，但是在复变函数的情形，却有下面这个导函数的连续性，但是在复变函数的情形，却有下面这个异常重要的定理成立：假如复变数个异常重要的定理成立：假如复变数 的单值函数的单值函数 在在区域区域 内到处都有一级导数，那么它在这

39、个区域内就有一内到处都有一级导数，那么它在这个区域内就有一切高阶的导函数切高阶的导函数. zz( )f zD 附注附注：很明显，这个定理不仅肯定了区域很明显，这个定理不仅肯定了区域 内的解析函内的解析函数的所有阶导函数的存在性，而且也肯定了这些导函数的数的所有阶导函数的存在性，而且也肯定了这些导函数的连续性连续性. D2sgn 0( )0 0 xxxf xx在在 上可微，但其导函数上可微，但其导函数 在点在点 不连续，不连续，因此不可微因此不可微. ( 1,1)( )2fxx0 x 但是实函数是不行的，例如但是实函数是不行的，例如 定理定理3.3.2 如果函数如果函数 在闭路在闭路 上及其所围

40、成的单连上及其所围成的单连域域 内是解析的，则在内是解析的，则在 内任意一点内任意一点 ，函数，函数 有任有任意阶导数，且在意阶导数，且在 内下列公式成立内下列公式成立. ( )f zCDD0z( )f zD( )010!( )() (1,2,)2 i()nnCnf zfzdznzz证：证： 情形，即要证情形，即要证1n 0201( )()2 i()Cf zfzdzzz根据定义根据定义0000()()()limzf zzf zfzz 从柯西积分公式得从柯西积分公式得00001( )1( )(),()2 i2 iCCf zf zf zdzf zzdzzzzzz从而有从而有 00()()f zzf

41、 zz001( )( )2 iCCf zf zdzdzzzzzzz001( )2 i()()Cf zdzzzzzz让让 趋向于零，如果在积分符号下取极限，从上式可以得到：趋向于零，如果在积分符号下取极限，从上式可以得到：z0201( )()2 i()Cf zfzdzzz 剩下来只要证明：在这里，这种形式地取极限的确是可以剩下来只要证明：在这里，这种形式地取极限的确是可以的，为此作差的，为此作差. 设设 20001( )1( )2 i()()2 i()CCf zf zIdzdzzzzzzzz2001( )2 i() ()Czf zdzzzzzz则则 2001( )2() ()Czf zIdzzz

42、zzz200( )12Cz f zdszzzzz因为因为 在在 上解析，所以在上解析，所以在 上连续，故有界，即存在上连续，故有界，即存在一个正数一个正数 ，使得，使得 ，在，在 上成立上成立. ( )f zCCM( )f zMC设设 为从为从 到曲线到曲线 上各点的最短距上各点的最短距离，并取离，并取 适当小，使满足适当小，使满足d0zCz2dz 0zdC图2.10于是我们有于是我们有0011,zzdzzd注意此处注意此处 zC00012,22ddzzzzzzdzzzd 所以，所以， ，其中，其中 为为 的长，若的长，若 ，则，则 ，从而得从而得3M LIzd LC0z 0I 000200(

43、)()1( )()lim2 i()Czf zzf zf zfzdzzzz 再利用上述同样的方法，求再利用上述同样的方法，求000()()limzfzzfzz 便可得便可得0302!( )()2()Cf zfzdzizz 到这里我们已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析到这里我们已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数，依次类推，用数学归纳法可以证明函数，依次类推，用数学归纳法可以证明( )010!( )()2 i()nnCnf zfzdzzz公式指出，要得到函数公式指出，要得到函数 的导函数，只要在积分号下对的导函数，只要在积分号下对 形式地求导就行了形式地求导就行了. ( )f z0z 例

44、例1. （柯西不等式）设（柯西不等式）设 在区域在区域 内解析，内解析， ， 为圆周为圆周 ，且，且 及其内部全含于及其内部全含于 ，则有，则有( )f zDzDCzrCD( )!( )( )(1,2,)nnn M rfznr其中其中 ( )max( )z CM rf z 证：证： ( )1!( )( )2 i()nnCnffzdz故故 ( )1( )!( )2nnCfnfzdsz1!( )!( )22nnnM rn M rrrr 例例2. 求下列积分的值，其中求下列积分的值，其中 为正向圆周为正向圆周 .C1zr5cos(1)Czdzz22(1)zCedzz 322cos(1)zzdzzz

45、1） 2） 3） 解：解：1）函数）函数 在在 内的内的 处不解析处不解析. 但但 在在 上及其内部却是处处解析的上及其内部却是处处解析的. 根据公式，有根据公式，有 5cos(1)zzC1z cos zC5(4)51cos2 ii(cos)(1)(5 1)!12zCzdzzz (4)(3)2(2)(cos)(sin)(cos)zzz 34(sin)coszz 2）函数）函数 在在 内的内的 处不解析，在处不解析，在 内以内以 为为中心作一个正向圆周中心作一个正向圆周 ，以，以 为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周 那么函数那么函数 在由在由 ， 和和 所围成的区域中是解析的所围成的区域中

46、是解析的. 22(1)zez Ciz Ci1Ci2C22(1)zez C1C2C 根据复合闭路定理根据复合闭路定理12222222(1)(1)(1)zzzCCCeeedzdzdzzzz图3.110 x1cyii2c112222(i)(1)(i)zzCCeezdzdzzzi22 i(2 1)! (i)zzezi(1 i)2e同样可得同样可得 2i22(1 i)(1)2zCeedzz所以所以ii22(1 i)(i)(1)2zCedzeez2(1 i) (cos1 sin1)i2sin(1)24 3）被积函数在积分路线）被积函数在积分路线 的内部有两个奇点，故的内部有两个奇点，故首首先要应用复合闭路

47、定理，然后再应用高阶导数公式，在先要应用复合闭路定理，然后再应用高阶导数公式，在内作圆周内作圆周 ， ，则，则 2z 2z 11:4Cz 21:14Cz x1Cy2C012图3.12 322cos(1)zzdzzz123232coscos(1)(1)CCzzdzdzzzzz而而 11232320coscoscos(1)2 i 2!(1)(1)CCzzzzzdzdzzzzz22340cos4 sin6cosi(1)(1)(1)zzzzzzz2(6) i 22332231coscoscos2 i(1)(1)CCzzzzzdzdzzzzz341sin3cos2 i6 izzzzz所以所以 22322cos(6) i6 i(12) i(1)zzdzzz 例例4. 在单位圆上及其内部解析，证明在单位圆上及其内部解析，证明fi2ii()01()() 0121f ef redrre 证：证： ii, 0,2zree 11()( )2izffzdzii22iiiii()001()1()()i 2 i21f ef ef ree dderere 其中其中 在在 内内. . 例例3. 在圆在圆 上及内部解析，证明上及内部解析，证明f0:Czzr120212120(