结构力学图乘法详述

1、1二、结构位移计算的一般公式二、结构位移计算的一般公式iids)QNM(d一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：ds)QNM(d如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：ds)QNM(若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：kkcRds)QNM(2kkcRds)QNM(适用范围与特点：适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形

2、。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。3三、位移计算的一般步骤三、位移计算的一般步骤:1c2c1t2tKK 11R2R实际变形状态虚力状态kkcRds)QNM(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2) 求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力kR.Q.N.M表达式表达式;(3) 用位移公式计算所求位

3、移，注意正负号问题。用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。kR.Q.N.M46-3 6-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。ds)QNM(重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。、一、计算步骤一、计算步骤（1）在荷载作用下建立）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。PPPQ.N.M（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知GAQkEANEIMPPPk-为

4、截面形状系数为截面形状系数1.29101AA(3) 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式dsGAQQkdsEANNdsEIMMPPP5二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式（1 1）梁与刚架）梁与刚架dsEIMMP（2 2）桁架）桁架EAlNNdsEANNdsEANNPPP（3 3）拱）拱dsEANNdsEIMMPP6Pl/2l/2EIABx1x2例例4：求图示等截面梁：求图示等截面梁B端转角。端转角。解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载m=1积分常可用图形相乘来代替2）MP 须分段写须分段写)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(l

5、xlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2EIPl16276-5 6-5 图乘法图乘法 位移计算举例位移计算举例kidsEIMMkiCEIdxMMEI1PEIydxEIMM0wyEI01wxtgEI01wBAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直线直线kidxEIMM直杆直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0注注：y0=x0tg表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a）EI=常数；常数；b）直杆；）直杆；c）两个弯矩图）两个弯矩图 至少有一个是直线。至少有

6、一个是直线。竖标竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处。取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处。面积面积与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。BAtgxdEI w w d8几种常见图形的面积和形心的位置：几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线=hl/3二次抛物线二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物

7、线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点9当图乘法的适用条件不满足时的处理当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：方法：a）曲杆或）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积）时，只能用积分法求位移；分法求位移；b）当）当EI分段为常数或分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112ql2/2MMPMPP=1lMlqABEIqlllqlEIB843231142例：求梁例：求梁B点转角位移。点转角位移。例：求梁例：求梁B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应分段图乘再叠加。10PPaaa例

8、：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432a/2a/2PaaaEI343211Pl/2l/2C例：求图示梁例：求图示梁C点的挠度。点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853Pl65llEIyC22210w5Pl/6？11非标准图形乘直线形非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/312y1y2()bcadbdacl226dc323bl2dc332al2yydxMMki2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可

9、以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。否则取负。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）3264912S = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（4）236913labdch+bah232dchl()226bcadbdaclSb)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形 E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6

10、m4 折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2例：例： 预应力钢筋混凝土墙板单预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。点起吊过程中的计算简图。已知：板宽已知：板宽1m，厚，厚2.5cm，混凝土，混凝土容重为容重为25000N/m3，求，求C点的挠度。点的挠度。q=625 N/m2.2m0.8mABC解：解：q=2500010.025625 N/ m14折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2200378P=10.8MPMq=625N/m2.2m0.8mABC1y13()cmm2 . 01

11、026 . 03 .534 . 0555533. 02206465. 313y32y22202 . 2200211w533. 08 . 0321y)(85. 01332211yyyEICwww5552 . 2378322w4 . 08 . 0212y3 .538 . 0200313w6 . 08 . 0433y15P=111ly1y2y3M23ly3221yly12832323qllqlw42212321qllqlww8321232432414222EIqllqllqllqlEI()1332211MyyyEIwww1N0Nqllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MP122BNP=ql/2

12、NP=0900193434832101222122423lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122PNEAqlEAlqlEAlNN16求求ABAB两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163M)()EI-7563322318EI6436363112639632(EI618336318263626616kN2kN/m2kN/m 6m3m3mABEI常数常数9 9 99999()bcadbdacl226174kN4kN.m2kN/m12kN.m4m4mEIAB求求B5kN12844MPkN.m1MkN.mqllEIB1EIqllqllllqlEIBV241128

13、323223211422ql2/83ql2/2MPlM求求B点竖向位移。点竖向位移。()5 . 04181425 . 08264()5 . 085 . 0122641EIB75. 04432EI320185m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020AHEI11255056101255023102352541210125252310 12101010131012102010231031875 .EI1594102.m求求A点水平位移。点水平位移。19P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M求求B点的竖向位

14、移。点的竖向位移。EIql256174lllqlEI25 .023232212lqllqllqllqllEI8222822265 .0212222lqlEIlB432831122EIqlllqlEIB843231142ylqlEIB283312102Lq？ql2/8l/2？ql2/32y020llPllPdxEIMMdxEIMM1111llPlPdxEIMMdxEIMM11201llPlPdxEIMMdxEIMM11201()llPdxMMMEI1211lPdxMMEI011MPMPxqll1M1M1M221例：试求等截面简支梁例：试求等截面简支梁C截面的转角。截面的转角。ql/5 4l/52

15、ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122lqlEIC2183212EIql100333M22作业 5-18，5-202332/2ql 例例. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIyccw8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql24iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EI

16、qllqlllqlllqllEIEIyccw8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:sEIMMPBydEIycwPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIllM图图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM图图281qlBAq1例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角B解解: 例例 1. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD 三、应用举例三、应用举例AlqB

17、hq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCDw w 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C三、应用举例三、应用举例解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCDw4/2ql4/2ql 例例 3. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。A三、应用举例三、应用举例)(4822)22182322

18、324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCDw解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ lAlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABYw 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角 。iMMP 练习练习11Pll11lliM0EIycABXw0EIycABw对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称

19、弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.1111iM 作变形草图作变形草图PPPl1111绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：反弯点的利用。如：求求B点水平位移。点水平位移。练习练习解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBwPlABllEI4PEIEI1注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同iMl 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。CD MPl11liM)(1211)832213221(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycCDw解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlCDqlq2qlql 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycBw)(31123)32(21322113