西农大信号与系统第四章.

1、信信 号号 与与 系系 统统 第四章连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换连续时间信号的谱分析连续时间信号的谱分析信息工程学院方勇4.1 引言引言LTI系统分析法：系统分析法：（1）时域分析法）时域分析法 （2）变换域分析）变换域分析 微分（差分）方程法输入输出分析卷积积分法状态变量分析（第九章）00,) )jktstjknjesjeez nre谱分析（连续、离散信号）时频分析（时变系统）频域分析（基函数）（连续信号）复频域分析（基函数频域分析（基函数）（离散信号）复频域分析（基函数 注：用复指数函数或复指数序列为基，是因为 它们是LTI系统的特征函数； 它们是正交函数集； 信号频谱同信号一样都

2、是现实可观察的量。 信号的谱分析： 系统的频域分析： 在频域中，用频谱分析的观点分析系统。 信号的时频分析（不作要求） 对时变信号，分析信号局部时刻所含的频率分量。0decomposesynthesize( )(periodic,( is Fourier coefficient)1( )(aperiodic( ),( ) is spectral density)2jktkkkj tx tc ecx tXdt Xe 4.2 复指数的正交性复指数的正交性1. 正交函数 （1）正交函数正交函数定义定义: t (t1, t2)， 满足 （4-3） 则称 为正交函数集正交函数集. 若k=1,则称 n=0

3、,1,2N 为归一化正交函数集归一化正交函数集。 若再也找不到其他函数 满足： （4-4） 则，称正交函数集 是完备完备的的（其含义就是再也没有跟 无关的其他函数存在，即可用 构造空间的所有 函数）。01( )( ),( )( )nNtttt21*0,( )( ),.tmntnmtt dtknm( )nt( )nt( ) t( )nt( )nt( )nt21*( )( )0, 0,1,tnttt dtnN2121120( )( ),1( )( )*( )( )*Nnnnnnnnx tttctttx tt dtck ttktt dtt 221121212100( )( )( )( )*( )(

4、)*( )( )*1( )( )*NmnmnmNmmnmnnnnnnttx tt dtttdtcttttt dtctttt dtkccttx tt dtck t （2）任意函数可精确地用N+1个正交函数的加权和表示 任意函数 x(t)，正交函数集 ，则有 （4-5） （4-6） （4-7） 式中c n 是x(t)所含的的第n个分量的系数. 证明（4-6）式：( )nt附注： （4-5）式表示 x(t) 在以 为基的空间可分解，即 x(t) 中含有 的分量，其大小为( )nt( )nt( )nntc 2 . 常用的完备正交函数集常用的完备正交函数集 复指数函数集复指数函数集 t (t1, t2)

5、，ejn0t， n = 0, 1, 2, 构成完备正交函数集。 因为 式中 T0 = 2/0 基波周期基波周期。 02100011()0*0,jntjmtj nmttt TdtdteeettnmnmT 正弦函数或余弦函数集正弦函数或余弦函数集t ( t1, t2)，sinn0t和cosn0t ， n=0,1,2, 构成完备正交函数集。式中 T0 = 2/0基波周期基波周期。011011011000000000,sinsin/ 2,0,coscos/ 2sincos0.nmt TntmtdtnmtTnmt TntmtdtnmtTt Tntmtdtt4.3 周期信号的表示周期信号的表示 连续时间傅

6、连续时间傅里叶级数里叶级数 1. 用复指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数用复指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数 周期信号 x(t) = x(t+T)， T0 = minT = 2/0 基波周期基波周期。 复数形式的傅里叶级数 （4-33） 傅里叶系数或频谱 （4-34） 0000( )1( )jktkkjktkx tc ex tdtceTT说明： 上式 k = n 的项称 n 次谐波，k = 0 的项是直流分量，k = 1的项是基频分量，其周期为 T0。 谐波分量的频率是基频的整数倍 (k = k0)。 若x(t)是实信号，则有 显然 ck = c*-k 或 c*k = c

7、-k，通常 ck 是复数。00*( )( )( )jktjktkkkkxtx tcx tece 例 . 已知一周期信号的傅里叶级数的表示式为 (4-18) 式中 c0 = 1， c1 = c-1 = 1/4， c2 = c-2 = 1/2， c3 = c-3 = 1/3，0 = 2。求 (a) 其三角函数表示式；(b) 用图解方法表示各谐波分量的波形及合成波形。 解: (a) x(t) 由（4-18）式 x0(t) x1(t) (b) 各谐波分量波形集合成波形如右图 x2(t) x3(t)033( )jktkkx tc e2244660123( )1/ 4/ 2/ 311 / 2 cos 2c

8、os 42 / 3 cos 6( )( )( )( )jtjtjtjtjtjtx teeeeeetttttttxxxx 2. 周期实信号的三角函数形式周期实信号的三角函数形式周期实实信号 x(t)令 ck = Ake jk, |ck| = Ak 模模； k = arg ck 幅角幅角。 则， 即有：即有： 周期实信号的极坐标形式周期实信号的极坐标形式 （4-40）00000101( )2Rejktkkjktjktkkkjktkkx tc ecc ec ecc e0()01( )Re2kj ktkkx tceA001( )2cos()|argkkkkkkkx tktcAcAc 利用 cos(+)

9、 = coscos sinsin,可得到： 周期实信号的正周期实信号的正余弦形式余弦形式 注意：若 x(t) 为实函数，则 Bk 和 Dk 都是实数，且 Bk = Reck， k = Imck，k0. 若若 ck 是实数，则是实数，则 Dk = 0， x(t) 展开为余弦级数，展开为余弦级数， 若若 ck 是纯虚数，则是纯虚数，则 Bk = 0， x(t) 展开为正弦级数，展开为正弦级数，000001*220000( )2cossin,02()222( )cos22( )sinkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkx tktktcBDcckjDcBBjcccDjDcBDtgABDBx

10、 tktdtBTTx tktdtDTT例 1. 求周期性矩形脉冲的傅里叶级数 解：该信号的函数形式为占空比： T/T0 ，基波周期T0，基波频率0=2/T0。可得 频谱图( c kk) 1,| |( )20,TAtx tt周期内其它x(t) -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA111011100/2100/20/2/20/2/2000100101/1(/)()(2/)sin(/ 2)(/)sin(/)TTTjktkTjkjkTTAdtAcTTTAdtceTAjkeeTA kkTTA kkTTT0 = 2T1T0 = 4T1T0 = 8T1T/T0 = 0.5时，c1 = c-1 =

11、 A/, c3 = c-3 = A/3,c5 = c-5 = A/5, ,Dk = 0，2B3 = 2A/3， 2B5 = 2A/5，2B2 = 2B4 = 0， 傅里叶级数为振幅频谱：振幅频谱：|ck| k 图；相位频谱：相位频谱：k k 图。注意：注意：占空比越小，其频谱越丰富。 0000000003535211( )coscos3cos523511)(235jtjtjtjtjtjtAAx ttttAAeeeeee 例 2. 已知x(t)是一周期性锯齿波如下图所示，试求傅里叶级数 解：锯齿波一周期内形式为 x(t) = t/T0，T0/2 t 非周期信号具有连续谱， 周期信号具有离散谱离散

12、谱，谐波性谐波性和收敛性收敛性。2.周期信号的功率谱 （1）信号能量在各谐波中的分布 考察平均功率 4.5 周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱2220k 1220k 1|P2|1|(|)22kkkccccA即，00000000/22/20/2/20k/2/2k0*k1( )1( )( )TTTjktkTjktTkTkkkkPdtx tTx t dtc eTex t dtcTc cc c 4.5 周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱帕色伐尔定理： 功率谱（|c k|2k图）的物理意义：反映周期信号的功率在各谐波中的分布。帕色伐尔定理揭示了信号变换时能量是守恒的，即可在时域或频域

13、求信号功率。00/222/201( )|TkTkPdtx tcT4.5 周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱例. 周期矩形脉冲信号的频谱与功率谱. 可见能量主要集中在低频部分（主峰内）。c 0c 1c -1c 2c -2c kk 0c -k4.5 周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱（2）信号的有效带宽 有效带宽（Bw）的概念：占信号能量90%以上的频谱宽度。 矩形脉冲信号的有效带宽第一个零点有效带宽 为 周期矩形脉冲信号有效带宽内谱线数： N = Bw / 0 1 = 2 / (T10) 1 = T0 /T1 1222022001sin1121|sin21002kkTAATT

14、kTcckTTT10/ 2kT102/wkBT例. 周期矩形脉冲信号，A=1v， T0 =0.25s， T1 =0.05s，求 信号的平均功率，有效带宽, 有效带宽内的谱线条数， 有效带宽内的功率，有效带宽内的功率占总功率的比率。解：4.5 周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱1012/40/1/202wwfkradsBTBHzBT0020.0252220.025011( )10.250.2()TTPdtdtx tTWx(t) -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA N = B w/0 1 = T0/T1 1 = 0.25/0.05 1 = 4 c0 = AT1/T0 = 0

15、.05/0.25 = 0.2 P/P = 0.1809/0.2 = 90.4%.101100sin220.2sin/5 ,0kkTATckTTc kk4220k 1222222|2|2342*0.2 *0.255550.040.08(0.8750.57640.25460.0457)0.1809()sinsinsinsinkPccWcccc4.6 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性 周期信号的傅里叶级数是否一定收敛？ 傅里叶级数的收敛性 满足如下条件的级数是收敛的 荻里赫利（荻里赫利（Dirichlet）条件）条件: (1) 函数在周期内绝对可积 （含意：ck有限） (2) x(t)的任何周期

16、内极大、极小值的数目是有限的（不是无限震荡）。 (3) x(t)在一个周期内部不连续点个数有限，其值也有限。0022| ( )|;TTxd4.6 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性 连续点处：不连续点处：注意：如果周期函数本身及其前n次导数是连续的，而(n+1)阶导数开始出现间断点，则有 ck1/kn+20( )( )2jktkkxxttc e0( )jktkkx tc e例 1：周期脉冲（函数有不连续点） ,例 2：三角波（一阶导数不连续）例 3：方波（函数有不连续点）4.6 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性 101100sin22kkTAckTTT|/,|kA kkc为奇数222/,

17、kcA kk为奇数x(t) -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA -T0 0 T0 tx(t)Odx(t) -T0 0 T0/2 T0 t1-1周期信号有限项和此时，信号的高频部分被去掉了，信号就会出现失真现象。例如方波，当取有限项时有限项 xN(t) 表示 x(t) 时，在不连续点两侧出现振荡现象，随着项数的增多，振荡频率增高，且靠近不连续点处出现过冲，其峰值并不减小，大约等于不连续点处高度的9%吉伯斯现象。吉伯斯现象。意义：意义：不连续的时间函数或信号通过一实际系统时，信号的高频部分被衰减，就会出现吉伯斯现象4.6 吉伯斯现象吉伯斯现象0( )( )NjktNkkNtx txc

18、 e0( )jktkkx tc eN=1N=3N=7N=13N=194.6 吉伯斯现象吉伯斯现象如何展开非周期信号？非周期信号的表示非周期信号 x(t) 周期信号 周期性开拓 =显然：4.7 非周期信号的表示非周期信号的表示 ( )x tx(t)-T1 0 T2 t0( )lim ( )Tx tx t To T1+T2 )(tx -2To -To -T1 0 T2 To 2To t 4.7 非周期信号的表示非周期信号的表示 频谱密度（函数）频谱密度（函数） 00000000000022020200000202( )1( )( )2as , and Though 0, 0( )limlim( )

19、( )jktkkTjktkTTjktkTkkTjktj tkTTTx tc ecx tdteTc Tx tdteTdkkTcc TXc Tx tdtx tdtee ( )( )j tXx tdte 非周期信号的傅里叶表示非周期信号的傅里叶表示 4.7 非周期信号的表示非周期信号的表示00000000000( )lim( )lim1lim1lim21( )2jktkTTkjktkTkjktkTkj tx tx tc ec T eTc T eXde1( )( )2j tx tXde4.7 非周期信号的表示非周期信号的表示说明：说明： X(X() )是单位频率上的复振幅（是单位频率上的复振幅（ X(

20、X()=2)=2C Ck k/ /0 0）; ;又称频谱又称频谱密度函数（相当对应的周期函数的密度函数（相当对应的周期函数的C Ck k）。）。 X(X() ) 一般为复数，一般为复数， X(X() =| X() =| X() |e) |ejargX(jargX() ) 。 |X(|X()| )| 表示非周期信号中各频率分量的相对大小，表示非周期信号中各频率分量的相对大小，arg X(arg X() ) 是相应于各频率分量的相位。是相应于各频率分量的相位。 非周期函数（信号）非周期函数（信号）x(tx(t）的频谱密度是连续谱。）的频谱密度是连续谱。 x(t)x(t)的谱的谱X(X() )与与

21、的谱的谱 C Ck k的包络一样，只是幅度不同而已。的包络一样，只是幅度不同而已。 非周期函数（信号）非周期函数（信号）x(tx(t）表示为复指数函数的连续和。）表示为复指数函数的连续和。( )x t4.7 非周期信号的表示非周期信号的表示 -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA( )x tAx(t)-T1 /2 0 T1 /2 tc 0c 1c -1c 2c -2c kk 0c -kX()傅里叶变换对或 F x(t) = X() 或 x(t) X() F -1X() = x(t) 时域 频域 傅里叶变换是一种频域变换的工具。傅里叶变换是一种频域变换的工具。 4.7 连续时间傅里叶变

22、换连续时间傅里叶变换1( )( )2( )( )j tj tx tXedXx t edt综合式分析式4.7 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换傅里叶变换的收敛性（荻里赫利条件）傅里叶变换的收敛性（荻里赫利条件）： x(t)绝对可积 ； 在任何区间内，x(t)只有有限个极大值和极小值； 在任何区间内，x(t)的不连续点个数有限，而且在不连续点处x(t)的值有限。满足上述条件的x(t)，其傅里叶积分将在所有连续点收敛于x(t),而在x(t)的各不连续点将收敛于x(t)的左极限和右极限的平均值。 连续点处： 不连续点处：1111()( )211()()()22jtjtXdx teXdxxett|

23、( )|x tdt4.7 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换注意：所有的能量信号都存在傅里叶变换，许多功率信号或周期信号虽不满足条件（绝对可积条件），但变换中可以使用冲激函数()，则也可以认为该周期信号具有傅里叶变换。4.7 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换221|( )|X3 3）一些常用信号的傅里叶变换）一些常用信号的傅里叶变换 单边指数信号()0( )( ),0( )( )1,0ttj tjtx tu teXu tdteedtej 0 tx(t)X()- 0 1/2argX()-0 arg( )Xarctg 双边指数信号4.7 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换| | |0()(

24、)022( ),0( )2,0( )arg( )0.ttj tjtjjtx teXdteedtdteeX 1 x(t)0 t2/ X() 1/ - 0 4.7 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换门函数 F 对比111111/2/2111111,| |/ 2( )0,| |/ 2( )sin/ 2,/ 2( )sin/ 2 .TTj tTTtTtGtTAtAdtGeTATTXAcTT 1 -T1/2 0 T1/2 t1( )TtG110010sin/ 2/ 2kkATTckTTAT1 X() 0 单位冲激函数 含义：时域中的直流分量在频域只有零频分量 对于F (t)=1 或(t) 1，单位冲激

25、函数的频谱包含振幅相等的所有频率分量。1( )( )( )( )( )1( )1( )( )11( )( )( )2212( )j tj tx ttXFttdtetXx tXXdeF (t) 0 t () 0 1 X() 0 1 x(t) 0 t 复指数函数 即即 推论推论：0000()0( )( )2()jtjtjtj tjtx teXFdteeedte 0000000000000cos21cos2()2()2()()sin2()()jtjtjtjteetFteetj 002()jtFe 1. 傅里叶系数与傅里叶变换的关系（傅里叶系数与傅里叶变换的关系（c k与与 X() 的关系）的关系）

26、周期信号 ， 非周期信号 。ck = X (k0) /T0证明：证明：4.8 傅里叶级数与傅里叶变换的傅里叶级数与傅里叶变换的关系关系00000002202200001( )1( )1( )1()TjktkTTjktTjktx tdtceTx tdteTx tdteTX kT0000( ),/ 2/ 2( )0,/ 2,/ 2x tTtTx ttTtT ( )( )x tX( )kx tc4.8 傅里叶级数与傅里叶变换的傅里叶级数与傅里叶变换的关系关系例 011010 10010 10( )sin2()sin2( )sin2kjktkTXATcX kATkTccTTATkTx tceT 1 -

27、T 1/2 0 T1/2 t1( )TtG -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA( )x t4.8 傅里叶级数与傅里叶变换的傅里叶级数与傅里叶变换的关系关系2. 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换1）周期信号 x(t) 有则， 周期信号的傅里叶变换为周期信号的傅里叶变换为 结论：系数为ck的周期信号的傅里叶变换可以看成是出现在等间隔频率0，而频率为k0上的一串冲激函数。其中频率k= k0处的()的强度为第k项傅立叶系数ck的2倍。 0( ),jktkkx tc e00( )( )2()jktkkkkF x tXF c ec 00( )2()jktkkkkx tc eck 00

28、2()jte 例 周期冲激串的傅氏变换 周期冲激串 先求ck ， 周期冲激串的傅氏变换为000( )2()2()kkkXckkT 0( )()kx ttkT000000/2/20/2/2001( )1( )1TjktkTTjktTcx t edtTt edtTT0002( )()()kkx ttkTkT x(t) -3T0 -2T0 -T0 0 T0 2T0 3T0 t X() -6/T0 -4 /T0 - 2 /T0 0 2 /T0 4 /T0 6 /T0 t1. 线性线性 4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用11221212( )( ),( )( )( )(

29、 )( )( )x tXx tXax tbx taXbX4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用 2. 共轭对称性共轭对称性 x(t) 是实函数 x(t) 是实偶函数 x(t) 是实奇函数1）若x(t)是一实函数 则 类似地 ： 又 由 结论： 由 实函数 x(t) 有: |X(-)|= |X()|，(-)=-().4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用*( )Re( )Im( )()Re()Im()( )Re( )Im( )XXjXXXjXXXjX()()()( ) |( )|() |()|*( )|( )|jjjXXeXXeXXe

30、*()*( )kkXXcc( )Re( )( )Im( )Ev XXOd XjX4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用 2). 若 x(t) 是实偶函数 x(-t)=x(t), 则有结论：X() 也是实偶函数。也是实偶函数。()( )()( )( )*( )j tj tj tXx t edtxt edtx t edtXX3). 若 x(t) 是实奇函数 x(-t) = -x(t),结论：此时 X() 是虚奇函数。推论:补充性质：4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用( )( )( )( ) Re( )Im( )eoeox tEv x

31、tOd x txxF x tF xF xXjX*( )( )( )()()( )F x tXF x tXF xtX 4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用3. 时移性时移性 x(t) X(), Fx(tt0) = ejt0 X().说明：时域延时，不改变其频谱函数的幅频特性，而只改变相位特性。要使信号波形并不因延时而变化，要求其频率成份在时域延时同样时间，而在频域相移t0与频率成正比。4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用4.尺度变换性质 x(t) X(), x(at) (1/|a|) X(/a) x(at - t0) (1/|a|)

32、 X(/a) e jto /a5.反转性质6.频移性质 4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用00( )( )( )()jtx tXx t eX( )( )()()x tXxtX4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用频移性质的主要应用：频移性质的主要应用： 调制：把较低频率的信号移到高频的过程。 振幅调制 使高频载波的振幅按信号规律变化。 方法： x(t) x(t) cos0t信号x(t)高频载波 cos0t x(t)0 t X() - 0 0 0 调制x(t) x()0 4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用

33、与应用 F x(t) cos0t = F x(t) (e jot+ e-jot)/2 = F x(t) e jot/2+ F x(t) e-jot/2 = X(-0) /2+ X(+0) /2 = X(). 频分复用通信中往往需要把不同用户的低频信号调制到不同的频段，而互不干扰。 X()- 0 0 0 7. 对偶 x(t) X() 则 X(t) 2x()4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用例. 求抽样函数 的频谱函数。解：门函数 令 FX(t) = 2 x() = 2 GT1()/T 1 = G

34、2c()/c( )sincx tct111( )sin/ 2TGtTcT1 GTo(t)-T 1/2 0 T 1/2 t11111( )( ) /sin/ 2( )( )sin,/ 22Tcccx tGtTcTXX tctTT / c F X(t) - c 0 c t 对偶的应用：对偶的应用：1. 函数下的面积 时域中面积： 频域中面积：4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用00( )( )|( )|(0)j tx t dtx t edtXX00( )( )|2( )|2(0)j tttXdXedx tx X() 0 x(t) 0 t 4.9 连续时间傅里叶变换的

35、性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用 例 1.求sinc(ct)下的面积 解： 例 2. 求 解：2( )sin ()( )( )( )(0)ccccx tctGXx t dtX1dj1( )( )( )( )2(0)2(0)tXeu tx tjXdxu2. 等效脉冲宽度、等效频带宽度等效脉冲宽度：定义：等效频带宽度B w：定义：4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用(0)( )(0)(0)(0)xx t dtXXx(0)( )2(0)2(0)(0)wwXBXdxxBXx(0) x(t)0 t 0 X(0) X()B w4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间

36、傅里叶变换的性质与应用与应用9.9.时域微分性质时域微分性质 （注意：x(t)中无直流分量时，两个方向都成立） 推广：( )( )dx tj Xdt( )()( )nnnd x tjXdt4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用例 1. 求(t)的傅里叶变换.解：已知 F (t) =1， 则 F (t) = j， 且 F (n)(t) =( j) n，例 2. 求符号函数的傅里叶变换解： 先考虑从而4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用1,0sgn1,0ttsgn( )( )22( )tj XXjsgn( )( )()sgn( )( )

37、tu tuttXsgn( )( )()( )( )2 ( )tu tutttt sgn1 0 t -1例 3. 求u(t) 的傅里叶变换.解：为什么不能如下这样做？ 原因是u(t)中含有直流分量。 因为 而( )( )( )1( )1 ( )( )u ttu tj XF u tXj 从而000( )( ),( )( ) ( ) ( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( )u tx tcu tx tF u tF x tF cF x tcF u tF x tF u tF u t 可见( )( ),( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

38、 ( ) ( )u tx tu tx tF u tF x tj F u tF x tF u tjF u tF x tj F u tF x tF u tF u tF u tj，直流分量因微分而为零从而，得出错误结论11( )sgn( )221( )( )( )u ttu tXj 10. 频域微分性质频域微分性质4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用( )( )nnnd Xjtx td推广：( )( )( )( )x tXdXjtx td例. 4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用( )2222( )1,2( )2( )2( )11( )

39、( )( ),( )( )1( )( )( )2sgn( )22sgn( )nnnjttjtju tXXjjtu tjXjtjttjj 从而推广：由由得11.时域积分性质时域积分性质附注：4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用( )( )( )( )(0) ( )tx tXXx t dtXj ( )( )( )1( )( )( ) ( )( )( )( )( )(0) ( )ttx tu tx t dtx tu tXF u tXjXx t dtXj 而从而4.9 连续时间傅里叶变换的性质连续时间傅里叶变换的性质与应用与应用12. 频域积分性质频域积分性质上式表明，

40、频域中的积分等于在时域中除以-jt.傅里叶变换、性质表见P144( )( )1( )(0) ( )( )(0)0,( )1( )( )x tXx txtXdjtxx tx tXdjt若或为奇函数则410卷积定理及其应用卷积定理及其应用1.时域卷积定理证明：注意：该定理是频域分析法分析注意：该定理是频域分析法分析LTI系统和滤波器的基础系统和滤波器的基础很重要。很重要。11221212( )( )( )( )( )( )( )( )x tXx tXx tx tXX则121212122112 ( )( )( )()( )()( )( )( )( )( )( )j tj tjjF x tx txx

41、tdedtxx tedt dxXedXxedXX例1. 求三角脉冲的频谱函数解：已知三角脉冲是两个门函数的卷积即则 例2. 求三角波的傅里叶级数解：据上例：11( )( )( )TTGtGtx t111111112211 ( )( )( )( ) ( )sin/ 2sin/ 2sin/ 2TTTTF x tF GtGtF GtF GtTcTTcTTcT012010 10001212122( )( ),( )2()2sin/ 2 ,2sin/ 222sin/ 2jktkkkkTx tx tx tc eX kTcckTTTTTcckTkk G T1(t) 1 -T 1/2 0 T1/2 t G T

42、1(t) 1 -T 1/2 0 T1/2 t*= x(t) T1-T1 0 T1 t12212,0,02kTkkckTk为奇数为偶数00011221221102212( )22()4cos(),jktkjktjktkkTTx tekTeekTktkk为奇数 -T0 0 T0 tx(t)T1/2 0 t -T1 0 T1 tT1 ( )x t= 例3. 用变换域的方法研究LTI系统2.频域卷积定理（调制定理）注意：该定理是频域分析法研究调制、解调和抽样系统的基础注意：该定理是频域分析法研究调制、解调和抽样系统的基础很重要。很重要。频域卷积定理应用：频域卷积定理应用： 调制与解调振幅调制：信号x(

43、t) :载波:调制：( )( ),( )( ),( )( )( )( ) ( )( )( )( )/ 2x tXp tPg tGg tx t p tGXP则1( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )y tx th tYF y tF x th tXHy tFY( )( )cosg tx t0( )cosp ttx(t) y(t) 系统 h(t)x(t)tp(t)tg(t)t X() -1 0 1 P() - 0 0 0 G()- 0 0 0 F g(t) = F x(t)cos 0 t = (F x(t)*F cos 0 t)/(2) = (X()*(-0) +

44、(+0)/(2) = X(-0)/2 + X(+0)/2 = G()解调 将调制信号再乘高频载波：滤波 门函数 000( )( )cos2 ( )22( )11(2)(2)( )244x tx ttF r tFFXXXR2000( )( ) ( )( )cos1cos2( )2( )( )cos222r tg t p tx tttx tx tx tt2,|( )0,|ccH R()-20 -0 0 0 20 2 H() -c 0 c 001()11()()(2)(2)()244()()(),( )()2XRHXXHXHXx tFX示意图：调制： 解调：411相关相关 1.相关的定义意义：相关函

45、数反映两信号的相似程度（或关联程度）。应用：目标识别（通信，信号处理和生物医学等方面）。x(t)p(t)g(t)x(t)g(t)p(t)r(t)滤波H() y(t)=x(t)121212*121212( )( )( )(),( ),( )( )( )( )(),( ),( )x tx txxt dx t x tx tx txxt dx t x t 例 ：已知 求它们的相关函数。解：图解法 其他为零 122, 011/2, 01( ),( )0,0,ttx tx ttt 其他其他12( )( )1x tx t 12( )( )1x tx t 10121|0,11,10( )( )1,01,010

46、,1tttdttx tx ttdttt 2 x 1()0 x2(-t)t 0 t0 x 1()t 0 1+t -1 t 0 x 2(-t)x 1()x 2(-t)0 t 1 0 t 1 1+t x 2()0 1 2. 自相关函数与互相关函数（1）自相关函数 （4-203）含义：Rx 随时间 t 变化快慢程度反映 x(t) 随时间变化快慢程度。 (2) 互相关函数 （4-205） （4-206）若 x1(t)、x 2(t) 为实数，则*( )( )( )( )()xR tx tx txxt d1221( )()( )()xxRtRtR tRt121212*122121*21*1221( )( )

47、( )( )( )( )()( )( )( )( )()( )()x tx tRtx tx txxt dRtx tx txxt dRtRt（3）功率信号的相关函数 对于功率信号相关函数不能按上述定义，必须作如下定义。3. 相关定理注意：若x(t)是实偶函数，这时相关定理与卷积定理有相同结果。/2*1212/2/2*2121/2/2*/21( )( )()lim1( )( )()lim1( )( )()limTTTTTTTxTTRtxxt dTRtxxt dTR txxt dT1122*1212*21212( )( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )|(

48、 )|x tXx tXx tx tXXx tx tXXx tx tX4.12 能量密度与功率谱密度 类似功率谱（周期信号）|ck|2，频率处单位频率间隔所包含在频率分量中的功率和相应带宽，非周期能量信号在频域中的同样有分布和有效带宽。（1）非周期信号的能量谱密度 非周期信号帕色伐尔定理：帕色伐尔定理： （4-220）含义：时域和频域求得的能量是相等的（域变换时，能量守恒）2221( )( )21( )( )( )21( )( )211( )()( )*( )221|( )|( )|2j tj tj tx tXedEx t dtx tXed dtXx t edt dXXdXXdXdX vdv221( )|( )|2x tdtXd考察频域中的能量：比较（4-220）式 ，得 的物理意义的物理意义：频域中频率处单位频率间隔内的能量，单位为“J/Hz”.注意：E()只与|X()|2 （或R()自相关的频谱)有关，与相位频谱arg X()无关。 不能从|X()|2或R()来恢复x(t)，但对充分利用信号能量，确定有效带宽有重要的作用。例.求矩形脉冲信号AGT1(t)的能量谱密度，总能量、有效带宽占有的能量。1( )( )2EE f dfEd2|( )|X2( ) |( )|