隐函数求导学习教案

1、会计学1第一页，共31页。1) 方程在什么条件(tiojin)下才能确定隐函数 .例如(lr), 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共31页第二页，共31页。定理定理(dngl)1. (dngl)1. 设函数设函数则方程(fngchng)单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数第2页/共31页第三页，共3

2、1页。两边(lingbin)对 x 求导在的某邻域(ln y)内则机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共31页第四页，共31页。若F( x , y ) 的二阶偏导数(do sh)也都连续,xy则还有机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共31页第五页，共31页。在点(0,0)某邻域(ln y)可确定(qudng)一个单值可导隐函数解解: 令连续 ,由 定理1 可知, )(xfy 导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束 并求第5页/共31页第六页，共31页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第6页

3、/共31页第七页，共31页。两边(lingbin)对 x 求导1两边(lingbin)再对 x 求导令 x = 0 , 注意(zh y)此时 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共31页第八页，共31页。若函数(hnsh) 的某邻域(ln y)内具有连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共31页第九页，共31页。两边(lingbin)对 x 求偏导同样(tngyng)可得则机动 目录 上页 下页 返回(fn

4、hu) 结束 第9页/共31页第十页，共31页。解法解法1 利用利用(lyng)隐函数隐函数求导求导机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导第10页/共31页第十一页，共31页。设则两边(lingbin)对 x 求偏导机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共31页第十二页，共31页。设F( x , y)具有(jyu)连续偏导数,解法解法1 利用利用(lyng)偏导数偏导数公式公式.确定(qudng)的隐函数,则已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第12页/共31页第十三页，共31页。对方程(fngchng)两边求微分:解法解法(ji f)2 (j

5、i f)2 微分法微分法. . 2F机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第13页/共31页第十四页，共31页。隐函数(hnsh)存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数(do sh)组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共31页第十五页，共31页。的某一邻域内具有连续(linx)偏导数设函数(hnsh)则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共31

6、页第十六页，共31页。定理证明略.仅推导偏导数公式(gngsh)如下：机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 xxGFyyGF第16页/共31页第十七页，共31页。有隐函数(hnsh)组则两边(lingbin)对 x 求导得在点P 的某邻域(ln y)内xuxvxF00公式 目录 上页 下页 返回 结束 故得系数行列式第17页/共31页第十八页，共31页。同样(tngyng)可得机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第18页/共31页第十九页，共31页。解解: 方程组两边(lingbin)对 x 求导，并移项得求练习练习(linx): 求求机动 目录 上页 下页 返回(fnh

7、u) 结束 答案答案:由题设故有第19页/共31页第二十页，共31页。在点(u,v) 的某一1) 证明(zhngmng)函数组( x, y) 的某一邻域(ln y)内2) 求解解: 1) 令对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共31页第二十一页，共31页。式两边(lingbin)对 x 求导, 得xuxv机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 则有由定理 3 可知结论(jiln) 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. 第21页/共31页第二十二页，共31

8、页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 从方程组解得同理, 式两边(lingbin)对 y 求导, 可得第22页/共31页第二十三页，共31页。1. 隐函数( 组) 存在(cnzi)定理2. 隐函数(hnsh) ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式练练 习习1. 设求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共31页第二十四页，共31页。 11f 2f 211fyxf21fzyf1f 2f 21fzyf机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共31页第二十五页，共31页。),(zyxzyx

9、fz2f 21fzyf第六节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 由d y, d z 的系数(xsh)即可得第25页/共31页第二十六页，共31页。分别由下列(xili)两式确定 :有连续的一阶偏导数(do sh) , 又函数设解解: 两个隐函数两个隐函数(hnsh)方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得x x机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得因此第26页/共31页第二十七页，共31页。是由方程(fngchng)和0),(zyxF所确定(qudng)的函数 , 求解法解法(ji f)1 分别在各方程两端对分别在各方程两端对 x 求导求导, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共31页第二十八页，共31页。对各方程(fngchng)两边分别求微分:化简得消去机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 可得第28页/共31页第二十九页，共31页。解解:第29页/共31页第三十页，共31页。德国数学家. 他在数学(shxu)方面最主要的成就是和挪威(nu wi)数学家阿贝儿相互独地奠定(dindng)了椭圆函数论的基