材力讲稿ch61新

1、1版权所有版权所有, 2000,2005 (c) 华中科技大学力学系华中科技大学力学系华中科技大学力学系华中科技大学力学系罗俊Copyright, 2000,2005 (c) Dept. Mech., HUST , ChinaE-mail：luo_jun_Tel:2第六章第六章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论6.1 应力状态的概念6.2 平面应力状态 主应力6.3 三向应力状态简介6.4 广义虎克定理6.5 平面应力状态下的应变分析6.6 应变能密度 畸变能密度6.7 强度理论 相当应力36.1 应力状态的概念一、单元体（微元体）过受力构件内部一点 O, 取平行

2、于坐标面的六个微面组成正六面体dx.dy.dz, 称为该点的单元体。4过受力构件内部一点 O, 取平行于坐标面的六个微面组成正六面体dx.dy.dz, 称为该点的单元体。构件内部各点处的应力值一般不相等，对于同一点来说，各个方位角截面上的应力一般也不相等。 受力构件内过一点处不同方位微面上应力的集合，称为一点的应力状态。6.1 应力状态的概念56.1 应力状态的概念二、主应力 主平面对于一般的应力单元体，如果有的微面上没有切应力，则该面称为该点的应力主平面。主平面上的正应力称为主应力。如果三个主应力都不为零，该点处于三向应力状态。如果有一个主应力为零，则称该点处于平面应力状态。如果只有一个主应

3、力不为零，则称该点处于单向应力状态。思考：任意一点的三个主平面是否是唯一的？结论：结构内任何一点都可以找到三个互相垂直的主平面。这三个主平面上分别作用有三个主应力，用 表示。并按照代数值大小排列，即 。32112366.1 应力状态的概念三、基本变形的应力状态1、单向拉伸和压缩2、扭转3、纯弯曲4、横力弯曲平面应力状态 与Z轴相关的应力为零76.1 应力状态的概念四、为什么要进行应力状态分析？1、材料力学的强度理论一般是基于主应力的。对于处于一般受力状态下的微体，要对单元体不同方位微面上的应力变形进行分析，以确定主应力的方位和大小。2、可以加深对应力是一个张量的理解，不同方位微面上的应力值对应

4、于应力张量的坐标变换。3、应力状态分析是学习弹性体力学的基础。86.2 平面应力状态 主应力xyx y yx xy单元体上所有与Z轴相关的应力均为零。独立的应力值有：xyyxxy96.2 平面应力状态 主应力正应力符号规定拉为正拉为正压为负压为负106.2 平面应力状态 主应力使微元顺时针转动为正使微元顺时针转动为正反之为负反之为负x y yx xy 由由 x x 轴逆时针转到轴逆时针转到 xx轴轴 （斜截面外法线）为正（斜截面外法线）为正反之为负反之为负xyyx116.2 平面应力状态 主应力xyx y yx xy y yx xydAx0 yF0 xF126.2 平面应力状态 主应力 y y

5、x xydAx0 xF 2 cosx cos sin xy cos sin yx 2 siny y 0 dA(cos )xydA(sin )sin )cos(dAx dA(sin ) cosdA yx13 y yx xydAx6.2 平面应力状态 主应力0 yF cos sinx 2cosxy cossiny 2sinyx xydA(cos ) 0 ydA(sin ) cos dA xdA(cos ) yxdA(sin ) sin146.2 平面应力状态 主应力 2cos cossinxy cossinyx 2siny cossinx 2cosxy cossiny 2sinyx sin2cos

6、sin2 引引入入22cos1cos2 22cos1sin2 2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx 156.2 平面应力状态 主应力2用用 斜截面截取斜截面截取2得到微元的另得到微元的另一截面的公式一截面的公式2sin2cos2290 xyyxyx2cos2sin290 xyyx166.2 平面应力状态 主应力最后，得到以下四个方程最后，得到以下四个方程 2sin2cos22xyyxyx 2cos2sin2xyyx 2sin2cos2290 xyyxyx2cos2sin290 xyyx176.2 平面应力状态 主应力yx90任意两个互相垂直的微面上的正应力之和保持不变。

7、切应力互等定理。90默认切应力沿顺时针方向。186.2 平面应力状态 主应力0222000 cossindd:xyyx令令yxxy22tg0由此得两个驻点：由此得两个驻点：2和两个极值：和两个极值：）、（0101极值正应力就是主应力极值正应力就是主应力 00 ）2222xyyxyxm inm ax （196.2 平面应力状态 主应力 在切应力相对的方向上，在切应力相对的方向上，且偏向于且偏向于 x 及及 y大的一侧大的一侧01 dd 令令xyyxtg 221222x yyxminmax ）（010445 , 成成即即极极值值剪剪应应力力面面与与主主面面 min2max1 ; yxy xyO主主

8、单元体单元体21 x206.2 平面应力状态 主应力为什么叫莫尔圆为什么叫莫尔圆 ( ？首先由首先由Otto （1835-1918）提出）提出 ( 又是一位工程师又是一位工程师)216.2 平面应力状态 主应力2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxy0 y xy x xn x xy yxyO226.2 平面应力状态 主应力圆心？圆心？半径？半径？)0 ,2(yx222xyyxR第一种画法第一种画法（1）在）在 轴上作出轴上作出 A0( x,0), B0( y,0) （2） A0, B0的中点为圆心的中点为圆心C（3）过）过A0垂直向上取垂直向上取 x

9、y 得得 A， CA为半径为半径0 CA0B0AByx（4）以）以C 为圆心、为圆心、CA为半径为半径 画圆画圆236.2 平面应力状态 主应力 x xy yxyOn A( x , xy)O CB( y , yx)x2 nD( , 24 x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , 2 0 025223122xyyxyxR OC ）（半径半径22minmax2xyyxR）（半径A( x , xy)maxCO B( y , yx)x2 min 2 0 0 1 2 32630080 , ,yx例例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体单元体上应力如图，

10、求出主应力，画出主单元体3080单位：单位：MPa80301 3 OA (80, 3080, 30BCx y D1、取、取 的中点的中点C为圆心为圆心yx, 以以 AC 为半径画莫尔圆为半径画莫尔圆2、算出心标、算出心标 0C = -40，半径，半径3、算出主应力、切应力极值、算出主应力、切应力极值5022DCADACR4、算出方位角、算出方位角MPaMPaRC 9010031 MPaR -minmax50 275、画出主单元体、画出主单元体 （1）A点对应于右垂面点对应于右垂面 （2）右垂面）右垂面顺顺时针转时针转1 3 OA (80, 3080, 30BCx y Do 2577128636

11、18086360. .DCADtg arcACD 3080单位：单位：MPa802 1 o 得主单元体的最大得主单元体的最大 拉应力所在的面拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的）垂直做主单元体的 另一个面另一个面o 28)325,45(B)325,95(A 1 2 04532532595150 3 1 2BAC (MPa)(MPa)O20MPa02 29020120321 ROCROC6020 FCAFtg arc 4532532595150 10 2AB5022DCADACR 3 1 2BAC (MPa)(MPa)O20MPa02 EDF300 30qzzxyIbQSzxIMy 梁发生横力

12、弯曲，梁发生横力弯曲，M与与Q 0，试确定截面上，试确定截面上各点主应力大小及主平面各点主应力大小及主平面位置位置单元体上：单元体上：223122xyxx）（31 5 5 3 31 1 3 3 3 3452 2 3 30 3 34 4 0 A1A2D2D1COA2 D2D1CA1O 20D2 A2CD1O20= 90 D2A1O20CD1A2 A2D2D1CA1O3233xy11截截面面22截截面面33截截面面44截截面面ii截截面面nn截截面面bacdq 1 3 3 1346.3 三向应力状态简介123xyz 2 1 3356.3 三向应力状态简介231max 1xyz图图a 2 3图图b

13、max12336501xyz504030ABC (M Pa) （M Pa ） 1 2 3 max223122yzzz）（2850583121 43max376.3 广义虎克定理ExxxyE xzE Gxyxy)x,y,zi,j ( ij 0 )x,y,zi ( i0 0zxyz xyz xxyz x y386.3 广义虎克定理zyxzyxxEEEE1 xzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzxzyxxE1 xyz z y xy x396.3 广义虎克定理0zxyzz13221E12331E32111EyxxE21xyxyGxyyE21 1 3 24012EG6.3 广义虎克定理41

14、dz dy dxV )(dz dy dx )(dz)(dy)(dxV32132111111 3211VVV体积应变：体积应变：)(21 )(21321zyxEE 1 3 2dxdzdy6.3 广义虎克定理4203 自自由由面面上上解解 :MPa.).(. E34410160302403011021016292121 故为平面应力状态故为平面应力状态 MPa.).(.E32010240301603011021016291222 12436691322103341034432010210301.).(.E MPa. MPa.3200344321 44例例 为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片

15、为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片 测得容器表面环向应变测得容器表面环向应变 t = =350l06；容器平均直径；容器平均直径 D = 500 mm，壁厚，壁厚 =10 mm，E =210GPa， =0.25 求：求： 1.1.横截面和纵截面上的正应力表达式横截面和纵截面上的正应力表达式 2.2.内压力内压力pppx mlpODxABy451 1、轴向应力、轴向应力( L( Longitudinal stress) )解：容器的环向和纵向应力表达式解：容器的环向和纵向应力表达式容器截开后受力如图所示容器截开后受力如图所示, ,据平衡方程据平衡方程42DpDm 4pDmp m mxD4

16、6纵截面将容器截开后受力纵截面将容器截开后受力2 2、环向应力、环向应力( (Hoop stress) )Dlplt22pDt3 3、内压（以应力应变关系求之）、内压（以应力应变关系求之）241EpDEmttMPa.).(. )(DEp t363250250103500101021042469 t m外表面外表面yp t tDq qdq q)d2(qDlpzO476.5 平面应力状态下的应变分析一般应变状态简介486.5 平面应力状态下的应变分析一般应变符号规定:线应变, 使线段伸长的线应变为正。切应变，使直角变小的切应变为正。反之为负。在应变分析时，不区分应变正负号。应变符号由剪切胡克定理得

17、到。（保证符号一致）和应力类似，一般说来，构件内部各点的应变不同，同一点各个方向上的线应变大小也不一样，不用面内的切应变也不同。通过某个方向上的应变来推知其它方向上的应变就叫应变分析。496.5 平面应力状态下的应变分析平面应变状态如果和某一方向比如说Z方向相关的应变都为零，则该点处于平面应变状态。平面应变分析是实验电测构件表面应变的基础。构件表面一般为自由面，因此各点与表面外法线相关的应变为零。因此处于平面应变状态。通过实验可以测定构件表面个点的应变进而利用胡克定理推出该点的应力状态，以及主应力大小和方位。506.5 平面应力状态下的应变分析516.5 平面应力状态下的应变分析526.5 平面应力状态下的应变分析 2sin2cos22xyyxyx 2sin2cos22xyyxyx90E12sin22cos22xyyxyxyxxE21xyxyGxyyE21平面应力应变关系又有，如果取，沿 方向有，将上面各式代入有，此式与应力变换公式类似。所以应变分析可以采用应力分析的方法。比如说主应变分析，应变圆等。536.5 平面应力状态下的应变分析2xy2221222xyyxyxyxxy02tan21211E12