大一学习微积分ch1-8by

1、1第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数、极限与连续函数、极限与连续1经济数学经济数学-微积分微积分 (张建梅张建梅 马庆华马庆华 主编主编)1.8 无穷小的比较一无穷小的阶一无穷小的阶二等价无穷小二等价无穷小2一一. 无穷小的阶无穷小的阶无穷小之比无穷小之比的极限（的极限（0/0）可以出现各种情况：）可以出现各种情况：出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度速度不同不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小

2、都是无穷小时时当当xxxxxx ; 2快得多快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限型）型）（0020limxxx; 2慢得多慢得多比比 xx, 3v定义定义1.8.1 ；记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比，称称如如果果)(,0lim)1( o 0.,且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与称称如如果果 C.;1lim 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与，称称如如果果特特殊殊地地， ;lim)(低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比，称称如如果果 . 0li

3、m)4(阶阶的的无无穷穷小小的的是是，称称，如如果果kZkCk 4例例1.8.1 .tan4 ,0:3的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时故当故当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx .sintan,0的阶数的阶数关于关于求求时时当当xxxx 例例1.8.2 5一一. 等价无穷小等价无穷小常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x.21cos1,1

4、,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( axaxln16解解xexx1lim0 1 xeu)1ln(lim0uuu uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 .1)1ln(0 xexxxx ，时时，当当.1,0 xexx 时证明：当例例1.8.3 则令,1uex),1ln(ux所以时且当, 0,0ux7注注: 在上面给出的常用等价关系中,自变量的极限过程 都是x0,而事实上,如果用u(x)代替x,只要保证 u(x)0 ,则等价关系依然成立.所以时当, 0)(,1)(xuxxxu例如例如 11l

5、n 1()xxx 8v定理定理1.8.1 , ,lim,limlim. 设是同一过程中的无穷小，且，存在 则证明: lim)lim( limlimlim.lim 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。9解解.)5(tansinlim220 xxx求例例1.8.4 ,0时当 x,sin22x

6、x所以,55tanxx220)5(tansinlimxxx220)5(limxxx25110解解.1cos1)1 (lim3120 xxx求例例1.8.5 ,0时当 x,311)1 (2312xx2202131limxxx32,211cos2xx.1cos1)1 (lim3120 xxx11v定理定理1.8.2 b 与a是等价无穷小的充分必要条件为 b =a+o(a) 必要性: 证明 所以b a=o(a)因为设ab 只需证b a=o(a) 01lim) 1lim(lim=-=-=-ababaab, 充分性: 设b=a+o(a) 则 1)(1lim)(limlim=+=+=aaaaaaboo,因

7、此ab 即b=a+o(a) 12所以当x0时 有 sin x=x+o(x) tan x=xo(x) 例如 例例 6 因为当 x0 时 sin xx tan xx 1cos x221x )(211cos22xoxx130lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小内容小结内容小结14解答解答不能不能例当例当 时时x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.思考题思考题任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？15练练 习习 题题167.)0(3-+aaxa对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 .8.无穷小无穷小xcos1-与与nmx等价，则等价，则 ._,nm=二、求下列各