第四章_151216

1、Time-Varying Electromagnetic Field第四章第四章 时变电磁场时变电磁场电磁感应定律和全电流定律电磁感应定律和全电流定律正弦电磁场正弦电磁场引言引言电磁辐射电磁辐射电磁场基本方程、分界面上的衔接条件电磁场基本方程、分界面上的衔接条件动态位及其积分解动态位及其积分解坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量4.0 4.0 引引 言言Introduction恒定场与时变场的比较恒定场与时变场的比较1. 1. 恒定场的特点恒定场的特点 涉及的所有物理量仅是空间坐标的函数涉及的所有物理量仅是空间坐标的函数 遵循的定理和定律是麦克斯韦以前的电磁学说，如遵循的定理和定律是麦

2、克斯韦以前的电磁学说，如库仑定律库仑定律高斯定律高斯定律电荷守恒定律电荷守恒定律电流连续性原理电流连续性原理rerqqF2214 DqdSD0 Jt J ),(),(zyxB zyxE安培环路定律安培环路定律磁通连续性原理磁通连续性原理 IdlH0B dSB0电场和磁场相互联系成为不可分割的整体。电场和磁场相互联系成为不可分割的整体。2. 2. 时变场的特点时变场的特点涉及的所有物理量不仅是空间坐标的函数，而且是涉及的所有物理量不仅是空间坐标的函数，而且是时间的函数；时间的函数；遵循麦克斯韦方程；遵循麦克斯韦方程；电场和磁场可以共处于一个空间，但彼此独立，服电场和磁场可以共处于一个空间，但彼此

3、独立，服从各自的基本方程。从各自的基本方程。),(),(tz,yxB tz,yxE1831 年 11 月 13日生于苏格兰的爱丁堡。10岁时进入爱丁堡中学学习。14岁在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习。1854年毕业留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁，并于1873年出版。1871年受聘

4、为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室。1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日因病在剑桥逝世。詹姆斯克拉克麦克斯韦19世纪伟大的英国物理学家、数学家。时变场的知识结构框图：时变场的知识结构框图：磁通磁通连续性原理连续性原理高斯定律高斯定律电磁感应定律电磁感应定律全电流定律全电流定律MaxwellMaxwell方程组方程组坡印廷定理与坡印廷矢量坡印廷定理与坡印廷矢量正弦电磁场正弦电磁场动态位动态位A A , ,分界面上衔接条件分界面上衔接条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程电磁辐射、传输线及波导电磁辐射、传输线及波导1.1.电磁感应定律电磁感

5、应定律（Faradays Law） 1831年法拉弟在实验中观测到电磁感应现象，发现仅当年法拉弟在实验中观测到电磁感应现象，发现仅当与回路交链的磁通发生变化时产生磁的电效应，如与回路交链的磁通发生变化时产生磁的电效应，如Faradays Law and Amperes Circuital Law4.1 4.1 电磁感应定律和全电流定律电磁感应定律和全电流定律I电磁感应现象的产生分为两类：电磁感应现象的产生分为两类：i（t） 磁场不变，导体回路运动磁场不变，导体回路运动 导体回路不动，磁场变化导体回路不动，磁场变化两类现象的共同点两类现象的共同点 导导体回路的磁感应通量发生了变体回路的磁感应通量

6、发生了变化产生感应电势化产生感应电势ddt E 感生电动势的参考方向 注意注意 负号表示感应电流产生的负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。磁场总是阻碍原磁场的变化。B1 1）回路不动，磁场随时间变化）回路不动，磁场随时间变化dddSttBSE称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势。称为感生电动势，为变压器工作原理，亦称变压器电势。 感生电动势由电磁感应的类型得感应电势产生的方法由电磁感应的类型得感应电势产生的方法2 2）磁场不变，回路运动切割磁力线）磁场不变，回路运动切割磁力线d() ddlt BlE称动生电动势，是发电机工称动生电动势，是发电机工作原理，亦称发电机电势。

7、作原理，亦称发电机电势。 动生电动势若若B均匀，且均匀，且l、B、V三三者垂直，则者垂直，则vBlEBqvfifEvBq3 3）磁场随时间变化，回路切割磁力线）磁场随时间变化，回路切割磁力线d() dddlStt BBlSE两种电磁感应现象是两种物理性质不同的现象，但都服两种电磁感应现象是两种物理性质不同的现象，但都服从统一的法拉第电磁感应定律。从统一的法拉第电磁感应定律。结论产生电场的源不仅有电荷，变化的磁场也产生电场，电产生电场的源不仅有电荷，变化的磁场也产生电场，电场与磁场紧密相连。场与磁场紧密相连。电磁感应定律表明：感应电动势与构成回路的材料性质无电磁感应定律表明：感应电动势与构成回路

8、的材料性质无关（甚至可以是关（甚至可以是假想回路假想回路），只要与回路交链的磁通发生），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。应电流产生。感应电动势与感应电场的关系为感应电动势与感应电场的关系为：感应电场也叫做感应电场也叫做涡旋电场涡旋电场，是非保守场是非保守场，电力线呈闭合曲，电力线呈闭合曲线，变化的磁场是产生线，变化的磁场是产生Ei的涡旋源。的涡旋源。() ()iilslBE dlEdSVB dldSdtEE()iBEVBt在静止媒质中在静止媒质中 2. 全电流定律全电流定律（Amperes

9、Law）问题的提出问题的提出 法拉第根据电磁之间的对偶关系，提出变化的磁场产法拉第根据电磁之间的对偶关系，提出变化的磁场产生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢？生电场，那么变化的电场是否会产生磁场呢？ 麦克斯韦从安培环路定律与电荷守恒定律的矛盾出发麦克斯韦从安培环路定律与电荷守恒定律的矛盾出发提出随时间变化的电通量与传导电流一样可以产生磁场。提出随时间变化的电通量与传导电流一样可以产生磁场。dSJIl dHlJH 0 J电流连续电流连续 恒定磁场恒定磁场 0dd2SlSJlH交变电路用安培环路定律电荷与电流连续性定律电荷与电流连续性定律iSl1ddSJlH取取S1面有面有illH d线积分结

10、果不同！线积分结果不同！取取S2面有面有dtdqdSJItJ安培环路定律安培环路定律时变场时变场安培环路定律和电荷与电流连续性定理只有在恒定情况安培环路定律和电荷与电流连续性定理只有在恒定情况下是一致的，在时变情况下是矛盾的。下是一致的，在时变情况下是矛盾的。麦克斯韦认为电荷与电流连续性定理符合电荷守恒定律是无可怀疑的，电荷与电流连续性定理符合电荷守恒定律是无可怀疑的，而安培环路定律是在恒定情况下得出的需加以修正。而安培环路定律是在恒定情况下得出的需加以修正。麦克斯韦的两个假设麦克斯韦的两个假设 静电场中的高斯定理在时变情况下仍然是正确的；静电场中的高斯定理在时变情况下仍然是正确的；0)(tD

11、JdtdqSJlddSDtSdDt0)(SdDJtt DJHSdJJlHd)(dSl0)(tDJ全电流连续全电流连续 位移电流与传导电流一样具有磁的效应；位移电流与传导电流一样具有磁的效应；tDJd位移电流的密度位移电流的密度SdDdSEStS在时变场中，单纯的传导电流是不连续的，传在时变场中，单纯的传导电流是不连续的，传导电流加位移电流才是连续的，这就是麦克斯导电流加位移电流才是连续的，这就是麦克斯韦位移电流假说；韦位移电流假说；结论全电流定律全电流定律SDJlHd)(dSlt传导电传导电流中断处位移电流接上流中断处位移电流接上22ddSSitqSttSDiSSJ d1=iq0tDdJ当当当

12、当iq0tD不仅传导电流引起磁场，位移电流（变化的电场）也引起不仅传导电流引起磁场，位移电流（变化的电场）也引起磁场；磁场；dJSDJlHd)(dSlt真空中的位移电流仅对应于电场的变化，不伴有电荷的任真空中的位移电流仅对应于电场的变化，不伴有电荷的任何运动，不产生焦耳热，只是在产生磁的效应方面与传导何运动，不产生焦耳热，只是在产生磁的效应方面与传导电流等效；电流等效；全电流定律适用于时变场也适用于恒定场。全电流定律适用于时变场也适用于恒定场。 全电流定律反映了电场和磁场作为一个统一体相互制全电流定律反映了电场和磁场作为一个统一体相互制约、相互依赖的另一个方面，它和法拉第电磁感应定律处约、相互

13、依赖的另一个方面，它和法拉第电磁感应定律处于同一地位。于同一地位。位移电流位移电流cSituCtudSidSdJddd)dd()(tudtDJddd已知平板电容器的面积已知平板电容器的面积 S , ,相距相距d , ,介质的介电常数介质的介电常数 ，板间，板间电压电压u( t )。试求位移电流试求位移电流 id及传导电流及传导电流 iC与与 id 的关系。的关系。例例解 忽略边缘效应和感应电场忽略边缘效应和感应电场dtuEDduE)(,电场电场sqSD d0dsSBSBlEdd lStSDJlHd)(dlst1. 电磁场基本方程组电磁场基本方程组 (Maxwell Equations) 综上所

14、述综上所述, ,电磁场基本方程组电磁场基本方程组t DJHt BE0 B D全电流定律全电流定律 电磁感应定律电磁感应定律磁通连续性原理磁通连续性原理高斯定律高斯定律Maxwell Eguations and Boundary Conditions全电流定律：麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化 的电场都能产生磁场。电磁感应定律：麦克斯韦第二方程，表明电荷和变化的磁场都能产生电场。磁通连续性原理：表明磁场是无源场 , 磁力线总是闭合曲线。高斯定律：表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。4.2 4.2 电磁场基本方程组电磁场基本方程组分界面上的衔接条件分界面上的衔接条

15、件在各向同性的媒质中在各向同性的媒质中EDEJHB麦克斯韦方程组适用于时变场也适用于恒定场，它全面表达麦克斯韦方程组适用于时变场也适用于恒定场，它全面表达了电磁场的基本规律，是分析和研究电磁场问题的依据。了电磁场的基本规律，是分析和研究电磁场问题的依据。结论t DJHt BE D0 B恒定磁场恒定磁场静电场静电场麦克斯韦第一、二方程是独立方程，三、四方程可以从一、麦克斯韦第一、二方程是独立方程，三、四方程可以从一、二方程中推得。二方程中推得。t DJH0)(tDJHtJDt D同理同理t BE0BEt0 B麦克斯韦第一、二方程的核心是变化的电场可以产生磁场，麦克斯韦第一、二方程的核心是变化的电

16、场可以产生磁场，变化的磁场可以产生电场，说明电磁场可以脱离电荷和电变化的磁场可以产生电场，说明电磁场可以脱离电荷和电流而独立存在，且相互作用相互推动，由此麦克斯韦在理流而独立存在，且相互作用相互推动，由此麦克斯韦在理论上预言了电磁波的存在。论上预言了电磁波的存在。 时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，应用积分形式的基本方程：三章类同，应用积分形式的基本方程：2. 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions )lqdSDnnDD12l0dSBnnBB21法向分量法向分量电场的切向分量电场的

17、切向分量SBlEdd SltStBlElElEttddSl12112根据根据02l 令令ttEE12磁场的切向分量磁场的切向分量SDlHdtiSl ddStDdlHSl211211lKlHlHtt根据根据02l 令令12ttHHK12nnBB磁场磁场：21ttEE21nnDD电场电场：折射定律折射定律2121tantan2121tantan推导时变场中理想导体与理想介质分界面上的衔接条件。推导时变场中理想导体与理想介质分界面上的衔接条件。例例分析在理想导体中在理想导体中为有限值为有限值EJ,;0E0)( 常数CB0tBE若若0CB由由0C的建立过程中的建立过程中0tB0E0, BEJ只有所以结

18、论结论: : 理想导体内部无电磁场，电磁波发生全反射。理想导体内部无电磁场，电磁波发生全反射。根据衔接条件根据衔接条件012 EEttDDnn1221ttHHK012BBnn分界面介质侧的场量分界面介质侧的场量0tEnDtH K0nB导体表面有感应的面电荷和面电流，磁力线平导体表面有感应的面电荷和面电流，磁力线平行于导体表面，电力线垂直于导体表面。行于导体表面，电力线垂直于导体表面。3.3.时变场中的唯一性定理时变场中的唯一性定理 时变场中的唯一性定理说明在时变场中求解麦克时变场中的唯一性定理说明在时变场中求解麦克斯韦方程组获得唯一解答所需满足的充分必要条件。斯韦方程组获得唯一解答所需满足的充

19、分必要条件。),()zyxEtz,y,E(x,00唯一性定理：唯一性定理：凡满足下列条件的解凡满足下列条件的解E(x, y, z,t) B(x, y, z,t)是唯一正确的解。是唯一正确的解。 在所求区域在所求区域V中满足麦克斯韦方程组中满足麦克斯韦方程组 在所求区域个各点在所求区域个各点E、H 满足已知的初始条件；满足已知的初始条件；),()zyxHtz,y,H(x,00 在所求区域边界在所求区域边界E、H 的切线分量的切线分量等于已知值。等于已知值。例例 4-1 4-1 在无源的自由空间中，已知磁场强度为在无源的自由空间中，已知磁场强度为A/m)10103cos(1063. 295yezt

20、H 求位移电流密度。求位移电流密度。 解解: :0J麦克斯韦第一方程变为麦克斯韦第一方程变为tDH请注意计算公式的形式请注意计算公式的形式 xydezHHtDJ zxyyzxxyze )yAxA(e )xAzA(e )zAyA(AArot 注意注意:已知变化的磁场用第一方程可求电场，而已知变化的电已知变化的磁场用第一方程可求电场，而已知变化的电场用第二方程可求磁场。场用第二方程可求磁场。例例 4-2 4-2 在无源区域中在无源区域中, ,已知调频广播电台辐射的电磁波的电场已知调频广播电台辐射的电磁波的电场强度强度 V/m , , 求空间任意一点的求空间任意一点的磁感应强度。磁感应强度。解解:

21、: 由麦克斯韦第二方程，由麦克斯韦第二方程，将上式对时间将上式对时间t t积分，则积分，则这里，不考虑这里，不考虑静态场静态场, , 所以积分常数取零所以积分常数取零. .yeztE)9 .201028. 6sin(1092xxyeztezEEtB)9 .201028. 6cos(109 .2092TeztdtezEBxxy)9 .201028. 6sin(1033. 3911例例 4-34-3 比较传导电流和位移电流的大小比较传导电流和位移电流的大小. . 设导体中存在电场设导体中存在电场, ,电场强度为电场强度为 , , 导体的电导率导体的电导率: : 介电常数为介电常数为 。解解: :

22、传导电流密度为传导电流密度为 , , 这里这里 。该题说明。该题说明, , 在良导体中位移电流很小在良导体中位移电流很小. .例例 4-44-4 两块导电平板两块导电平板z=z=0 0和和z=dz=d之间的空气中传播的电磁波的之间的空气中传播的电磁波的电流强度为电流强度为 , ,其中其中 为常数，试求为常数，试求: : (1) (1) 磁场强度磁场强度; (2) ; (2) 两块导电平板表面上的电流线密度两块导电平板表面上的电流线密度. . tEmsin710/S m0EJtEtEtDJmdcos)(0fJJd17010|yextzdEE)cos(sin0f2 解解：(1) (1) 由麦克斯韦

23、第二方程由麦克斯韦第二方程: : 得得 所以所以 (2) (2) 导体表面线电流存在于两块导体相对的一侧导体表面线电流存在于两块导体相对的一侧, , 在在z z=0=0的表面上的表面上, , 在在z z=d=d的表面上，的表面上，tBEyyzextdEeHK)sin(|0001yydzextdEeHK)sin()(|002zyxyexEezEtH0)cos(sin)sin(cos)(1000zxzyxyextdzextdzdEdtexEezEH1. 1. 时变场中的动态位时变场中的动态位Kinetic Potentials and Integral Solutions4.3 4.3 动态位及其

24、积分解动态位及其积分解1 1） 引入位函数的依据是什么；引入位函数的依据是什么；2 2） 位函数和场量满足怎样的关系；位函数和场量满足怎样的关系；3 3） 位函数满足怎样的微分方程。位函数满足怎样的微分方程。从从Maxwell方程组出发方程组出发tttAABE)(由0 B由AB矢量位矢量位提出问题提出问题在时变场中是否在时变场中是否可以像恒定可以像恒定场那样引入位函数？场那样引入位函数？0)(tAEtAE标量位标量位动态位动态位引入的依据引入的依据0()0t BAE动态位动态位与场量的关系与场量的关系 BAAEt注意A、 相互联系，结合在一起才能确定电磁场，它们不相互联系，结合在一起才能确定电

25、磁场，它们不仅是空间坐标的函数，同时又都随时间变化，故称为动仅是空间坐标的函数，同时又都随时间变化，故称为动态位。态位。在时变场中如求得在时变场中如求得 A、，就，就可以通过位函数求得场量可以通过位函数求得场量B、E。AAAA2 2）洛仑兹规范）洛仑兹规范0 A1 1）库仑规范）库仑规范0tA 当一个矢量场的旋度和散度确定以后，这个矢量场当一个矢量场的旋度和散度确定以后，这个矢量场才是唯一确定的。才是唯一确定的。给动态矢位给动态矢位A加一散度条件（称为规范）加一散度条件（称为规范）2. 2. 库仑规范和洛仑兹规范库仑规范和洛仑兹规范如如恒定场情况恒定场情况规范规范唯一确定动唯一确定动态位态位A

26、、 )(1ttAJA()tA带入洛仑兹规范带入洛仑兹规范tDHJ由由D由由tA3. 3. 动态位的微分方程动态位的微分方程把动态位的定义带入把动态位的定义带入麦克斯韦方程中麦克斯韦方程中)()(tAJAA222t2t A222222tt AAJ注意JA2/2达朗贝尔方程达朗贝尔方程或波动方程或波动方程洛仑兹规范的特殊性质是使洛仑兹规范的特殊性质是使A、 具有相同形式的微分方程，具有相同形式的微分方程， A、 完全分开，简化了动态位与场源之间的关系完全分开，简化了动态位与场源之间的关系; ; 若场量不随时间变化，达朗贝尔方程蜕变为泊松方程；若场量不随时间变化，达朗贝尔方程蜕变为泊松方程；达朗贝尔

27、方程适用于各向同性线性的媒质；达朗贝尔方程适用于各向同性线性的媒质；4. 达朗贝尔方程的解达朗贝尔方程的解以时变点电荷为例，以时变点电荷为例，除坐标原点外场中各点满足除坐标原点外场中各点满足0222t222)(1)(trvrr22)(1)(1),(21vrtfrvrtfrtr f 1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数，其具体是具有二阶连续偏导数的任意函数，其具体形式与点电荷的变化情况及空间媒质情况有关。形式与点电荷的变化情况及空间媒质情况有关。取球坐标取球坐标通解通解1v一维波动方程一维波动方程ttt)()(11vrtfvtvrttf有有通解的物理意义通解的物理意义1211( , )()(

28、)rrr tf tf trvrv的物理意义)(1vrtf讨论当当tv rr 这种在一给定时间和位置发生的某一物理现象，在下一这种在一给定时间和位置发生的某一物理现象，在下一时间和位置重复发生且延迟的时间与离开前一位置的距离成时间和位置重复发生且延迟的时间与离开前一位置的距离成比例的一组现象称为波。比例的一组现象称为波。vt tv说明说明 f1 以有限速度以有限速度 向向 方向传播，称之为方向传播，称之为入射波入射波。r 入射波 的物理意义)(2vrtfttt当当tv rr)()(22vrtfvtvrttf在无限大均匀媒质中没有反射波，即在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2 = 0。说明：说明

29、： f2 在在 时间内时间内, ,以速度以速度 向向(- )(- )方向前进方向前进 了了tvtr距离，故称之为距离，故称之为反射波反射波。 波的入射、反射与透射 把波动方程和泊松方程的解结合，由此推论，时变点电把波动方程和泊松方程的解结合，由此推论，时变点电荷的动态标量位为荷的动态标量位为动态位的积分的表达式动态位的积分的表达式根据叠加原理，根据叠加原理，连续分布电荷产生的位函数为连续分布电荷产生的位函数为( , ,)( , , , )d4 Vrx y z tvx y z tVr 无反射无反射的特解为的特解为20静电场中，静电场中，()( )4rq tvtr无反射无反射4qr （无限大均匀媒

30、质）（无限大均匀媒质）讨论若激励源是时变电流源时若激励源是时变电流源时VrvrtzyxtzyxVd),(4),(JA（无反射）（无反射） 达朗贝尔方程解的形式表明：达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取时刻的响应取 决于决于 时刻的激励源。又称时刻的激励源。又称 为为滞后滞后位位，即动态位随时间的变化落后于源的变化。即动态位随时间的变化落后于源的变化。(/)trvA方程的解说明电磁场的特性场的滞后性场的滞后性 1v场的波动性场的波动性 达朗贝尔方程解的形式表明：场量变化比场源达朗贝尔方程解的形式表明：场量变化比场源变化滞后的时间正是波以速度变化滞后的时间正是波以速度v 推进距离推进距离r

31、所需要所需要的时间，电磁波是以有限速度以波的形式传播的，的时间，电磁波是以有限速度以波的形式传播的， 光也是一种电磁波。光也是一种电磁波。 在真空中，在真空中，v=c=3108m/s, ,同光速。同光速。例题例题 4-54-5 在时变电磁场中，已知矢量位函数在时变电磁场中，已知矢量位函数 其中其中 和和 均为常数均为常数. 求电场强度和磁感应强度求电场强度和磁感应强度.解解： 由由洛仑兹条件，得洛仑兹条件，得sin()zmxAA etz e,mAAB0At sin()cos()zmyA etztz e),(zyxCcos() zmxEAetz e在时变电磁场中，感应电场通常比静电场大得多，所在

32、时变电磁场中，感应电场通常比静电场大得多，所以忽略静电场后，得以忽略静电场后，得 恒定场中，电场能量储存在电场中，磁场能量储恒定场中，电场能量储存在电场中，磁场能量储存在磁场中，能量密度分别为存在磁场中，能量密度分别为1122emw w w D EB HPoynting Theorem and Poynting Vector 4.4 4.4 坡坡印亭定理和坡印亭矢量印亭定理和坡印亭矢量问题的问题的提出：提出：时变场中，电场磁场同时存在，电磁能量密度为多少？时变场中，电场磁场同时存在，电磁能量密度为多少？11 22emwwD E B H 麦克斯韦假设时麦克斯韦假设时变场中任何时刻空间任一点的电磁

33、变场中任何时刻空间任一点的电磁能量密度为能量密度为4.4.1 坡坡印亭定理印亭定理（Poynting Theorem）221111()=(2222wEHtttD EB H）ttDBEH两边对两边对 t 求导，求导，dVWwttV（3）（2）EHEHtt（）（）()() EHJHE电磁场中任一体积电磁场中任一体积V内储存的总电磁能量为内储存的总电磁能量为()wtEHE J() ddSV EHSE J V则有则有由矢量由矢量恒等式恒等式()()wt EHJHE()() EHE JHE() d =dSVWtEHSE J V()() HEEHE Jd() ddVVVWwtt VEHVE J V若考虑体

34、积内含有电源若考虑体积内含有电源)(eEEJeEJE 体积体积V内电源提供内电源提供的能量，减去的能量，减去电阻电阻消耗消耗的的热热能，能，减去电磁能量减去电磁能量的增量，的增量，等于穿等于穿出包围体积出包围体积V的的闭合面闭合面 S 向外输送向外输送的电磁的电磁能量能量。tWVJVVVeSddJESdHE2)(坡印亭定理坡印亭定理坡印亭定理的物理意义() d =dSVWtEHSE J VVJVsVVeddd)(2JESHE在恒定场中在恒定场中坡印亭定理是电磁场的能量守恒表达式是宏观电磁现坡印亭定理是电磁场的能量守恒表达式是宏观电磁现象的一个普遍定理；象的一个普遍定理；注意坡印亭定理适用于时变

35、场也适用于恒定场；坡印亭定理适用于时变场也适用于恒定场；若不存在外电源若不存在外电源VJsVdSdHE2)(若不存在导电媒质若不存在导电媒质s0)(SdHE磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成能量的流动。磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成能量的流动。 表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度功率流密度，S 的方向的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。4.4.24.4.2. .坡印亭矢量坡印亭矢量 (Poynting Vector)HESW/

36、m2 定义坡印亭矢量定义坡印亭矢量电磁波的传播用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a 和和b。 理想导体内部电磁场为零，理想导体内部电磁场为零，S内内=0。坡印亭矢量存在于内外导体间的介质中。坡印亭矢量存在于内外导体间的介质中。4.4.34.4.3. .坡印亭定理的应用坡印亭定理的应用例例解电缆外部电磁场为零，电缆外部电磁场为零，S外外=0。设介质设介质无损耗无损耗电场强度电场强度eE)a/bln(UeH2Iz2I)a/bln(UeHES磁场强度磁场强度坡

37、印亭矢量坡印亭矢量侧面侧面AdSAdSAdSdASBAP流入内外导体间任意封闭面的功率为流入内外导体间任意封闭面的功率为ABbaUIabUIPdA2/ln22UIBP0当导体和介质无损耗时，电源提供的能量全部当导体和介质无损耗时，电源提供的能量全部输送到负载，能量是通过坡印亭矢量传递的；输送到负载，能量是通过坡印亭矢量传递的；结论 S在在导体之间的介质中传输，说明电磁能量是通导体之间的介质中传输，说明电磁能量是通过导体周围的电磁场传播的，导线只起导引电过导体周围的电磁场传播的，导线只起导引电磁能流走向的作用。磁能流走向的作用。例例解电缆长为电缆长为 l，内导体半径为内导体半径为a，电导率为，电

38、导率为 ，试分析内导，试分析内导体损耗的能量。体损耗的能量。HEStnHESnt,IEHSP设122ttzIaJEEe电场电场zRIe0eHaI2 磁场磁场计算导体吸收的功率计算导体吸收的功率ntSE H201)2I Rae(内导体内导体表面表面dAS SP2001() 22 LI ReadleaRIRI202L结论 对于有损耗的传输线电磁能量仍通过导体之间的坡印对于有损耗的传输线电磁能量仍通过导体之间的坡印亭矢量（导体周围的电磁场）传输，在传输的过程中部亭矢量（导体周围的电磁场）传输，在传输的过程中部分能量被导体电阻消耗，部分能量传递到负载。分能量被导体电阻消耗，部分能量传递到负载。电路中正

39、弦量有三要素：电路中正弦量有三要素：振幅振幅、频率频率和和相位相位。( )2 cos()i ttIjjjeIIjeII正弦电磁场也有三要素：正弦电磁场也有三要素：振幅振幅, , 频率频率和和相位相位。1.1.正弦电磁场的复数形式正弦电磁场的复数形式( , , , )2 ( , , )cos()x y z tx y ztFFj( , , )x y z e F F2( , , ) sin()x y ztt FF4.5 4.5 正弦电磁场正弦电磁场d ( )2sin()2cos(90 )di ttttII-jjjeFF正弦电磁场基本方程组的复数形式正弦电磁场基本方程组的复数形式场量与动态位的关系场量

40、与动态位的关系j AAB)(j1jjAAAEd(j) dlSH lJDSd0SBSdjdlSE lB SdSqD Sj H JDj EB D0 B在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为)cos()(2)cos()(2),(HEtrHtrEtrS)2cos()cos()(HEHEtHE THEavttT0)cos()(d),(1)(HErSrS称之为称之为平均功率流密度平均功率流密度。S 在一个周期内的平均值为在一个周期内的平均值为2. 2. 坡印亭定理的复数形式坡印亭定理的复数形式)cos()()(R)(eHEav HEHErS)( jjj)()()(HEHEeeeHErHrEHE avHESHEHE )cos()(Re rErE)cos()(2),(Ettj)H( eH H r同理同理实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。HES定义定