数值分析复习

1、精选课件数值分析总复习数值分析总复习精选课件第三章 线性方程组的直接法第四章 线性方程组的迭代法第一章 绪论第二章 非线性方程求根第五章 函数插值第六章 函数逼近第七章 数值积分数值微分第八章 常微分方程数值解法第九章 特征值特征向量内容提要精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件第一章第一章 要点回顾要点回顾1 误差的概念误差的概念绝对误差、相对误差、有效数字定义及相互关系：2 误差的传播（数值运算的误差估计）误差的传播（数值运算的误差估计）一元函数、多元函数误差的近似泰勒估计：3 误差定性分析误差定性分析条件数、算法的数值稳定性。4 算法设计注意事项算法设计注意事项精选课件知识结构图算法设

2、计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法精选课件第一章第一章 重点掌握重点掌握 绝对误差绝对误差 设x*是准确值x的一个近似，称 xxxe*)(为 x* 近似x的绝对误差绝对误差，简称为误差。在不引起混淆时，简记符号 为 )(*xe*e)(*x如果存在着的正数使得有绝对误差 *xxe则称 *为x*近似x的一个绝对误差限绝对误差限，简称误差限。精选课件相对误差相对误差 设x*是准确值x 的一个近似，称 xxxxer*)(为x* 近似x的相对误差相对误差。因)()(2*rexxexxxxexexe

3、xee)()(1122*r*eOxexe 称数值 的上界为相对误差限相对误差限，记为 *re*r精选课件第一章第一章 重点掌握重点掌握有效数字有效数字 设x的近似值x* 有如下标准形式 ia 0,1,2,9其中m为整数， 且 1a0,np 如果有nm21*10e xx*则称x* 为x的具有n位有效数字位有效数字的近似数， 121100.mnnpxa aa aa 精选课件相对误差与有效数字间的关系相对误差与有效数字间的关系定理定理 设x的近似数x*具有标准形式：111102*nrea121100.mnnpxa aa aa 若x*具有n位有效数字，则相对误差 若相对误差 111102(1)*nre

4、a则x*至少具有n位有效数字。精选课件用用Taylor公式分析误差传播规律公式分析误差传播规律 *1x*2x*nx当 ， ， 很好地近似了相应的真值时，利用多元函数的一阶Taylor公式可求得y* 的绝对误差和相对误差分别为 设可微函数中 的自变x1、x2、xn是相互独立的。函数值y的近似值为),(*2*1*nxxxfy),(*2*1nxxxfy精选课件n1ii*i*n*1i*)(,()(xxxxfyyyen1i*i*n*1i)(),(xexxfn1i*i*i*n*1i*i*)(),()()(xxexxfyxyyeyern1i*i*n*1i*i)(),(xexxfyxr精选课件用算术运算的误差

5、估计用算术运算的误差估计)()()(*2*1*2*1xxxx)()()(*2*1*1*2*2*1xxxxxx)0()()()(*22*2*2*1*1*2*2*1xxxxxxxx算术运算的绝对误差传播算术运算的绝对误差传播精选课件算术运算的相对误差传播算术运算的相对误差传播),0(),(),(max)(*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr),0(),()()(*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr),0(),()()(*2*1*2*1*2*1xxxxxxrrr精选课件算法注意事项算法注意事项 避免相近数相减,) 1(1111xxxx,111xxxx,1lnln) 1ln(xxxx。)1

6、ln()1ln(22xxxx精选课件第一章 典型例题典型例题例1 已知数 x=2.718281828.,取近似值 x*=2.7182,那麽x具有几位有效数字解；*31 42.7182818282.71820.00008182110.0005101022exx故有四位有效数 点评；考查的有效数字的概念。精选课件*1233.105,0.001,0.100 xxx *123xxx例2有效数试确定的相对误差限。*123123*123333()()()()1111010102220.00049933.1050.001 0.100re xe xe xe xxxxxx解： 点评；此题考查相对误差的传播。*1

7、()()()nrriiiife ye xxyx*112233123123*123123()()()()()()()rrrrexxexxexxe xe xe xe xxxxxxxxx精选课件例3sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 .解法1：根据有效数字与相对误差限的关系 2 111110100.006252 816r 解法2：相对误差限的概念 2*1100.840.00595242rx点评；此题考查相对误差与有效数字关系第二种按定义得到的结果更好精选课件*nx*x例例4的相对误差为的相对误差为的相对误差的的相对误差的-倍。倍。*1()()()nrriiiife ye xxyx*

8、1(*)(*)()/*nnnrrexxe x xxn解：根据误差传播公式解：根据误差传播公式则有则有 点评；考查一元函数相对误差传播。精选课件精选课件第二章第二章 要点回顾要点回顾1 二分法二分法二分法计算过程、二分法先验误差：二分法计算过程、二分法先验误差：2 不动点迭代法（普通迭代法）不动点迭代法（普通迭代法）不动点格式构造不动点格式构造：3 牛顿迭代法牛顿迭代法牛顿迭代公式牛顿迭代公式不动点收敛性不动点收敛性：（局部收敛性、全局收敛性）：（局部收敛性、全局收敛性）不动点加速不动点加速：Aiteken加速加速牛顿迭代的局部收敛性和全局收敛性；牛顿迭代的局部收敛性和全局收敛性；牛顿迭代公式的

9、变形（非重点）牛顿迭代公式的变形（非重点）精选课件非线性方程数值解法基本概念（单根、重根、收敛阶）求根方法二分法及其收敛性二分法及其收敛性简单迭代法简单迭代法简单迭代法的加速简单迭代法的加速Newton迭代法迭代法Newton迭代法的变形迭代法的变形重根Newton迭代法Newton下山法割线法迭代格式收敛性定理误差估计迭代格式收敛性定理误差估计知识结构图精选课件方程 的解 称为方程 的根或称为 的零点，若 其中m为正整数， 满足 ，则显然 这时称 为 的m重零点，或称 为 的m重根。 0 xf*x 0 xf xf xgxxxfm* xg 0 xg 0*xf*x xf*x 0 xf定理：若 只

10、有m阶连续导数，则 是的m重零点的充要条件为： ， xf*x xf 0*xf0)(0)(0)(*)(*)1(*xfxfxfmm第二章第二章 重点掌握重点掌握精选课件二分法执行步骤二分法执行步骤1计算计算f (x)在有解区间在有解区间a, b端点处的值，端点处的值，f (a)，f (b)。2计算计算f (x)在区间中点处的值在区间中点处的值f (x1)。3判断若判断若f (x1) = 0，则，则x1即是根，否则检验：即是根，否则检验：（1）若）若f (x1)与与f (a)异号，则知解位于区间异号，则知解位于区间a, x1， b1=x1, a1=a;（2）若）若f (x1)与与f (a)同号，则知

11、解位于区间同号，则知解位于区间x1, b， a1=x1, b1=b。反复执行步骤反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：，便可得到一系列有根区间：(a, b), (a1, b1), , (ak, bk), 精选课件4、当当11kkab时时)(211kkkbax5、则、则即为根的近似即为根的近似), 2 , 1()(211*1kabxxkk先验误差估计：先验误差估计：理论基础：理论基础：定理定理1：设函数设函数 f (x) 在区间在区间a, b上连续上连续，如果如果f (a) f (b) 0， 则方程则方程 f (x) = 0 在在a, b内至少有一实根内至少有一实根x*。 精选课件简单迭代

12、法简单迭代法f (x) = 0 x = g (x)等价变换等价变换构造迭代格式构造迭代格式x = g (x)(1kkxgx则对于任意的初值x0S，迭代公式 产生的序列 必收敛于方程的根 。*x11(),0,1,2kkxg xkkx( )g x|*xxxS（1）迭代函数 在 的邻域可导；定理定理2.（局部收敛定理）设 是方程 的根，满足：( )xg x( )1g xL（2）在 的某个邻域 ，对于任意xS，有*x*x*x精选课件定理：如果定理：如果 (x)满足下列条件满足下列条件（1 1）当）当x a, b时，时， (x) a, b（2 2）当任意）当任意x a, b，存在，存在0 L1)阶阶导函

13、数连续，则当初值导函数连续，则当初值x0 0充分靠近充分靠近时时，迭代法为迭代法为p 阶收敛的充要条件是阶收敛的充要条件是0)(, 0)()()()()1( pp精选课件)()(1kkkkxfxfxx 牛顿法牛顿法x*x0 x1x2xyf(x)精选课件牛顿法的收敛性牛顿法的收敛性定理：定理： 设设f (x)在在a, b上满足下列条件：上满足下列条件：（1）f (a) f (b) 0则由（则由（2.3）确定的牛顿迭代序列）确定的牛顿迭代序列xk收敛于收敛于f (x)在在a, b上的唯一根上的唯一根x*。精选课件定理（定理（Newton迭代法局部收敛性迭代法局部收敛性）：）：设 为 的根，如果：（

14、1）函数f(x)在 的邻域具有连续的二阶导数；（2）在 的邻域 。*x0)(xf0)( xf*x*x*|xxxS*x则存在 的某个邻域 ，对于任意的初始值x0S，由由NewtonNewton迭代公式产生的数列收敛于根迭代公式产生的数列收敛于根 。)(,)(2)()()(12kkxxxxxxxxxxSteffensen迭代格式迭代格式精选课件Newton法的变形法的变形重根时的牛顿迭代法重根时的牛顿迭代法)()()(xfxfmxxx)()(1kkkkxfxfmxx使用牛顿法对具有单重零点 0)( , )()()(xxfxfxNewton下降法下降法)()(1kkkkkxfxftxx,.1 , 0

15、k精选课件( )f x( )xf x例例1设设可微，求可微，求根的牛顿迭代公式根的牛顿迭代公式-。解；化简得到解；化简得到 ( )0 xf x根据牛顿迭代格式根据牛顿迭代格式 ), 2, 1, 0()( )(1kxfxfxxkkkk则相应的得到则相应的得到 1()(0, 1, 2,)1()kkkkkxf xxxkfx( )f xsinxx例例2设设可微，求可微，求根的牛顿迭代公式根的牛顿迭代公式-。精选课件例例2： 求方程求方程01)(3xxxf在区间在区间1, 1.5内的实根。要求准确到小数点后第内的实根。要求准确到小数点后第2位。位。解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式解：预先估计一下

16、二分的次数：按误差估计式)(21111*ababxxkkkk解得解得k = 6，即只要二分，即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表：次，即达所求精度。计算结果如下表：kakbkxkf (xk)的符的符号号011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-精选课件例例3：求方程：求方程0210)(xxxf的一个根的一个根解：因为解：因为f (0) = 10 f (1) = -7 0）的迭代公式，并用以上

17、公式求）的迭代公式，并用以上公式求78265. 0解：设解：设 cxxf2)(（x 0）则）则c就是就是f (x) =0的的正根。正根。 由为由为f (x) = 2x，所以得迭代公式，所以得迭代公式kkkkxcxxx221由于由于x 0时，时，f (x) 0，且，且f (x) 0，根据定理知：根据定理知：cx 0，所确定的迭代序列所确定的迭代序列xk必收敛于必收敛于取任意初取任意初值值取初值取初值x = 0.88，计算结果见表，计算结果见表kxk00.8810.8846920.8846830.8846888468. 078265. 0故可取故可取 精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件例例7

18、 7：设：设)5()(2xaxx要使得迭代局部收敛于要使得迭代局部收敛于5*x求求a a的取值范围。的取值范围。)(xx*x13)( x)(x)(xg)(1kkxgx*x例例8 8 已知方程已知方程在在a,ba,b内有根内有根，且在，且在a,ba,b，利用，利用构造一个迭代函数构造一个迭代函数，使得，使得局部收敛于局部收敛于上满足上满足解：解： 由由)(xx可得可得xxxx3)(3)()3)(21xgxxx由于由于 13)(21)3)(21)(xxxg故迭代公式故迭代公式)3)(21)(1kkkkxxxgx局部收敛。局部收敛。精选课件第三章第三章 要点回顾要点回顾1 Guass消去法消去法Gu

19、ass消去法、消去法、2 矩阵三角分解法矩阵三角分解法LU分解法分解法平方根法（对称正定矩阵），追赶法（三对角方程）平方根法（对称正定矩阵），追赶法（三对角方程）向量范数和矩阵范数（三个）；向量范数和矩阵范数（三个）；向量范数的连续性和等价性，向量收敛性定义向量范数的连续性和等价性，向量收敛性定义Guass选主元消去法（列选主元，全选主元）选主元消去法（列选主元，全选主元）2 方程组的性态和误差估计方程组的性态和误差估计矩阵条件数，病态方程组矩阵条件数，病态方程组精选课件知识结构图线性方程组线性方程组数值解法数值解法直接法直接法迭代法迭代法高斯消去法高斯顺序消去法高斯主元素消去法矩阵三角分解法

20、LU分解平方根分解(对称正定矩阵)追赶法 (三对角方程组)向量与矩阵的范数迭代法的基本思想Jacobi迭代法迭代格式收敛条件充要条件：充分条件：3个Gauss-Seidel迭代法迭代格式收敛条件充要条件：充分条件：5个SOR迭代法迭代格式收敛条件充要条件：充分条件：3个必要条件：列主元消去法全主元消去法分解条件分解算法精选课件)2()2()2(2)2(3)2(32)2(32)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11.nnnnnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxabxaxaxa第一步：第一步： 若若 令令 , ,用用 乘乘 第一个方程加到第第一个方程加到第 个方

21、程个方程 ，并保留第，并保留第一一式，则得式，则得, 0)1(11ai)1(11)1(11aalii),.3 , 2(ni ),.3 , 2(ni 1 ilGaussGauss消去法消去法)1(1)1()2(ijiijijalaa),.3 , 2,(nji其中)1(11)1()2(blbbiii),.3 , 2,(nji精选课件 若若 令令 ， 乘第二个方程加到第乘第二个方程加到第i个方程个方程 ，则得，则得, 0)2(22a2il)2(22)2(22aalii),.4 , 3,(nji),.,3 , 2(ni 用用第二步第二步: :)3()3(3)3(3)3(3)3(33)3(33)2(2)

22、2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11.nnnnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxabxaxaxa)2(22)2()3(blbbiii),.4 , 3,(nji)2(22)2()3(jiijijalaa),.4 , 3,(nji其中其中精选课件按上述做法，做完按上述做法，做完n-1n-1步，原方程可化为同解的步，原方程可化为同解的上三角方程组上三角方程组。)()()2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa 最后，设最后，设 ，逐步回代为原方程组的解：，逐步回代为原方程组的解：0)(nnna)

23、()(nnnnnabx )(1)()()(iiinijiiijiiiaxabx定理：用高斯顺序消去法能够求解方程组用高斯顺序消去法能够求解方程组 A A 的解之的解之充要条件为充要条件为A A的各项顺序主子式均不为零。的各项顺序主子式均不为零。 bx精选课件)2()2()2()2(22)2(2)2(2)2(2)2(22)2(1)1(1)1(12)1(11bAbaabaabaaannnn在第一列中选取绝对值最大的元素在第一列中选取绝对值最大的元素, ,如若如若 = 调换第一行与第调换第一行与第i行，这时的行，这时的 1 ,1iani1max1 ia)1(11a1 ,1ia去法的第一步，即去法的第

24、一步，即消消行行就是原来的就是原来的 , ,再进再进)2(A再考虑再考虑 右下角矩阵，选取绝对值最大的元素作为右下角矩阵，选取绝对值最大的元素作为主元素主元素, ,经过行的对换和列的对经过行的对换和列的对换把主元素移到换把主元素移到， )2(22a再按消元公式计算再按消元公式计算 （i,j=3,i,j=3,n n）。）。)3(ijaGaussGauss列选主元消去法列选主元消去法精选课件直接三角分解法直接三角分解法 设设A=LU 即即nnnnnnnnnnnnnuuuuuullllllaaaaaaaaa222112113213231212122221112111111第一步：第一步： 比较第一行

25、元素：比较第一行元素：), 2 , 1(11njuajj比较第一列元素：比较第一列元素：1111ulaii), 3 , 2(1111niaalii解出解出精选课件第二步： 比较第二行元素： ), 3 , 2(21212njuulajjj算出： jjjulau12122nj. 3 . 2比较第二列的元素： 222222ululaiiii得出：222222uulaliiiini4 . 3nmkmnkmmjkmkkkjmjkmmjimkjulluulula1111一般的，第k步及R之行，L的第k-1列已求出，则列元素 比较第k精选课件算出： mjkmkmkjkjulau11.1,nkkj比较第k列元

26、素(ik 即行指标列指标，为算 , ik) iklnmkmmkmmkimkkikikmkimmkimikuluululula111算出: nmkmnkmmkimkkikmkimmkimikulululull111算出:kkkmmkimikikuulal11., 1nki精选课件这组公式可用下图记忆:nnnnnnnullluuuluuuu32122322211131211的求y过程为:bxAyxUbyL精选课件追赶法设nnnnnnnniiibbbxxxcbacbacbacbacbacb212111133322211精选课件niiiininnnucucuculllbaccbacb111121322

27、1111111即 1111iiiiiiiclbuualbuni3 , 2精选课件由 得 nnnbbyyyll1212111111iiiiylbybyni. 3 . 2由 得 nnnnyyxxxucucu1211211iiiiinnnaxcyxuyx11 , 2. 1 ni精选课件第三章 典型例题典型例题精选课件例例2：用直接三角分解法解：用直接三角分解法解201814513252321321xxx解：（解：（1 1）对于）对于r = 1，利用计算公式，利用计算公式111u212u313u 3 23121ll（2 2）对于）对于r r = 2 = 2， 222221 1252 21ual u 2

28、32321 1322 34ual u 51)231 ()(2212313232uulal精选课件（2 2）对于）对于r r = 3 = 3， 333331133223()24ual ul u 于是于是LUA2441321153121（4 4）回代求解：）回代求解： 72101423213133121221ylylbyylbyybLy3333223322211221331113()2()1Uxyyxuyu xxuyu xu xxuTx)3, 2, 1 (精选课件123012001L100030212U， 精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件例例5 5 对矩阵对矩阵A A进行进

29、行LDLLDL分解和分解和LLLL分解，并求解方分解，并求解方程组程组32122484548416321xxx解解 对对A A进行进行LLLL分解分解16484412454122384222333对对A A进行进行LDLLDL分解分解121144164816314541414284229312142精选课件回代解方程组回代解方程组321332214321yyy得得7083. 1875. 025. 0Ty再解再解1234120.25230.87531.7083xxx 0.5451 1.29160.5694Tx 得得精选课件第四章第四章 要点回顾要点回顾1 简单迭代法简单迭代法简单迭代法构造简单迭

30、代法构造2 G-S迭代法迭代法G-S迭代法的构造思想迭代法的构造思想 G-S迭代法的收敛性分析迭代法的收敛性分析Jacobi方法方法基于基于Jacobi方法的方法的G-S迭代法迭代法简单迭代法的收敛性分析简单迭代法的收敛性分析2 常用迭代法常用迭代法逐次超松弛迭代法逐次超松弛迭代法精选课件简单迭代法的构造 将该方程组等价变形为 构造简单迭代格 式 ， 。若 收敛于确定的向量 ，则 就是方程组的解。此时称简单迭代法 ， 关于初始向量 收敛。gxBx)(kx, 1 , 0kgxBxkk)()1(*x*xgxBxkk)()1(, 1 , 0k)0(x设要求解的线性方程组为 ，其中 为非奇异矩阵， 为

31、向量。bxAbA精选课件简单迭代法的收敛性0lim)(kkBa.1)(Bb. 迭代矩阵的谱半径1. 收敛的充要条件 定理1.简单迭代法 ， ，对 任意初始向量 都收敛的充要条件是：)0(xgxBxkk)()1(nk1 , 0简单迭代法为 .gxBxkk )1()()()(*)0(*)1(*)(xxBxxBxxkkk故 设 有唯一解 ，*xgxBx精选课件几种常见的迭代法几种常见的迭代法 一一.Jacobi.Jacobi迭代法迭代法 设 , i=1,2,n0iia)(1)(1)(1)(11.)(22)(11)1(2)(2)(323)(12122)1(21)(1)(313)(21211)1(1nk

32、nnnknknnnknknnkkkknnkkkbxaxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax迭代格式迭代格式精选课件1)(JB 2.2.收敛条件收敛条件 b.b.充分条件：充分条件：（j=1,2,n）(按按列列)nijijijijaa,（按行）（按行） ,（i=1,2,n）njijijiiaa, 1（II）设系数矩阵）设系数矩阵 严格对角占优，严格对角占优，nnijaA)(或或则则Jacobi迭代法关于任意初始向量迭代法关于任意初始向量 收敛收敛)0(x（I）若）若 则则Jacobi方法关于任意初始向量方法关于任意初始向量 都都 收敛。收敛。1JB)0(x即即 a.a.充要条件充要条件

33、：精选课件 二二. .与与JacobiJacobi迭代法相应的迭代法相应的Gauss-SeidelGauss-Seidel法法1.1.迭代格式迭代格式. .)(1)(1)(1)1(11.)1(22)1(11)1(2)(2)(323)1(12122)1(21)(1)(313)(21211)1(1nknnnknknnnknknnkkkknnkkkbxaxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax精选课件 2.收敛条件收敛条件. G-S法关于任意初始向量法关于任意初始向量 都都 收敛的充要条件是收敛的充要条件是 .1)(sB)0(xa.充要条件：充要条件：b.充分条件：充分条件：若若 则则G-S

34、方法关于任意初始向量方法关于任意初始向量 都收敛都收敛. .1sB)0(x关于任意初始向量关于任意初始向量 收敛。收敛。设系数矩阵设系数矩阵 严格对角占优，则严格对角占优，则G-S方法方法)(ijaA )0(x精选课件SOR方法11)()1(ijijiiikikiabaxx）nijkjijkjxax)()1(ni,.2 , 1)()1()1 (kikixx11ijijiiiaba（）nijkjijkjxax1)()1(精选课件第四章 典型例题典型例题精选课件例例2 2：用雅克比迭代法和高斯：用雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法赛得尔迭代法解线性方程组解线性方程组877901081119321xxx

35、解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高斯故雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法都收敛。赛得尔迭代法都收敛。009/1008/19/19/101ADI9/78/79/71bD雅克比迭代法的迭代公式为雅克比迭代法的迭代公式为：9/78/79/7009/1008/19/19/10)()1(kkXX精选课件取取X(0) = (0, 0, 0)，由上述公式得逐次近似值如下由上述公式得逐次近似值如下：0008889. 08750. 07778. 09753. 09723. 09738. 09993. 09993. 09942. 09993.

36、 09993. 09993. 0X (i)43210k高斯高斯赛得尔迭代法：赛得尔迭代法： 8091781791)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx0009753. 09722. 07778. 09993. 09993. 09942. 00000. 10000. 19998. 0000. 1000. 1000. 1k01234x(i)精选课件112233131232axbaxbaxb例例3 3设有方程组设有方程组1.1.当参数当参数a a满足什么条件时，雅可比方法对任意的满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。初始向量

37、都收敛。2.2.写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。解：当解：当a不等于零时，雅可比方法的迭代矩阵为不等于零时，雅可比方法的迭代矩阵为0/2/3/20/1/3/10aaaaaaB可以解出可以解出B的特征值的特征值精选课件,2,2, 0221iaia可知可知B的谱半径的谱半径12)(aB由此得出由此得出 时，雅可比方法收敛。时，雅可比方法收敛。2a)023(1)20(1)30(13)1(2)1(1)1(2)(3)1(1)1(21)(3)(2)1(1bxxaxbxxaxbxxaxkkknkkkkkk与雅可比方法对应的方法为与雅可比方法对应的方法为精选

38、课件例设有方程组例设有方程组111211111112321xxx证明该方程组对应雅可比方法发散，而证明该方程组对应雅可比方法发散，而G-SG-S方法收敛。方法收敛。解：雅可比方法的迭代矩阵为解：雅可比方法的迭代矩阵为02/12/11012/12/10B设其特征值为设其特征值为 ，则，则453BI,25,25, 0321ii由于由于125)(B故雅可比方法发散故雅可比方法发散精选课件解：解：G-S的迭代矩阵为的迭代矩阵为0102121002/12/1001000111)(11ULIBSG210021210212100102121012111121,21, 0321由于由于121)(SGB故故G-

39、S方法收敛方法收敛精选课件第五章第五章 要点回顾要点回顾1 插值问题与插值多项式的唯一性插值问题与插值多项式的唯一性2 拉格朗日型插值方法拉格朗日型插值方法Lagrange插值法插值法 牛顿插值法牛顿插值法 （差商、差分的定义）（差商、差分的定义）完全导数形式的完全导数形式的hermite插值（构造方法、余项）插值（构造方法、余项） 不完全导数形式的不完全导数形式的hermite插值插值（待定系数，重节点差商）（待定系数，重节点差商）3 Hermite型插值方法型插值方法 插值误差分析（拉格朗日余项，差商型余项）插值误差分析（拉格朗日余项，差商型余项）4 分段插值和三次样条插值分段插值和三次样

40、条插值精选课件三次样条插值插值型插值分段低次插值等距节点插值（差分）差商型余项型余项插值余项插值法插值法构造方法型插值代数插值HermiteHermiteLangrangeNewtonLangrangeLangrange知识结构图精选课件拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数一、插值基函数定义定义：若若n次多项式次多项式lk(x)(k=0, 1 , n)在在n+1个插值节点个插值节点x0 x1 xn上满足插值条件：上满足插值条件：), 1 , 0,()(0)(1)(nkikikixlikik则称这则称这n1个个n次多项式次多项式l0(x), l1(x) , ln(x)为为插值节点插值节点x0 ,

41、x1 , , xn上的上的n次次精选课件拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 将Lagrange插值基函数与函数值线性组合得 可以验证 满足插值条件，即)(xLn)()(1xlyxLnkkkniinkkkinyxlyxL)()(1 i = 0, 1, 2, n上式是不超过n次的多项式，称之为Lagrange插值插值多项式。多项式。精选课件的线性组合。故可将满足插值条件（4.1）的n次多项式写成如下形式)()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxxxx牛顿插值的定义牛顿插值的定义 由线性代数可知，任何一个不高于n次的多项式，都可表示成函数)()()(1)(110010nnnxxxxx

42、xaxxaaxN其中 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿牛顿Newton插值多项式插值多项式kaaa,10 牛顿插值牛顿插值精选课件差商的性质差商的性质性质性质1：设设 的的n阶导数存在，则有阶导数存在，则有性质性质2 2：,10kxxxf)()(10ikikixxfk=1,2,n性质性质3：k阶差商阶差商 可以表示为函可以表示为函数值数值 的线性组合，即的线性组合，即,10kxxxf差商具有对称性，与插值节点的排差商具有对称性，与插值节点的排列次序无关。列次序无关。)(xf!)(,)(10nfxxxfnn精选课件 Hermite 插值多项式插值多项式要求函数值重合，而且要求若干阶要求函

43、数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 P (x) 满足满足 在实际问题中，对所构造的插值多项式，在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅不仅把此类插值多项式称为埃米尔特把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite）插值多项式，记为插值多项式，记为H (x)。 )210( )()()()()()()()(,n,ixfxpxfxpxfxpimimiiii精选课件情形情形1；一阶导数已知；一阶导数已知已知函数表已知函数表nxxxxx210nyyyyy210nyyyyy210求一个插值多项式求一个插值多项式H (x)，使其满足如下条件：，使其满足如下条件：插

44、值条件的个数插值条件的个数2n+2, H (x) 的次数：不超过的次数：不超过2n+1次次 iiyxH)(i = 0, 1, 2, n iiyxH)( i = 0, 1, 2, n 精选课件Hermite插值多项式构造插值多项式构造 对于问题1，取n=2，通过一个例子来讨论建 立Hermite插值的方法例例：求一个三次多项式 使其满足插值条件3( )Hx.)( ,)(;)( ,)(113003113003mxHmxHyxHyxH分析分析；依照拉格朗日插值的思路，如果构造四个不超过3次的插值多项式0101( ),( ),( ),( )xxxx使它们分别满足精选课件. 1)( , 0)( , 0)

45、( , 0)(; 0)( , 1)( , 0)( , 0)(; 0)( , 0)( , 1)( , 0)(; 0)( , 0)( , 0)( , 1)(11011101100010001101110110001000 xxxxxxxxxxxxxxxx(1)300110011( )( )( )( )( )Hxx yx yx mx m现在需要考虑的问题是这些基函数的构造问题。 0)( , 0)(1010 xx假设2210001( )() ( )()xxxAxB lxAxBxx可验证条件 自动满足现利用另外的两个条件则满足插值条件的多项式可以写成如下形式精选课件01)(2)(1)(10000000

46、xxBAxAxBAxx00101221xABxxxx ，20100101( )1 2xxxxxxxxx求解可得 于是有同理可得21111010( )1 2xxxxxxxxx(2)(3)精选课件假设可验证条件 自动满足现利用另外的两个条件2210001( )() ( )()xxxCxD lxCxDxx0)( , 0)(1010 xx11)(2)(0)(10000000 xxDCxCxDCxx求解可得 于是有同理可得01CDx ，210100)()(xxxxxxx201011)()(xxxxxxx(4)(5)精选课件将函数(2)到(5)代入式(1)，得到插值多项式 0011301010110100

47、100110110( )1 21 2()()xxxxxxxxHxyyxxxxxxxxxxxxxxmxxmxxxx上式称为三次Hermite插值多项式，其余项为(4)2233011( )( )( )( )() ()4!R xf xp xfxxxx),max(),(min(1010 xxxx精选课件情形情形2；导数值不完全；导数值不完全已知函数表已知函数表myyyyy210求一个插值多项式求一个插值多项式H (x)，使其满足如下条件：，使其满足如下条件：插值条件的个数插值条件的个数m+n+2, H (x) 的次数：不超过的次数：不超过m+n+1次次 iiyxH)(i = 0, 1, 2, n ii

48、yxH)( i = 0, 1, 2, m nmyyyyyy210nmxxxxxx210精选课件待定系数法 通过一个简单的例子给出这种问题的解法2( )p x002112002)( ,)( ,)(mxpyxpyxp例例 试确定一个不超过二次的多项式使其满足如下插值条件先利用前两个插值条件，构造一个1次的插值多项式011010110( )xxxxp xyyxxxx精选课件定义2101( )( )()()pxp xc xxxx这里c是一个常数，无论它取何值，插值条件200211() ()pxypxy和自然满足，再利用导数条件确定常数c1001010()yyc xxmxx从上式解出c，回代到 得到)(

49、2xp0011201001011001011( )() ()()xxyyxxpxyymxxxxxxxxxxxx精选课件第五章 典型例题典型例题33( )( ),( )( ),Haf a H bf b33, 2222ababababHfHf 243( )( )( )()() ( )4!2fabf xHxxaxxbaxb( )f x , a b若在上有连续的四阶导数，试证明满足以下插值条件)(3xH的插值多项式的截断误差为精选课件2323(4)( )( )( )( )()() ()2,2( )( )( )( )()() ()2( ),( )()( )0,()022Rolle,( )0abR xf

50、xHxk x xa xxbabxababg tf tH tk x ta ttbg tababg agg bgxg证明：设余项当 不同于 ， 和时 构造如下关于的函数于是函数也是充分光滑的 并且有如下零点多次使用定理知 至少存在一个依赖于 的点 ，使得有(4)(4)23.( )( ),4!( )( )( )( )()() ()4!2fk xfabR xf xHxxa xxb从而可得从而有截断误差精选课件)()()(10nxxxxxxxf,10kxxxfkxxx,102 设函数设函数 求差商求差商之值，其中之值，其中是互异节点是互异节点nk 0)(jxfkj, 1 , 0解解 (1(1）当）当根据

51、公式根据公式 kjjnjkxxfxxxf0110)()(,故有故有0,10kxxxf（2 2）当）当 1 nk时，考虑差商与导数的关系式时，考虑差商与导数的关系式 !)(,)(10kfxxxfkk1 nk)!1()()( nfk故此时故此时1,10kxxxf 1 nk0)()(kf故此时故此时01,0kf x xx精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件点评；此题考查利用反插值来求根前提是函数值分布单调精选课件( ) (0,1,)il xin 0niix分别是关于互异节点的Lagrange插值基函数，0( ) ( 0,1,)nkkjjjx lxxkn证明提示：利用插值的拉格朗日

52、余项说明当被插值函数为x的k次方时，误差为零。精选课件往年真题往年真题精选课件精选课件精选课件第六章第六章 要点回顾要点回顾1 泛函基础知识泛函基础知识2 连续函数的最佳平方逼近连续函数的最佳平方逼近赋范线形空间、内积空间、正交多项式系赋范线形空间、内积空间、正交多项式系矛盾方程组的解法矛盾方程组的解法 一般基函数的曲线最小二乘拟合一般基函数的曲线最小二乘拟合 基于正交基函数的拟合方法基于正交基函数的拟合方法3 离散函数的最佳平方逼近离散函数的最佳平方逼近 基于一般基函数构造方法基于一般基函数构造方法 基于正交基函数构造方法基于正交基函数构造方法精选课件 赋范线性空间赋范线性空间 定义： 设V

53、是实数域R上的线性空间。函数RV :10 (非负性) Vgg , 0; 当且仅当0g时有0g. 20 (齐次性) VgRrgrrg,. 30 (三角不等式) Vgfgfgf,. 精选课件最佳平方逼近 为 空 间,baC的 有 限 维 子 空 间 范 数 取 为2 求nncccx*1*10*0*)(, 使得 202*0miniiniRciinicfcfi.2/120)()(mindxxcxfbaniiiRci精选课件精选课件正规方程组nnFCG TncccC),(*1*0*惟一解向量记为 最佳平方逼近的解函数：iinic *0*),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()

54、,(1010101110101000nnnnnnnnfffccc精选课件内积空间内积空间 (线性性) Rrrghrgfrghrfr212121,),(),(),( (非负性) 0),(ff; 当且仅当0f时有0),(ff Vhgf,则称实值函数),( 是线性空间V上的一种内内积积. 并称线性空间V关于实值函数),( 是内内积积空空间间. 精选课件正交函数系 内积空间V上的两个元素 f和 g, 如果有内积 0),(gf, 则称 f和 g 关于内积),( 正交正交 若正交系 0iif 满足 1),(iiff ), 2 , 1 , 0(i, 则称 0iif为标准正交系标准正交系 精选课件 Legen

55、dre 多项系 定义), 2 , 1() 1(!21)(1)(20nxdxdnxPxPnnnnn1)(0 xP; xxP)(1;2/ ) 13()(22xxP; 2/)35()(33xxxP;8/ ) 33035()(244xxxP; 8/ )157063()(355xxxxP.v Legendre多项式系的前六项分别为精选课件 Chebyshev 多项式系 定义 1, 1)arccoscos()(xxnxTn1)(0 xTxxT)(1nxTncos)( xarccoscoscos2) 1cos() 1cos(nnn), 3 , 2 , 1()()(2)(11nxTxxTxTnnn0)(nnx

56、T是首项系数1)1(2nnA的多项式函数系,称之为切比雪夫多项式系精选课件第六章 典型例题典型例题dxxgxfxgf)()(),(111. 1. 定义内积定义内积试建立首项系数试建立首项系数为为1 1的正交多项式系中的前三项的正交多项式系中的前三项解解 设设 cbxxgaxgg2210, 1由正交性定义可知由正交性定义可知0)(),(0)(),(0)(),(21121112121120112011101110dxcbxxaxxdxggxggdxcbxxxdxggxggdxaxxdxggxgg由此解得由此解得 21,0,0cba所以所以 201211,2ggxgx精选课件例例2 2 人口理论指数

57、模型人口理论指数模型 btaey这里这里y y表示世界人口表示世界人口( (单位：亿）单位：亿）,t,t表示年份试用下表提供的数据，表示年份试用下表提供的数据，确定待定参数确定待定参数a a和和b, b, 并预测并预测20002000年的世界人口年的世界人口k196019611962196319641965196619671968yk29.7230.6131.5132.1332.3432.8533.5634.2034.83解解 所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得自然对数，得btayln建立如下新的数据表建立如下新的数据表k196019611

58、962196319641965196619671968ln yk3.39183.42133.45033.46983.47633.49203.51333.53223.5505精选课件33.0431a 0.0186b 解之得解之得，于是，于是ln33.04310.0186yt 进而有，人口模型的最小二乘拟合曲线为进而有，人口模型的最小二乘拟合曲线为 33.0431 0.0186 tye据此模型预测据此模型预测20002000年的世界人口为年的世界人口为63.237763.2377亿亿 用最小二乘法得法方程组用最小二乘法得法方程组4057.614692975.31347157241767617676

59、9ba 实际统计人口为实际统计人口为60.572660.5726亿亿精选课件xexf)(223.3.求函数求函数在在0,10,1上的二次最佳上的二次最佳小数点后保留小数点后保留5 5位位. .平方逼近多项式，并估计平方逼近误差平方逼近多项式，并估计平方逼近误差解解 使用线性无关函数族使用线性无关函数族 2210)(,)(, 1)(xxxxx相应的正规方程组为相应的正规方程组为),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(210210221202211101201000fffaaa01211123111112342111345aeaae即即 精选课件0.83918,85

60、113. 0,1.01299210aaa解得解得*001 1222( )( )( )( )0.839180.851131.01299xaxaxaxxx所求最佳平方逼近多项式为所求最佳平方逼近多项式为2222222205( )( ,)2.783545 10iiixfpfaf平方逼近误差为平方逼近误差为 .精选课件解解 构造构造0,10,1上首项系数为上首项系数为1 1的正交多项式的正交多项式的前三项的前三项. . 设设cbxxxaxxx2210)(,)(,1)(0)(1),(1010dxax21a由正交性由正交性可解出可解出由正交性由正交性0)(1),(10220dxcbxx0)()(),(10