高等数学第六版第一章第七节函数连续与间断

1、作业作业P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 6P74 (习题110） 1; 2 ; 3; 5; 6复习 第一章（习题课） *P65 3; 4 ; 5无穷小的比较内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 等价无穷小替换定理3二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节机动 目录 上页 下页 返

2、回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 4分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁5l 连续函数是微积分研究的主要对象。l 连续现象、连续性是自然界、人类社会 大量呈现的基本现象。有关连续的相关概念 自变量的改变量（增量） 0,xxx 0()xxx 函数的改变量 （增量） 00()()yf xxf x 0( )()f xf x6说明: 1）函数)(xf在点0 x一、 函数连续性（ Continuous ）的定义定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0

3、 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数在一点的连续性72）对自变量的增量,0 xxx 有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0则函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 80lim( )xxf x存在左连续2.左

4、连续与右连续左连续与右连续0(0)f x 0()f x；右连续0lim( )xxf x存在0(0)f x 在在 点连续点连续 0( )f xx0()f x；0fx在 点既左连续又右连续.93. .在区间上的连续性在区间上的连续性f (x)在(a, b)内连续 f 在开区间(a, b)内的每一点都连续.( )f x在a, b上连续 f 在开区间(a, b)内连续,且在a点处右连续，在b点处左连续.或或 f f 在在( (a a, , b b) )内连续内连续, ,lim( )( )且且xaf xf a lim( )( )xbf xf b 若若 f f 在在 a a, , b b 上连续上连续,

5、, 则记作f xC a b( ) , 10continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx 若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 .例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.注意：只有在定义域上连续的函数才是连续函数只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 连续函数11例例1. 证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin

6、222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这表明：xysin在),(内连续 .同理可证: 函数cos ,xyx ye在),(内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 结束 12例例2.设2cos 11, 11( )0,1 ,11xxf xxxx （）讨论( )f x在1 x处的连续性.解解:( 1)0,f 1lim( )xf x1lim cos 110,xx（） ）1lim( )xf x21lim10,xx -处连续,需有( 1)f 1lim( )xf x1lim( )xf x即( )1.f xx 故在连续13例例3.设函数)(xf,2)cos1 (xxa0

7、x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .解解:20)cos1 (lim)0(xxafx2a211 cos02xxx（）)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 返回 结束 14例例4. 设 f (x) 定义在区间),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf若 f (x) 在连续,0 x证: 由由()( )( )(0)0f xyf xf yf，有且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 15 再由 f (x) 在x =0连续 ，有，有0lim( )(0)0 xf

8、xf故)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx( )(0)f xf( )f x机动 目录 上页 下页 返回 结束 在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 20 0lim0(0)xxf 0 01limsi

9、nxxx 0 0lim|xxx 0 0lim1|xxx 1 如21sin0( )0 xxxf xxx 0|( )00又， (0)=0f fxxxf xx 01lim sin0,xxx没定义.但 在在1( )sinf xxx0 x 1sin0,( )00若若xxf xxx ()0则则在在 点点处处 连连 续续fxx 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,

10、为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 各类间断点图示各类间断点图示可可去去间间断断点点跳跳跃跃间间断断点点无无穷穷型型间间断断点点振振荡荡型型间间断断点点连连续续xytan) 1 (2x x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例例5.xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 结束 判断下列函数在指定间断点的类型1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5

11、) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求函数的间断点并判断其类型.xxexf111)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求的间断点, 并判别其类型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 为第一类可去间断点)(l

12、im1xfx x = 1 为第二类无穷间断点, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 为第一类跳跃间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1)()(xaxbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例8. 设函数试确定常数 a 及 b .机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续函数.机动 目录 上页