计算机控制系统第7讲

1、李志俊2014. 11计算机控制系统研究生课程媒体教学授课教师：授课教师： 李志俊李志俊15327240668 e-Maile-Mail：j QQ:460254218 QQ:460254218李志俊2014. 117 现代控制技术 在经典控制理论中，用传递函数模型来设计和分析单输入单输出系统，但传递函数模型只能反映出系统的输出变量与输入变量之间的关系，而不能了解系统内部的变化情况。在现代控制理论中，用状态空间模型来设计和分析多输入多输出系统，便于计算机求解，同时也为多变量系统的分析研究提供了有力的工具。 7.1 状态空间的输出反馈设计法7.2 状态空间的极点配置设计法

2、7.3 离散状态空间的最优化设计法李志俊2014. 11线性定常系统被控对象的连续状态方程为： 式中，x(t)是n维状态向量； u(t)是r维控制向量； y(t)是n维输出向量； A是nxn维状态矩阵； B是r维控制矩阵； C是mxn维输出矩阵。采用状态空间的输出反馈设计法的目的是：利用状态空间表达式，设计出数字控制器D(z)，使多变量计算机控制系统满足所需要的性能指标。) 1 . 1 . 7()()()()()()()(00tCxtytxtxtButAxtxtt7.1 采用状态空间的输出反馈设计法李志俊2014. 11 在控制器D(z)的作用下，系统输出y(t)经过N次采样(N拍)后，跟踪参

3、考输入函数r(t)的瞬变响应时间为最小，这就是系统的性能指标。设系统的闭环结构形式如图7-1所示。 假设参考输入函数r(t)是m维阶跃函数向量，即)2 . 1 . 7()( 1)( 1)(002010trrrtrtrTm 先找出在D(z)的作用下，输出是最少N拍跟踪输入的条件。设计是，应首先把被控对象离散化，用离散状态空间方程表示被控对象。7.1 采用状态空间的输出反馈设计法李志俊2014. 117.1 采用状态空间的输出反馈设计法7.1.1 连续状态方程的离散化李志俊2014. 11 在u(t)的作用下，式(7.1.1)的解为)3.1.7()()()(00)(00)(tttAttAdBuet

4、xetx 是被控对象的状态转移矩阵，x(t0)是初始状态向量。若已知被控对象的前面有一零阶保持器，即 u(t)=u(k),kTt(k+1)T (7.1.4)其中，T为采样周期，现在要求将连续被控对象模型连同零阶保持器一起进行离散化。)(0ttAe7.1.1 连续状态方程的离散化李志俊2014. 11 在式(7.1.3)中，令t0=kT,t=(k+1)T,同时考虑到零阶保持器的作用，则式(7.1.3)变为 若令t=kT+T-z,则上式化为)5 .1 .7()()()1()1()(TkkTTkTAAtdkBuekxekx)7 .1 .7(,)6 .1 .7()()()()()1(0TAtATdtB

5、eGeFkCxkykGukFxkx 式(7.1.6)即为(7.1.1)的离散状态方程，由此可见离散化的关键是求式(7.1.7)中的F和G 。7.1.1 连续状态方程的离散化李志俊2014. 11关于状态转移矩阵的求法： 2. Cayley-Hamilton法法 3. 拉普拉斯法拉普拉斯法 1. 直接法直接法 4. 变换变换A为对角矩阵为对角矩阵 5. 变换变换A为约当型矩阵为约当型矩阵 6. 变换变换A为模式矩阵为模式矩阵7.1.1 连续状态方程的离散化李志俊2014. 11 由(7.1.1)的输出方程可知，y(t)以最少N拍跟踪参考输入r(t)，必须满足条件)8 .1 .7()()(0rNC

6、xNy 但按此条件设计的系统是有纹波系统，为设计无纹波系统，还必须满足条件)9 .1 .7(0)(Nx 这是因为在NTt(N+1)T的间隔内，控制信号u(t)=u(N)为常向量，由(7.1.1)知,当 时，则在NTt(N+1)T的间隔内x(t)=x(N),而且不改变即若使tNT时的控制信号满足0)(Nx )10. 1 . 7()(),()(NTtNutu7.1.2 最少拍无纹波系统的跟踪条件李志俊2014. 11此时，x(t)=x(N)且保持不变，使条件(7.1.8)对tNT时始终满足下式 式(7.1.8)确定的跟踪条件为m个，式(7.1.9)确定的附加条件为n个，为满足式(7.1.8)和 (

7、7.1.9)组成的(m+n)个跟踪条件，(N+1)个r维的控制向量u(0),u(1), ,u(N)必须至少提供(m+n)个控制参数，即)11.1 .7()( ,)()()(0NTtrNCxtCxty)12.1 .7()()1(nmN最少拍数N应取满足式(7.1.12)的最小整数。7.1.2 最少拍无纹波系统的跟踪条件李志俊2014. 111.将连续状态方程进行离散化 2.求满足跟踪和附加条件的控制序列的z变换U(z) 被控对象的离散状态方程式(7.1.6)的解为101)13.1.7()()0()(kjjkkjGuFxFkx 对于由(7.1.1)给出的被控对象的连续状态方程，用采样周期T对其进行

8、离散化，通过计算式(7.1.7),可求得离散状态方程式(7.1.6). 被控对象在N步控制信号u(0)u(1) u(N-1)作用下的状态为101)()0()(NjjNNjGuFxFNx7.1.3 输出反馈设计法的设计步骤李志俊2014. 11 假定系统的初始条件x(0)=0,则有 用分块矩阵形式来表示，得到根据条件式(7.1.8)有101)14.1.7()()(NjjNjGuFNx1010)()()(NjjNjGuCFNCxNyr)15.1.5()1()2()1()0()(211010 NuNuuuCGCFGGCFGCFjGuCFrNNNjjN)15.1.7()1()2()1()0()(211

9、010NuNuuuCGCFGGCFGCFjGuCFrNNNjjN7.1.3 输出反馈设计法的设计步骤李志俊2014. 11再由条件(7.1.9)和(7.1.1)知 或将式(7.1.14)代入上式，得0)()()(NBuNAxNx 0)()(101NBujGuAFNjjN)16.1.7(0)()1()1()0(21NuNuuuBAGAFGGAFGAFNN7.1.3 输出反馈设计法的设计步骤李志俊2014. 11由式(7.1.15)和(7.1.16)可以组成确定(N+1)个控制序列u(0)u(1) u(N)的统一方程组为 当k=N时，控制信号应满足 u(k)=u(N)=P(N)r0(kN) 这样就

10、求得了控制序列u(k),其Z变换为设方程(7.1.17)有解，并设解为)18.1.7(), 1 ,0()()(0NjrjPju)17.1 .7(0)()1()1 ()0(002121rNuNuuuBAGAFGGAFGAFCGCFGGCFGCFNNNN)19.1.7(1)()()()(00110kNNkkkrzzNPzkPzkuzU7.1.3 输出反馈设计法的设计步骤李志俊2014. 113.求误差序列e(k)的Z变换E(z)设x(0)=0,将(7.1.13)代入上式得1010)()(kjjkjGuCFrke误差向量为则e(k)的Z变换为)()()()(0kCxrkykrke0101)()(rj

11、GPCFIkekjjk再将(7.1.18)代入上式，则NkNkkkkkzkezkezkezE)()()()(1007.1.3 输出反馈设计法的设计步骤李志俊2014. 11 式中 ，因为满足跟踪条件式(7.1.8)和附加条件式7.1.9)，即当kN时，误差信号应消失，因此0)(Nkkzke)20.1.7()()()(01010110kNkkjjkNkzrjGPCFIzkezEk4.求控制器的脉冲传递函数D(z)根据式(7.1.19)和(7.1.20)可求得D(z)为)21.1.7()()()(zEzUzD7.1.3 输出反馈设计法的设计步骤李志俊2014. 11例7.1设二阶单输入单输出系统，

12、其状态方程为采样周期T=1秒，试设计最少拍无纹波控制器D(Z).10,01,0101)()()()()(CBAtCxtytButAxtx其中，求解过程求解过程7.1.3 输出反馈设计法的设计步骤李志俊2014. 11 在计算机控制系统中，除了使用输出反馈控制外，还较多地使用状态反馈控制，因为由状态输入就可以完全地确定系统的未来行为。图7-2给出了计算机控制系统的典型结构。在7.1.1节中，讨论了连续被控对象同零阶保持器一起进行离散化的问题，同时忽略数字控制器的量化效应，则图7-2可以简化为图7-3所示的离散系统。7.2 采用状态空间的极点配置设计法李志俊2014. 11 下面按离散系统的情况来

13、讨论控制器的设计。本节讨论利用状态反馈的极点配置方法来进行设计控制规律，首先讨论调节系统(r(k)=0)的情况，然后讨论跟踪系统，即如何引入外界参考输入r(k)。按极点配置设计的控制器通常有两部分组成。一部分是状态观测器，它根据所量测到的输出量y(k) 重构出全部状态 ,另一部分是控制规律，它直接反馈重构的全部状态。图7-4给出了调节系统的情况（即r(k)=0)。)( kx7.2 采用状态空间的极点配置设计法李志俊2014. 117.2 采用状态空间的极点配置设计法7.2.1 按极点配置设计控制规律7.2.4 跟踪系统设计态空间的极点配置设计法李志俊2014. 11 为了按极点配置设计控制规律

14、，暂设控制规律反馈的是实际对象的全部状态，而不是重构的状态，如图7-5所示。设连续被控对象的状态方程为)1.2.7()()()()(tCxtytButAxx 由7.1.1节知，相应的离散状态方程为)3.2.7()2.2.7()()()()()1(0TAtATdtBeGeFkCxkykGukFxkx7.2.1 按极点配置设计控制规律李志俊2014. 11 若图7-5中的控制规律为线性状态反馈，即)4 .2 .7()()(kLxku则要设计出反馈控制规律L，以使闭环系统具有所需要的极点配置。将式(7.2.4)代入式(7.2.2)得到闭环系统的状态方程为)5 . 2 . 7()()() 1(kxGL

15、Fkx显然，闭环系统的特征方程为)6 . 2 . 7(0GLFzI设给定所需要的闭环系统的极点为zi(i=1,2,n),则很容易求得所要求的闭环系统的特征方程为)7 .2 .7()()()(1111nnnnzzzzzzzzz7.2.1 按极点配置设计控制规律李志俊2014. 11由式(7.2.6)和式(7.2.7)可知，反馈控制规律应满足如下的方程)8.2.7()( zGLFzI 将上式的行列式展开，并比较两边z的同次幂的系数，则一共可得到n个代数方程。对于单输入的情况，L中未知元素的个数与方程的个数相等，因此一般情况下可获得L的唯一解。而对于多输入的情况，仅根据式(7.2.8)并不能完全确定

16、L，设计计算比较复杂，这时需同时附加其他的限制条件才能完全确定L。本节只讨论单输入的情况。可以证明，对于任意的极点配置，L具有唯一解的充分必要条件是被控对象完全能控，即)9 . 2 . 7(1nGFFGGrankn7.2.1 按极点配置设计控制规律李志俊2014. 11 这个结论的物理意义也是很明显的，只有当系统的所有状态都是能控的，才能通过适当的状态反馈控制，使得闭环系统的极点配置在任意指定的位置。由于人们对于S平面中的极点分布与系统性能的关系比较熟悉，因此可首先根据相应连续系统性能指标的要求来给定S平面中的极点，然后再根据 的关系求得Z平面中的极点分布，其中T为采样周期。 Tsiiez 例

17、7.2 被控对象 , 采样周期T为0.1s，采用零阶保持器。要求闭环系统的动态响应相当于阻尼系数为0.5，无阻尼自然振荡频率3.6的二阶连续系统，用极点配置方法设计状态反馈控制规律L，并求u(k).21)(ssG求解过程求解过程7.2.1 按极点配置设计控制规律李志俊2014. 11 例7.3被控对象设计反馈控制器u=-Lx，使闭环系统极点为u12=-2j23，u3=10。求解过程求解过程7.2.2 按极点配置设计状态观测器)3)(2)(1(1)(ssssG李志俊2014. 11常用的状态观测器有三种：预报观测器、现时观测器和降阶观测器。1、预报观测器 常用的观测器方程为)12. 2 . 7(

18、)( )()()( ) 1( kxCxykkGukxFkx7.2.2 按极点配置设计状态观测器 其结构如图7-6所示。 设计观测器的关键在于如何合理地选择观测器的增益矩阵K，定义状态重构误差为)13. 2 . 7(xxx)()14. 2 . 7()( )()( )()()( )()() 1( ) 1() 1(kxKCFkxkxKCFkxCkCxKkGukxFkGukFxkxkxkx李志俊2014. 11 因此，如果选择K使系统(7.2.14)渐进稳定，那么重构误差必定回收敛到零，即使系统式(7.2.2)是不稳定的，在重构中引入观测量反馈，也能使误差趋于零。式(7.2.14)称为观测器的误差动态

19、方程，该式表明，可以通过选择K，使状态重构误差动态方程的极点配置在期望的位置上。 如果出现观测器期望的极点zi(I=1,2,n),那么求得观测器期望的特征方程为 )15.2.7()()()(11121nnnnnzzzzzzzzzz由式(7.2.14)可得观测器的特征方程为)16.2.7(0KCFzI7.2.2 按极点配置设计状态观测器李志俊2014. 11为了获得期望的状态重构性能，由式(7.2.15)和式(7.2.16)可得)17. 2 . 7()(KCFzIz 对于单输入单输出系统，通过比较式(7.2.17)两边z的同幂次系数，可求得K中n个未知数。对于任意的极点配置，K具有唯一解的充分必

20、要条件是系统完全能观，即)18.2.7(1nCFCFCrankn7.2.2 按极点配置设计状态观测器李志俊2014. 11 2、现时观测器)19.2 .7()1()1()1()1( )()( )1(kxCkyKkxkxkGukxFkx 当(k+1)T时刻的状态重构x(k+1)用到了现时刻的量测量y(k+1)，因此式(7.2.19)称为现时观测器。7.2.2 按极点配置设计状态观测器由式(7.2.2)和(7.2.19)可得状态重构误差为)20. 2 . 7()()1() 1() 1()()() 1( ) 1() 1(kxKCFFkxCkCxKkxkGukFxkxkxkx李志俊2014. 11从而

21、求得现时观测器状态重构误差的特征方程为)21.2.7(0KCFFzI同样，为了获得期望的状态重构性能，可由下式确定K的值)22. 2 . 7()(KCFFzIz系统必须完全能观时才能求得唯一的K。7.2.2 按极点配置设计状态观测器预报和现时观测器都是根据输出量重构全部状态，即观测器的阶数等于状态的个数，因此称为全阶观测器。李志俊2014. 11 3、降阶观测器 实际系统中，所能量测到的y(k)中，已直接给出了一部分状态变量这部分状态变量不必通过估计获得。因此只要估计其余的状态变量就可以了，这种阶数低于全阶的观测器称为降阶观测器。 将原状态变量分成两部分，即)23.2.7()()()(kxkx

22、kxba 其中，xa(k)是能够量测到的部分状态， xb(k)是需要重构的部分状态。由此，原被控对象的状态方程(7.2.2)可以分块写成7.2.2 按极点配置设计状态观测器)24. 2 . 7()()()() 1() 1(kuGGkxkxFFFFkxkxbababbbaabaaba李志俊2014. 11将上式展开并写成)25.2.7()()()()1()()()()1(kxFkuGkxFkxkuGkxFkxFkxbabaaaaabababbbb比较式(7.2.25)与式(7.2.2)，可得如下的关系abaaaaabababbbFCkuGkxFkxkykuGkxFkGuFFkxkx)()()1(

23、)()()()()()()25.2.7()2.2.7(式式7.2.2 按极点配置设计状态观测器李志俊2014. 11 参考预报观测器方程式(7.2.12),可以写出相应于式(7.2.25)的观测器方程为)26. 2 . 7()()()() 1()()()() 1(kxFkuGkxFkxKkuGkxFkxFkxbabaaaaabababbbb上式便是根据已量测到的状态xa(k),重构其余状态xb(k)的观测器方程。由于xb(k)的阶数低于x(k)的阶数，所以称为降阶观测器。由式(7.2.25)和式(7.2.26)可的状态重构误差为)()()27. 2 . 7()()()() 1() 1() 1(

24、kxKFFkxkxKFFkxkxkxbabbbbbabbbbbb7.2.2 按极点配置设计状态观测器李志俊2014. 11从而求得降阶观测器状态重构误差的特征方程为)28.2.7(0abbbKFFzI同理，为了获得期望的状态重构性能，由式(7.2.15)和式(7.2.28)可得)29.2.7()(abbbKFFzIz 观测器的增益矩阵K可由上式求得。若给定降阶观测器的极点，也即(z)为已知，如果仍只考虑单输出(即xa(k)的维数为1)的情况，根据式(7.2.29)即可解得增益矩阵K。这里对于任意给定的极点，K具有唯一解的充分必要条件也是系统完全能观，即式(7.2.18)成立。7.2.2 按极点

25、配置设计状态观测器李志俊2014. 11 例7.4设被控对象的连续状态方程为)30.2.7()()()()()(tCxtytButAxtx 其中01,10,0010CBA采样周期T=0.1s，要求确定K。 1)设计预报观测器，并将观测器特征方程的两个极点配置在z1,2=0.2处。 2)设计现时观测器，并将观测器特征方程的两个极点配置在z1,2=0.2处。 3)假定x1是能够量测的状态，x2是需要估计的状态，设计降阶观测器， 并将观测器特征方程的极点配置在z1,2=0.2处。求解过程求解过程7.2.2 按极点配置设计状态观测器李志俊2014. 11 前面分别讨论了按极点配置设计的控制规律和状态观

26、测器，这两部分组成了状态反馈控制器，如图7-4所示的调节系统(r(k)=0的情况)。 1、控制器的组成 设被控对象的离散状态方程为)39.2.7()()()()()1(kCxkykGukFxkx 设控制器由预报观测器和状态反馈控制规律组合而成，即)40. 2 . 7()( )()( )()()( ) 1( kxLkukxCxykkGukxFkx7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014. 11 2、分离性原理由式(7.2.39)和(7.2.40)构成的闭环系统(图7-4)的状态方程可写成)41.2.7()()()()1()()()1(kxKCGLFkKCxkxkxGLkFxkx将上式改写成

27、)42.2 .7()( )()1( )1(kxkxKCGLFKCGLFkxkx7.2.3 按极点配置设计控制器 由此可见，式(7.2.42)构成的闭环系统的2n个极点由两部分组成：一部分是按状态反馈控制规律设计所给定的n个控制极点；另一部分是按状态观测器设计的n个观测器极点，这就是“分离性原理”。李志俊2014. 11由上式构成的闭环系统的特征方程为0)()(0)(zzKCFzIGLFzIKCFzIGLGLFzIKCGLFzIGLFzIGLGLFzIKCGLFzIKCGLFzIKCGLFKCGLFzIz 即)43.2 .7(0)()()(zzz7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014.

28、11 3、状态反馈控制器的设计步骤综上可归纳出采用状态反馈的极点配置的步骤如下： 1) 按闭环系统的性能要求给定几个控制极点； 2) 按极点配置设计状态反馈控制规律，计算L； 3) 合理地给定观测器的极点，并选择观测器的类型，计算观测器 增益矩阵K； 4) 最后根据所设计的控制规律和观测器，由计算机来实现。7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014. 11 4、观测器及观测器类型选择 采用状态反馈控制器的设计，控制极点是按闭环系统的性能要求来设置的，因而控制极点成为整个系统的主导极点。观测器极点的设置应使状态重构具有较快的跟踪速度。v 如果量测输出中无大的误差或噪声，则可考虑观测器极点都设

29、置在Z平面的原点。v 如果量测输出中含有较大的误差或噪声，则可考虑按观测器极点所对应的衰减速度比控制极点对应的衰减速度快约4或5倍的要求来设置。7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014. 117.2.3 按极点配置设计控制器观测器的类型选择应考虑以下两点：1)如果控制器的计算延时与采样周期处于同一数量级，则可考虑选用预报观测器，否则可选用现时观测器。 2)如果量测输出比较准确，而且它是系统的一个状态，则可考虑选用降阶观测器，否则可选用全阶观测器。李志俊2014. 11 例7.5 在例7.2中的系统的离散状态方程为)(1 .0005.0)(101 .01)1(kukxkx并知系统是能控的。

30、系统的输出方程为)(01)(kxky 系统的采样周期为0.1s，试设计状态反馈控制器，以使控制极点配置在z1=0.6,z2=0.8，使观测器(预报观测器)的极点配置在z1=0.9+j0.1,z2=0.9-j0.1处。7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014. 11 前面讨论了调节系统的设计，即在图7-4中r(k)=0的情况。在调节系统中，控制的目的在于有效地克服干扰的影响，使系统维持在平衡状态。不失一般性，系统的平衡状态可取为零状态，假设干扰为随机干扰，且相邻脉冲干扰之间的间隔大于系统的响应时间。当出现脉冲干扰时，它将引起系统偏离零状态。当脉冲干扰撤除后，系统将从偏离的状态逐渐回到零状态

31、。 然而,对于阶跃型或常值干扰,前面所设计的控制器不一定使系统具有满意的性能.按照前面的设计,其控制规律为状态的比例反馈，因此若在干扰加入点的前面不存在积分作用,则对于常值干扰,系统的输出将存在稳态误差。克服稳态误差的一个有效方法是加入积分控制。下面研究如何按极点配置设计PI(比例积分)控制器，以克服常值干扰所引起的稳态误差。7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014. 11 设被控对象的离散状态方程为)44.2.7()()()()()()1(kCxkykvkGukFxkx 其中v(k)为阶跃干扰，当k1时，v(k)=0,则)45. 2 . 7() 1() 1(1),()() 1(kxCk

32、ykkuGkxFkx将上式改写成)46. 2 . 7()()() 1(1),()()() 1(kuGkxFkxkkuCGkxCFkyky令)47. 2 . 7 (0)()()(GCGGFCFIFkxkykm7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014. 11 则有)48. 2 . 7()()() 1(kuGkmFkm 仍然利用按极点配置设计控制规律的算法，针对式(7.2.48)设计如下的状态反馈控制规律)49.2 .7()()()()(21kxLkyLkLmku 对式(7.2.49)两边作求和运算得)51.2 .7()()()(211kxLiyLkuki 显然，上式u(k)由两部分组成：前项

33、代表积分控制，由于假设r(k)=0，平衡状态又取为零状态，所以上式是输出量的积分控制；后项代表状态的比例控制，并要求全部状态直接反馈。式(7.2.51)称为按极点配置设计的PI控制规律。图7-7所示为采用PI控制规律的系统结构图。)50.2.7(21LLL 其中7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014. 11 下面说明为什么这样的控制规律能够抑制阶跃型干扰而无稳态误差。将式(7.2.49)代入式(7.2.48)得)52.2.7()()()1(kmLGFkm 矩阵(F-GL)的特征值即为给定的闭环极点，显然它们都应在单位元内，也即式(7.2.52)所示的闭环系统一定是稳定的。从而对于任何初

34、始条件均有)53.2.7(0)(limkmk 由于y(k)是m(k)的一个状态，显然也应有)54.2.7(0)(limkyk 上式表明，尽管存在常值干扰v(k)，输出的稳态值终将回到零，也即不存在稳态误差。图7-7,PI控制规律要求全部状态直接反馈，实际上是不现实的。因此可通过观测器重构状态，然后再线性反馈，如图7-8所示。7.2.3 按极点配置设计控制器李志俊2014. 11 为了消除常值干扰所产生的稳态误差，我们讨论了调节系统(r(k)=0)的PI控制规律设计(如图7-7,这里暂时不考虑观测器)。在图7-7的基础上，我们可以很容易地画出引入参考输入时相应的跟踪系统的结构图如图7-9所示。

35、根据图7-9可得控制规律为)55.2 .7()()()(201kxLieLkuki 其中L1和L2仍按极点配置方法进行设计，如式(7.2.49).对于这样的控制规律，在常值参考输入以及在常值干扰作用下均不存在稳态误差，下面来说明这一点。7.2.4 跟踪系统设计李志俊2014. 11根据迭加原理，可分别考虑以下两种情况： r(k)=0,v(k)=常数；r(k)=常数,v(k)=0。 对于图7-9即化简为图7-7，前面已说明图7-7的控制规律对常值干扰不存在稳态误差。对于即只考虑常值参考输入的情况，系统可描述为)59.2.7()()()58.2.7()()()()57.2.7()()()56.2.

36、7()()()1(012kieeieLkukxLkukukCxkykGukFxkx7.2.4 跟踪系统设计李志俊2014. 11将式(7.2.58)代入(7.2.56)可得)61. 2 . 7()()()()60. 2 . 7()()()() 1(122eeGuGLFIxkGukxGLFkx由式(7.2.57)得)62. 2 . 7()()()()(12eGuGLFICCxy 按极点配置法设计的闭环系统是渐近稳定的，所以当r(k)=常数时一定有y()=常数。ue()是误差e(k)=r(k)-y(k)的积分，所以一定有e()=0即y()=r()，也就是说，对于常值参考输入，系统2的稳态误差等于零

37、。7.2.4 跟踪系统设计李志俊2014. 11 为了进一步提高系统的无静差度，还可引入参考输入r(k)的顺馈控制，如图7-10所示。 图7-10比图7-9多了一个输入顺馈通道，控制规律中的其它参数L1和L2仍用和以前一样的方法进行设计。剩下的问题是如何确定顺馈增益系数L3。仿照和前面式(7.2.62)的推导不难求得当r(k)为常数时)63.2 .7()()()()(12eruuGGLFICy 稳态时有y()=r(),同时希望在上式中ue()=0以提高系统的无静差度，因此得到)64.2.7()()()()(312rLGGLFICrur7.2.4 跟踪系统设计李志俊2014. 11从而得)65.

38、2.7()(1123GGLFICL 在图7-10中，仍然要求全部状态直接反馈，这在生产实际中几乎是不可能的。因此可仿照与前面类似的方法，通过构造观测器来获得状态重构x(k),然后再反馈x(k)。包含观测器及积分的控制器如图7-11所示。在图7.11中，可根据需要选用前面讨论过的任何一种形式的观测器。7.2.4 跟踪系统设计李志俊2014. 11 前面我们用极点配置法解决了系统的综合问题，其主要设计参前面我们用极点配置法解决了系统的综合问题，其主要设计参数是闭环极点的位置，而且仅限于说明单输入单输出系统中。这儿数是闭环极点的位置，而且仅限于说明单输入单输出系统中。这儿讨论更一般的控制问题。假设过

39、程对象是线性的，且可以是时变的讨论更一般的控制问题。假设过程对象是线性的，且可以是时变的并有多个输入和多个输出，另外在模型中还加入了过程噪声和量测并有多个输入和多个输出，另外在模型中还加入了过程噪声和量测噪声。若性能指标是状态和控制信号的二次型函数，则综合问题被噪声。若性能指标是状态和控制信号的二次型函数，则综合问题被形式化为使此性能指标为最小的问题，由此可得到的最优控制器是形式化为使此性能指标为最小的问题，由此可得到的最优控制器是线性的，这样的问题称为线性二次型线性的，这样的问题称为线性二次型LQ(Linear Quadratic)LQ(Linear Quadratic)控制问控制问题。如果

40、在过程模型中考虑了高斯随机扰动，则称为线性二次型高题。如果在过程模型中考虑了高斯随机扰动，则称为线性二次型高斯斯LQG(Linear Quadratic Gaussian)LQG(Linear Quadratic Gaussian)控制问题。控制问题。7.3 采用状态空间的最优化设计法李志俊2014. 11 我们首先讨论在所有状态都可用的条件下导出了我们首先讨论在所有状态都可用的条件下导出了LQLQ问题的最优问题的最优控制规律，如果全部状态是不可测的，就必须估计出它们，这可用控制规律，如果全部状态是不可测的，就必须估计出它们，这可用状态观测器来完成。然后对随机扰动过程，可以求出使估计误差的状态

41、观测器来完成。然后对随机扰动过程，可以求出使估计误差的方差为最小的最优估计器，它称为卡尔曼方差为最小的最优估计器，它称为卡尔曼(Kalman)(Kalman)滤波器。这种估滤波器。这种估计器的结构与状态观测器相同，但其增益矩阵计器的结构与状态观测器相同，但其增益矩阵K K的确定方法是不同的确定方法是不同的，而且它一般为时变的。最后根据分离性原理来求解的，而且它一般为时变的。最后根据分离性原理来求解LQGLQG问题的问题的最优控制，并采用卡尔曼滤波器来估计状态。采用最优控制，并采用卡尔曼滤波器来估计状态。采用LQGLQG最优控制器最优控制器的调节系统的调节系统(r(k)=0)(r(k)=0)如图

42、7.12所示。7.3 采用状态空间的最优化设计法李志俊2014. 11 现在来求解完全状态信息情况下的现在来求解完全状态信息情况下的LQLQ最优控制问题。其最最优控制问题。其最优控制器由离散动态规划来确定。优控制器由离散动态规划来确定。)1 .3 .7()()()0(),()()(tCxtyxtButAxtx给定7.3.1 LQ最优控制器设计1.1.问题的描述问题的描述 首先考虑确定性问题首先考虑确定性问题, ,即无过程干扰即无过程干扰Vc(t)Vc(t)和量测噪声和量测噪声w(t)w(t)的情况。设被控对象的连续状态方程为的情况。设被控对象的连续状态方程为且连续的被控对象和离散控制器之间采用

43、零阶保持器连接，即且连续的被控对象和离散控制器之间采用零阶保持器连接，即)2 .3 .7()()(kutu其中：其中：T T为采样周期。为采样周期。李志俊2014. 11将连续状态方程离散化得将连续状态方程离散化得)3 .3 .7()()()()()1(kCxkykGukFxkx7.3.1 LQ最优控制器设计系统控制的目的是按线性二次型性能指标函数系统控制的目的是按线性二次型性能指标函数)5 . 3 . 7()()()()()()(2010dttuQtutxQtxNTxQNTxJTNTTT其中其中)4 .3 .7(0TAtATdtBeGeF为最小，来设计离散的最优控制器为最小，来设计离散的最优

44、控制器L L，使，使李志俊2014. 11其中，加权矩阵其中，加权矩阵Q0Q0和和/Q1/Q1为非负定对称矩阵，为非负定对称矩阵，/Q2/Q2为正定对为正定对称矩阵，称矩阵，N N为正整数。为正整数。7.3.1 LQ最优控制器设计)6 .3 .7()()(kLxku 公式公式(7.3.5)(7.3.5)即为即为LQLQ最优控制器。带最优控制器。带LQLQ最优控制器调最优控制器调节系统节系统(r(k)=0)(r(k)=0)如图如图7.137.13所示。所示。 当当N N为最小正整数时，称为最少拍时间最优调节器问为最小正整数时，称为最少拍时间最优调节器问题。实际上应用最多的是要求题。实际上应用最多

45、的是要求N=N=，设计无限时间最优调，设计无限时间最优调节器，计算节器，计算L(k)L(k)的稳态解。的稳态解。李志俊2014. 117.3.1 LQ最优控制器设计2.2.二次型性能指标函数的离散化二次型性能指标函数的离散化 二次型性能指标函数式二次型性能指标函数式(7.3.5)(7.3.5)是以连续时间形式表是以连续时间形式表示的，并可进一步表示为示的，并可进一步表示为)7 . 3 . 7()()()(100NkTkJNTxQNTxJ)8 . 3 . 7()()()()()(2)1(1dttuQtutxQtxkJTTkkTT而且而且 由式由式(7.3.1)(7.3.1)、(7.3.2)(7.

46、3.2)，当，当kTt(k+1)TkTt(k+1)T时可求得时可求得)9 . 3 . 7()()()()()()()()()(tkTtAkTtAtkTtAkTtAkBudekxedBuekxetx李志俊2014. 117.3.1 LQ最优控制器设计)13. 3 . 7()()()12. 3 . 7()()()11. 3 . 7()(20010200112011TQBdtdeQdeBQBdtdeQeQdteQeQTtAtTATTtATAtTAtTAt)10. 3 . 7()()()()(2)()()(2121kuQkukuQkxkxQkxkJTTT其中其中将式将式(7.3.9)(7.3.9)、(

47、7.3.2)(7.3.2)，代入式，代入式(7.3.8)(7.3.8)，并整理可得，并整理可得将式将式(7.3.10) (7.3.10) 代入式代入式(7.3.7)(7.3.7)得到等效的离散二次型性能得到等效的离散二次型性能指标函数为指标函数为)14. 3 . 7()()()()(2)()()()()(1021210NkTTTTkuQkukuQkxkxQkxNxQNxkJ李志俊2014. 117.3.1 LQ最优控制器设计2.2.最优控制规律计算最优控制规律计算 对式对式(7.3.3)(7.3.3)所示的离散被控对象，若使式所示的离散被控对象，若使式(7.3.14)(7.3.14)所示的离散

48、二次型性能指标函数为最小，则式所示的离散二次型性能指标函数为最小，则式(7.3.6)(7.3.6)所所示的离散控制规律示的离散控制规律L L的递推公式为的递推公式为)16.3 .7()1()1()()15.3 .7()()()(1212TTTQFkSGGkSGQkLkxkLku)19. 3 . 7()0()0()0()18. 3 . 7()()17. 3 . 7()()(1)()()()1()()(min012122xSxJQNSkLQQkLQkLQkLkGLFkSkGLFkSTTTTT李志俊2014. 117.3.2 状态最优估计器设计 全部状态全用于反馈。这在实际上是难于做到的，因全部状态

49、全用于反馈。这在实际上是难于做到的，因为有些状态是无法量测的，即使量测到的信号中还可能含为有些状态是无法量测的，即使量测到的信号中还可能含有量测噪声，下面讨论状态最优估计。有量测噪声，下面讨论状态最优估计。 设连续被控对象的状态方程设连续被控对象的状态方程( (如图如图7.127.12所示所示) )为为)22.3 .7()()()(, 0)()21.3 .7()()()(, 0)(tWwtEwtEwtVvtEvtEvTcTccc其中，其中，VcVc为非负定对称矩阵，为非负定对称矩阵，W W为正定对称矩阵，并假设为正定对称矩阵，并假设v vc c(t)(t)和和w(t)w(t)互不相关。互不相关

50、。李志俊2014. 117.3.2 状态最优估计器设计1.1.连续被控对象的状态方程的离散化连续被控对象的状态方程的离散化 为了设计离散的为了设计离散的KalmanKalman滤波器，可首先将式滤波器，可首先将式(7.3.20)(7.3.20)所示的连续模型进行离散化，从而采样系统的所示的连续模型进行离散化，从而采样系统的KalmanKalman滤波滤波问题便转化为相应的离散系统的设计问题。问题便转化为相应的离散系统的设计问题。)23. 3 . 7()()()()(000)()(0)(dvedBuetxetxctttAtttAttA)24. 3 . 7() 1()()(TktkTkTutu方程

51、方程(7.3.20)(7.3.20)的解可写为的解可写为这里也假定在连续的被控对象前有一零阶保持器，因而有这里也假定在连续的被控对象前有一零阶保持器，因而有李志俊2014. 117.3.2 状态最优估计器设计)25. 3 . 7()()()() 1(00dttTkTvedtkBuekxekxcTAtTAtAT)26. 3 . 7()()(kwCxkky其中其中T T为采样周期，令为采样周期，令t t0 0=kT,t=(k+1)T,=kT,t=(k+1)T,则式则式(7.3.23)(7.3.23)变为变为进一步将系统的量测方程离散化为进一步将系统的量测方程离散化为则则(7.3.20)(7.3.2

52、0)所对应的离散方程为所对应的离散方程为)28. 3 . 7()()()27. 3 . 7()()()()()()() 1(00TcAtdTAtATddttTkTvekvdtBeGeFkwkCxkykvkGukFxkx李志俊2014. 117.3.2 状态最优估计器设计2.Kalman2.Kalman滤波公式的推导滤波公式的推导 在方程在方程(7.3.27)(7.3.27)中，由于存在随机的干扰中，由于存在随机的干扰v vd d(k)(k)和随和随机的测量噪声机的测量噪声w(k)w(k)。因此系统的状态向量。因此系统的状态向量x(k)x(k)也为随机向也为随机向量。其中量。其中y(k)y(k)

53、是能够量测的输出量。问题是根据量测量是能够量测的输出量。问题是根据量测量y(k)y(k)估计估计x(k)x(k)，若记，若记x(k)x(k)的估计量为的估计量为x(k),x(k),则则)29. 3 . 7()( )()(kxkxkx)30. 3 . 7()()()(kxkxEkPT为状态估计误差，因而为状态估计误差，因而为状态估计误差的协方差阵。显然，为状态估计误差的协方差阵。显然，P(k)P(k)为对称非负定矩为对称非负定矩阵。根据最优估计理论，最小方差估计为阵。根据最优估计理论，最小方差估计为)31. 3 . 7(),1(),(| )()( kykykxEkx李志俊2014. 117.3.

54、2 状态最优估计器设计 最后将所有的最后将所有的KalmanKalman滤波递推公式归纳如下滤波递推公式归纳如下)32. 3 . 7() 1() 1( ) 1|( kGukxFkkx)34. 3 . 7() 1|() 1|()(1WCkkCPCkkPkKTT)36. 3 . 7()()()()1|()()(kWKkKCkKIkkPCkKIkPTT)33. 3 . 7()1|( )()() 1|( )( kkxCkykKkkxkx x(0) x(0)和和P(0)P(0)给定，给定，k=1,2,3,k=1,2,3, 从上面的递推公式可以看出，若从上面的递推公式可以看出，若KalmanKalman滤

55、波增益矩阵滤波增益矩阵K(k)K(k)已知，由已知，由(7.3.32)(7.3.32)、(7.3.33)(7.3.33)便可依次计算状态最优便可依次计算状态最优估计，因此必须先计算出估计，因此必须先计算出K(k)K(k)李志俊2014. 117.3.2 状态最优估计器设计3.Kalman3.Kalman滤波增益矩阵的计算滤波增益矩阵的计算 K(k) K(k)可以直接根据式可以直接根据式(7.3.34)(7.3.34)(7.3.36)(7.3.36)的递推公式的递推公式进行计算，下面给出迭代计算的流程：进行计算，下面给出迭代计算的流程：给定参数给定参数F,C,V,W,P(0)F,C,V,W,P(

56、0)，给定迭代步数，给定迭代步数N N，并置，并置k=1;k=1;按式按式(7.3.35)(7.3.35)计算计算P(k|k-1);P(k|k-1);按式按式(7.3.36)(7.3.36)计算计算P(k);P(k);按式按式(7.3.34)(7.3.34)计算计算K(k);K(k);如果如果k=Nk=N，转，否则转，转，否则转; ;k=k+1k=k+1，转，转; ;输出输出K(k)K(k)和和P(k)P(k)，k=1,2,3,k=1,2,3,N.N.李志俊2014. 117.3.2 状态最优估计器设计 在上述迭代过程中，当在上述迭代过程中，当k k逐渐增加时，逐渐增加时，K(k)K(k)和和

57、P(k)P(k)将趋于稳态值。而且只要初始将趋于稳态值。而且只要初始P(0)P(0)是非负定对是非负定对称矩阵，则称矩阵，则K(k)K(k)和和P(k)P(k)的稳态值将与的稳态值将与P(0)P(0)无关。因无关。因此，如果只需要计算此，如果只需要计算K(k)K(k)的稳态值，则可取的稳态值，则可取P(0)=0P(0)=0或或P(0)=IP(0)=I。李志俊2014. 117.3.3 LQG最优控制器设计 由由LQLQ最优控制器和状态最优估计两部分，就组成了最优控制器和状态最优估计两部分，就组成了LQGLQG最优控制器。设连续被控对象即式最优控制器。设连续被控对象即式(7.3.20)(7.3.

58、20)的离散状的离散状态方程即式态方程即式(7.3.27)(7.3.27)为为由状态最优估计器和由状态最优估计器和LQLQ最优控制器组成的最优控制器组成的LQGLQG的方程为的方程为)37. 3 . 7()()()()()()() 1(kwkCxkykvkGukFxkxd)38. 3 . 7()( )()1|( )() 1|( )( ) 1() 1( ) 1|( kxLkukkxCkyKkkxkxkGukxFkkx李志俊2014. 117.3.3 LQG最优控制器设计 显然，设计显然，设计LQGLQG最优控制器的关键是按分离性原理分最优控制器的关键是按分离性原理分别计算别计算KalmanKal

59、man滤波器增益矩阵滤波器增益矩阵K K和最优控制器和最优控制器L L。图图7.127.12给给出了采用出了采用LQGLQG最优控制器的系统框图。最优控制器的系统框图。 为了计算为了计算LQGLQG最优控制器最优控制器, ,首先按式首先按式(7.3.34)(7.3.34)(7.3.36)(7.3.36)迭代计算迭代计算K(k)K(k)，直至趋于稳态值，直至趋于稳态值K K为止；然后按为止；然后按(7.3.16)(7.3.16) (7.3.18)(7.3.18)迭代计算迭代计算L(k)L(k)直至趋于稳态值直至趋于稳态值L L为止。为止。)37. 3 . 7()()()()()()() 1(kw

60、kCxkykvkGukFxkxd李志俊2014. 117.3.3 LQG最优控制器设计 闭环系统的调节性能取决于最优控制器，而最闭环系统的调节性能取决于最优控制器，而最优控制器的设计又依赖于被控对象的模型优控制器的设计又依赖于被控对象的模型( (矩阵矩阵A,B,C)A,B,C)、干扰模型、干扰模型( (协方差矩阵协方差矩阵V,W)V,W)和二次型性能指和二次型性能指标函数中加权矩阵标函数中加权矩阵(Q0,/Q1,/Q2)(Q0,/Q1,/Q2)的选取。被控对象的选取。被控对象的模型可通过机理分析、实验方法和系统辨识方法的模型可通过机理分析、实验方法和系统辨识方法来获取。来获取。KalmanKa